靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第1頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1概述8.2靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式8.3圖乘法

8.4支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算本章內(nèi)容8.5互等定理小結(jié)第2頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.1概述建筑結(jié)構(gòu)在施工和使用過程中，結(jié)構(gòu)桿件的形狀會(huì)發(fā)生改變，稱為結(jié)構(gòu)的變形。結(jié)構(gòu)變形時(shí)，結(jié)構(gòu)上某個(gè)點(diǎn)發(fā)生的移動(dòng)或某個(gè)截面發(fā)生的移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為結(jié)構(gòu)的位移。8.1.1位移的概念

第3頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月使結(jié)構(gòu)發(fā)生位移的因素主要有以下三種：

（1）荷載作用。（2）溫度變化與材料收縮。（3）支座移動(dòng)和制造誤差。第4頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)例如圖(a)所示的簡支梁，在荷載作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形，梁的跨中截面的形心C移動(dòng)了一段距離，稱為C點(diǎn)的線位移或撓度

；支座截面B轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，稱為截面的角位移或轉(zhuǎn)角。第5頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月又如圖(b)所示的剛架，在荷載作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形。剛架上的C點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，則稱為點(diǎn)C的線位移，用ΔC表示。F（b）CVCHCHCCV第6頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月還可將該線位移分解為沿水平方向和豎直方向的兩個(gè)分量，分別稱為點(diǎn)C的水平位移和豎向位移，分別用ΔCH和ΔCV表示，幾何關(guān)系如圖（b）所示，圖中的為截面C的轉(zhuǎn)角，稱為截面C的角位移，上述線位移和角位移統(tǒng)稱為絕對位移。第7頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月此外，在計(jì)算中還將涉及到另一種位移，即相對位移。例如圖所示的剛架，在荷載F作用下，發(fā)生如圖中虛線所示的變形。ABΔAHΔBHFF第8頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月為了方便起見，我們將上述的各種位移無論是線位移或是角位移，無論是絕對位移或是相對位移，統(tǒng)一稱為廣義位移。

A、B兩點(diǎn)的水平位移分別為ΔAH和ΔBH，它們之和為(ΔAB)H=ΔAH+ΔBH，稱為A、B兩點(diǎn)的水平相對線位移。A、B兩個(gè)截面的轉(zhuǎn)角分別為和，它們之和為，稱為A、B兩個(gè)截面的相對角位移。第9頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算是結(jié)構(gòu)分析的一個(gè)重要內(nèi)容，在工程設(shè)計(jì)和施工過程中，都需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算也是超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的基礎(chǔ)。概括地說，它有以下三個(gè)目的：8.1.2計(jì)算位移的目的第10頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，除了要考慮結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度要求外，還要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移，以保證結(jié)構(gòu)滿足剛度要求，即結(jié)構(gòu)的變形不得超過允許的極限值，確保結(jié)構(gòu)在使用過程中不致發(fā)生過大變形。例如在房屋結(jié)構(gòu)中，梁的梁的最大撓度不應(yīng)超過跨度的1/400至1/200，否則梁下的抹灰層將發(fā)生裂痕或脫落。第11頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月2.為計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)打基礎(chǔ)在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力時(shí)，除了要考慮結(jié)構(gòu)的平衡條件外，還必須要考慮結(jié)構(gòu)的位移條件，需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。因此，靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算是求解超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。

第12頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月3.計(jì)算結(jié)構(gòu)變形后的位置在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)等施工過程中，經(jīng)常需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取相應(yīng)的施工措施，因而也需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。

第13頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月本章所研究的是線彈性變形體系的位移計(jì)算問題。所謂線彈性變形體系是指位移與荷載成比例的結(jié)構(gòu)體系，荷載對這種體系的影響可以疊加，而且當(dāng)全部荷載撤出時(shí)，由其引起的位移也完全消失。這種體系的位移也是微小的，而且應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系符合胡克定律。

第14頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式在力學(xué)中功的定義是：一個(gè)不變的集中力所做的功，等于該力的大小與其作用點(diǎn)沿力的作用線方向所發(fā)生的相應(yīng)位移的乘積。當(dāng)物體沿直線有位移Δ時(shí)[如圖]，作用于物體的常力F在位移Δ上所做的功為。8.2.1實(shí)功與虛功FFαΔ第15頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月如果一對大小相等方向相反的力F作用在圓盤的A、B兩點(diǎn)上（如圖）。設(shè)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力F的大小不變而方向始終垂直于直徑AB。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)過一角度時(shí)，兩力所做的功為

