高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題第10講 恒成立能成立3種常見題型（含解析）

第10講恒成立能成立3種常見題型【考點分析】考點一：恒成立問題若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間D上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上恒成立SKIPIF1<0；考點二：存在性問題若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間Ｄ上存在最小值SKIPIF1<0和最大值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；不等式SKIPIF1<0在區(qū)間D上有解SKIPIF1<0；考點三：雙變量問題①對于任意的SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；②對于任意的SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；③若存在SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；④若存在SKIPIF1<0，對于任意的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；⑤對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；⑥對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0；⑦若存在SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0⑧若存在SKIPIF1<0，總存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．【題型目錄】題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究存在性問題題型三：利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立與有解問題【典型例題】題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題【例1】（2022·福建省福安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）對任意正實數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.【例2】【2022年全國甲卷】已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若fx≥0，求【答案】(1)(?【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞f'(x)=(1x?1當x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當x∈(1,+若f(x)≥0,則e+1?a≥0,即a≤e+1，所以【例3】已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求SKIPIF1<0，分別討論SKIPIF1<0不同范圍下SKIPIF1<0的正負，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合SKIPIF1<0，分別求出SKIPIF1<0的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，若SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0成立；當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立.所以綜上所述：SKIPIF1<0.【例4】已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常數(shù)）.（1）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；【答案】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0的極大值是SKIPIF1<0，無極小值；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得解；【詳解】解：（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0的極大值是SKIPIF1<0，無極小值.（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【例5】已知函數(shù)SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的極值點；（2）若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點，無極大值點；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點.（2）由題設(shè)知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，構(gòu)造SKIPIF1<0并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最小值，即可求SKIPIF1<0的范圍．【詳解】（1）由題設(shè)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增減；∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極小值點，無極大值點.（2）由題設(shè)，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【題型專練】1.（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（文））不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由題可得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，然后求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值即得.【詳解】由題可得SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.2.（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的極值；(2)若對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)極小值是SKIPIF1<0，無極大值.(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的符號研究SKIPIF1<0的單調(diào)性，進而確定極值.（2）SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，轉(zhuǎn)化為：SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，通過求導(dǎo)求SKIPIF1<0的單調(diào)性進而求得SKIPIF1<0的最大值，即可求出實數(shù)a的取值范圍.(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得極小值且為SKIPIF1<0，無極大值.(2)SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.實數(shù)a的取值范圍為：SKIPIF1<0.3.（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間，即解不等式SKIPIF1<0；（2）參變分離得SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0的最小值.(1)SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增(2)對任意SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，分離參數(shù)得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故a的取值范圍是SKIPIF1<0.4.（2022·內(nèi)蒙古赤峰·三模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)若SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域上的最值即可；（2）由原不等式恒成立分離參數(shù)后得SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.(1)由已知得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.故SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.5．【2020年新高考1卷（山東卷）】已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點SKIPIF1<0切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，當a=1時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,符合題意；當a>1時，可證SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0存在零點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用零點的條件，結(jié)合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得SKIPIF1<0恒成立；當SKIPIF1<0時，研究SKIPIF1<0.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)SKIPIF1<0在點(1,f(1)處的切線方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0切線與坐標軸交點坐標分別為SKIPIF1<0,∴所求三角形面積為SKIPIF1<0．（2）［方法一］：通性通法SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0∴g(x)在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0成立.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0>1,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0恒成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增．由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減．所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以a的取值范圍為SKIPIF1<0．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，分離參數(shù)后有SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減．所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．［方法四］：因為定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．下面證明當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立．令SKIPIF1<0，只需證當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0．因此要證明SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，只需證明SKIPIF1<0即可．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．上面兩個不等式兩邊相加可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立．當SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，顯然不滿足SKIPIF1<0恒成立．所以a的取值范圍為SKIPIF1<0．【整體點評】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，求出其最小值，由SKIPIF1<0即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成SKIPIF1<0，再根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令SKIPIF1<0，再同構(gòu)，可將原不等式化成SKIPIF1<0，再根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0的取值范圍，再進行充分性證明即可．題型二：利用導(dǎo)數(shù)處理存在性問題【例1】（2022·河北秦皇島·三模）函數(shù)SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)SKIPIF1<0的最大值問題，先通過導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，進而求出答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由題意，只需SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，故實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：D.【例2】已知函數(shù)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有極大值．