W=2Fr=M

式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩與角位移的乘積。第16頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月由上述可知，功包含了兩個(gè)因素，即力和位移。若用F表示廣義力，用Δ表示廣義位移，則功的一般表達(dá)式為

W=FΔ第17頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上示例看出，一個(gè)廣義力可以是一個(gè)力或一個(gè)力偶，其對應(yīng)的廣義位移是一個(gè)線位移或一個(gè)角位移。故廣義力可有不同的量綱，相應(yīng)的廣義位移也可有不同的量綱。但在做功時(shí)廣義力與廣義位移的乘積卻恒具有相同的量綱，即功的量綱。其常用單位為牛頓米(N·m)或千牛頓米(kN·m)。

第18頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月既然功是力與位移的乘積，根據(jù)力與位移的關(guān)系可將功分為兩種情況：

（1）位移是由做功的力引起的例如圖所示簡支梁，在靜力荷載F1的作用下，當(dāng)F1由零緩慢逐漸的加到其最終值時(shí)，其作用點(diǎn)沿F1方向產(chǎn)生了位移Δ11，簡支梁達(dá)到平衡狀態(tài)，其變形如圖虛線所示，力F1在位移Δ11上做了功。Δ11F第19頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月Δ11

由于位移Δ11是由做功的力F1引起的，我們把力在自身引起的位移上所做的功稱為實(shí)功。F第20頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。

若在如圖所示簡支梁的基礎(chǔ)上，又在梁上施加另外一個(gè)靜力荷載F2，梁就會(huì)達(dá)到新的平衡狀態(tài)，F(xiàn)1的作用點(diǎn)沿F1方向又產(chǎn)生了位移Δ12如圖所示。Δ11Δ22Δ12FF第21頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

力F1(此時(shí)的F1不再是靜力荷載，而是一個(gè)恒力)在位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由力F2所引起的，我們把力在由其他因素引起的位移上所做的功稱為虛功。第22頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在虛功中，既然做功的力和相應(yīng)的位移是彼此無因果關(guān)系的兩個(gè)因素，所以，可將二者看成是同一結(jié)構(gòu)的兩種獨(dú)立無關(guān)的狀態(tài)。其中，力系所屬的狀態(tài)稱為力狀態(tài)[圖(a)]，位移所屬的狀態(tài)稱為位移狀態(tài)[圖(b)]。（a）力狀態(tài)

（b）位移狀態(tài)

第23頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月如果在力狀態(tài)中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，統(tǒng)稱為廣義力，用Fi表示。Δi表示與廣義力Fi相應(yīng)的廣義位移，若用We表示外力虛功，則[圖(a)]所示的力狀態(tài)在[圖(b)]所示的位移狀態(tài)上所做的外力總虛功為

當(dāng)力與位移的方向一致時(shí)，虛功為正值，當(dāng)力與位移的方向相反時(shí)，虛功為負(fù)值。第24頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

這里所說的虛功并非不存在，而是強(qiáng)調(diào)做功過程中力與位移之間彼此無因果關(guān)系。使力做虛功的位移，可以是荷載引起的位移、溫度變化或支座移動(dòng)等其他因素引起的位移，也可以是虛設(shè)的位移。但是上述的所有虛位移必須是約束條件所允許的微小位移。既然位移狀態(tài)可以虛設(shè)，同樣，力狀態(tài)也可以虛設(shè)。

第25頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

變形體虛功原理是力學(xué)分析中廣泛應(yīng)用的一個(gè)十分重要的原理，現(xiàn)將其表述如下：對于變形體系，如果力狀態(tài)中的力系滿足平衡條件，位移狀態(tài)中的變形滿足約束條件，則力狀態(tài)中的外力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的位移上所作的外力總虛功等于力狀態(tài)中的內(nèi)力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的變形上所作的內(nèi)力總虛功，即We=Wi8.2.2變形體虛功原理第26頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

上式稱為變形體的虛功方程。式中：We表示外力虛功，即力狀態(tài)中的所有外力在位移狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功總和；Wi表示內(nèi)力虛功，即力狀態(tài)中的所有內(nèi)力在位移狀態(tài)相應(yīng)的變形上所作的虛功總和。變形體系的虛功原理的證明從略。第27頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

需要指出的是，在推導(dǎo)變形體的虛功方程時(shí)，并未涉及到材料的物理性質(zhì)，只要在小變形范圍內(nèi)，對于彈性、塑性、線性、非線性的變形體系，上述虛功方程都成立。當(dāng)結(jié)構(gòu)作為剛體看待時(shí)，由于沒有變形，則內(nèi)力總虛功為零，即Wi=0，于是變形體虛功原理變成了剛體的虛功原理。變形體虛功方程變?yōu)閯傮w的虛功方程，即

We=0。所以說剛體的虛功原理是變形體虛功原理的一個(gè)特例。第28頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

在工程實(shí)際中組成結(jié)構(gòu)的構(gòu)件都是變形體，結(jié)構(gòu)在荷載作用下不僅要發(fā)生變形，同時(shí)還產(chǎn)生相應(yīng)的內(nèi)力。因此，利用虛功原理求解變形體結(jié)構(gòu)問題時(shí)，不僅要考慮外力虛功，而且還要考慮與內(nèi)力有關(guān)的虛功。第29頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.2.3位移計(jì)算的一般公式1.單位荷載法現(xiàn)在，我們結(jié)合如圖所示剛架，討論如何利用變形體虛功原理來建立計(jì)算平面桿件結(jié)構(gòu)位移的一般公式。第30頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖(a)中虛線表示剛架在荷載和支座移動(dòng)等因素的作用下所發(fā)生的變形，這是結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)，簡稱實(shí)際狀態(tài)?，F(xiàn)在要求該狀態(tài)K點(diǎn)沿水平方向的位移ΔK。

(a)第31頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月利用虛功原理求解這個(gè)問題，首先要確定兩個(gè)彼此獨(dú)立的狀態(tài)，即力狀態(tài)和位移狀態(tài)。由于是求實(shí)際狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的位移，所以應(yīng)把結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)[圖(a)]作為結(jié)構(gòu)的位移狀態(tài)。(a)第32頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月而力狀態(tài)則可以根據(jù)所求位移來虛設(shè)。為了便于求出位移和簡化計(jì)算，我們選取一個(gè)與所求位移相對應(yīng)的虛單位荷載，即在K點(diǎn)沿水平方向施加一個(gè)單位力=1，如圖(b)所示。這是一個(gè)虛設(shè)的狀態(tài)，簡稱虛擬狀態(tài)。(b)第33頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在虛單位荷載=1作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生虛反力和虛內(nèi)力、、，它們構(gòu)成了一個(gè)虛設(shè)力系。(b)第34頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)變形體系的虛功原理，計(jì)算以上兩種狀態(tài)中虛擬狀態(tài)的外力和內(nèi)力在相應(yīng)的實(shí)際狀態(tài)上所做的虛功。則有得（a）式中：ε、、k——實(shí)際狀態(tài)中的軸向應(yīng)變、剪切應(yīng)變和彎曲應(yīng)變。式（a）即為平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。第35頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月由以上位移計(jì)算公式的建立過程，可歸納出用虛功原理求結(jié)構(gòu)位移的基本方法：