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0；(2)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0即可得解；（2）轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值，然后解不等式SKIPIF1<0可得結(jié)果.(1)∵SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足題意,∴SKIPIF1<0；(2)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．【例3】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0上存在x使得不等式SKIPIF1<0成立，則a的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】將原式化為SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，求導(dǎo)得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即得SKIPIF1<0，兩邊取對數(shù)分離參數(shù)SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)SKIPIF1<0的最小值即可.【詳解】解：不等式SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為在SKIPIF1<0上存在x使得不等式SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即a的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【題型專練】1.已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的定義域并對SKIPIF1<0進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（2）將題意等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有解，設(shè)SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0上，函數(shù)SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0進行求導(dǎo)，令SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，分類討論SKIPIF1<0與區(qū)間SKIPIF1<0的關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)和最小值，結(jié)合SKIPIF1<0，從而得出實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.(1)解：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0.(2)解：由題可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有解，可設(shè)SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0上，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不合題意；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合題意；綜上得，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【點睛】思路點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立的綜合問題：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)區(qū)間問題，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯；利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題，要注意分類討論和化歸思想的應(yīng)用；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問題的一般步驟是：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值，再進行相應(yīng)證明.2．（2022·河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點，確定SKIPIF1<0的值；(2)若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知可得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義檢驗即可；（2）由參變量分離法可得出SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，即可得出實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.（1）解：因為SKIPIF1<0，該函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0增極大值減所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值，合乎題意，故SKIPIF1<0.（2）解：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.3.已知函數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0（1）求直線SKIPIF1<0的方程；（2）求證：除切點SKIPIF1<0之外，函數(shù)SKIPIF1<0的圖像在直線SKIPIF1<0的下方；（3）若存在SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍【答案】（1）y＝x﹣1；（2）見詳解；（3）（﹣∞，1）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1），進而可得答案．（2）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝SKIPIF1<0﹣x+1，求導(dǎo)得h′（x），分析h（x）的單調(diào)性，最值，進而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，則除切點（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜SKIPIF1<0成立，令g（x）＝SKIPIF1<0，x＞1，只需a＜g（x）max．【詳解】（1）SKIPIF1<0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義k切＝f′（1）＝1，所以直線m的方程為y＝x﹣1．（2）證明：設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝SKIPIF1<0﹣x+1，SKIPIF1<0，函數(shù)定義域為（0，+∞），令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣SKIPIF1<0﹣2x＜0，所以p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又p（1）＝0，所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，若除切點（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，所以除切點（1，0）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線的下方．（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，則若存在x∈（1，+∞），使得不等式SKIPIF1<0＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜SKIPIF1<0成立，令g（x）＝SKIPIF1<0，x＞1，g′（x）＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）?SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，所以在（1，+∞）上，q（x）單調(diào)遞減，又q（1）＝0，所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）單調(diào)遞減，所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，所以a＜1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1）．4.已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0．①求實數(shù)SKIPIF1<0的值；②求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）①SKIPIF1<0；②減區(qū)間為SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0，無極大值；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，①根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的值；②由①知SKIPIF1<0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，以及極值的概念與計算，即可求解；（2）設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，得到SKIPIF1<0成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①因為SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.②由①得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0取得極小值，極小值為SKIPIF1<0，無極大值，綜上可得，函數(shù)SKIPIF1<0的減區(qū)間為SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0，極小值為SKIPIF1<0，無極大值.（2）因為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0根據(jù)題意知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.5.已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）當a=1時，求曲線SKIPIF1<0在x=1處的切線方程；（2）求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（3）若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求a的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增，在SKIPIF1<0單減；（3）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，將切線橫坐標代入得到斜率，再求出切點縱坐標，最后寫出切線方程；（2）求導(dǎo)后，通分，分SKIPIF1<0兩種情況討論得到單調(diào)區(qū)間；（3）當SKIPIF1<0時，代特值驗證即可，當SKIPIF1<0時，函數(shù)最大值大于0，解出即可.【詳解】由題意，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以切線方程為：SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單增；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單減.（3）由（2），若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足題意；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0.題型三：利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立與有解問題【例1】（2022·福建省福安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若對SKIPIF1<0，都SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由題意易知SKIPIF1<0恒成立，則可等價為對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，利用參變分離，可變形為SKIPIF1<0恒成立，易證SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，即可選出答案.【詳解】對SKIPIF1<0，都SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，等價于SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，當且僅當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立.記SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為1.故選：C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式的恒成立與有解問題的應(yīng)用，屬于難題，此類問題可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立，故SKIPIF1<0；（4）若SKIPIF1<0，