(1)把結(jié)構(gòu)在實(shí)際各種外因作用下的平衡狀態(tài)作為位移狀態(tài)，即實(shí)際變形狀態(tài)。(2)在擬求位移的某點(diǎn)處沿所求位移的方向上，施加與所求位移相應(yīng)的單位荷載，以此作為結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)，即虛設(shè)力狀態(tài)。第36頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)分別寫出虛設(shè)力狀態(tài)上的外力和內(nèi)力在實(shí)際變形狀態(tài)相應(yīng)的位移和變形上所做的虛功，并由虛功原理得到結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。我們把這種在沿所求位移方向施加一個(gè)單位力=1的位移計(jì)算方法稱為單位荷載法。第37頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月需要說明的是，上述平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式，不僅適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)；不僅適用于彈性材料，也適用于非彈性材料；不僅適用于荷載作用下的位移計(jì)算，也適用于由溫度變化、制造誤差以及支座移動(dòng)等因素影響下的位移計(jì)算。第38頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月2.幾種典型的虛擬狀態(tài)單位荷載法是計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般方法，其不僅可用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，也可以用來計(jì)算結(jié)構(gòu)任何性質(zhì)的位移，只要虛擬狀態(tài)中所設(shè)虛單位荷載與所求的位移相對應(yīng)，即保證廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)系即可?，F(xiàn)舉出幾種典型的虛擬狀態(tài)如下：第39頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某一點(diǎn)沿某一方向的線位移，則應(yīng)在該點(diǎn)沿該方向施加一個(gè)單位集中力[(a)]。（2）若計(jì)算的位移是桿件某一截面的角位移，則應(yīng)在該截面上施加一個(gè)單位集中力偶[圖(b)]。第40頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）若計(jì)算的是桁架中某一桿件的角位移，則應(yīng)在該桿件的兩端施加一對與桿軸垂直的反向平行集中力使其構(gòu)成一個(gè)單位力偶，每個(gè)集中力的大小等于桿長的倒數(shù)[圖(c)]。第41頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩點(diǎn)沿指定方向的相對線位移，則應(yīng)在該兩點(diǎn)沿指定方向施加一對反向共線的單位集中力[圖(d)]。第42頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)若計(jì)算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩個(gè)截面的相對角位移，則應(yīng)在這兩個(gè)截面上施加一對反向單位集中力偶[圖(e)]。(e)第43頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(6)若計(jì)算的是桁架中某兩桿的相對角位移，則應(yīng)在該兩桿上施加兩個(gè)方向相反的單位力偶[圖(f)]。第44頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月需要明確的是，虛擬狀態(tài)中單位荷載的指向是可以任意假設(shè)的，若按式（a）計(jì)算出來的結(jié)果是正值，則表示實(shí)際位移的方向與虛擬荷載的方向相同，否則相反。第45頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月若靜定結(jié)構(gòu)的位移僅僅是由荷載作用引起的，沒有支座位移的影響（即c=0），則式(a)可簡化為8.2.4荷載作用下的位移計(jì)算公式式中，微段的變形ds、ds、kds是由荷載引起。(b)第46頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月若用

FN、FS、M表示實(shí)際位移狀態(tài)中微段上由荷載產(chǎn)生的軸力、剪力和彎矩，在線彈性范圍內(nèi)，變形與內(nèi)力有如下關(guān)系：

式中：EA、GA、EI——桿件的拉壓剛度、剪切剛度、彎曲剛度，K為剪力分布不均勻系數(shù)，其與截面形狀有關(guān)。(c)第47頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月將式（c）代入式（b），得(d)式（d）為靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下位移計(jì)算的一般公式。式中，、、表示在虛擬狀態(tài)中由廣義單位荷載引起的虛內(nèi)力，這些虛內(nèi)力和原結(jié)構(gòu)由實(shí)際荷載引起的內(nèi)力，它們都可以通過靜力平衡條件求得。

第48頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月公式（d）綜合考慮了軸向變形、剪切變形和彎曲變形對結(jié)構(gòu)位移的影響。在實(shí)際應(yīng)用中，則根據(jù)不同形式的結(jié)構(gòu)特性，對不同形式的結(jié)構(gòu)分別采用不同的簡化計(jì)算公式。(1)對梁和剛架而言，彎曲變形是主要的變形，而軸向變形和剪切變形對結(jié)構(gòu)位移的影響很小，可以忽略不計(jì)。所以式（d）簡化為

（*）

第49頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)對于桁架，由于各桿件均只有軸向變形，且每一桿件的軸力和截面面積沿桿長不變，所以式（d）簡化為

第50頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)對于組合結(jié)構(gòu)，梁式桿件主要承受彎矩，其變形主要是彎曲變形，可只考慮彎曲變形對位移的影響。而鏈桿只承受軸力，只有軸向變形，所以其位移計(jì)算公式簡化為

第51頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)對于拱，當(dāng)不考慮曲率的影響時(shí)，拱結(jié)構(gòu)的位移可以近似的按式（*）來計(jì)算。通常情況下，只需考慮彎曲變形的影響，按式（*）計(jì)算，其結(jié)果已足夠精確。僅在計(jì)算扁平拱的水平位移或者拱軸線與合理軸線接近時(shí)，才考慮軸向變形的影響，即

第52頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月需要說明的是，在上述位移計(jì)算公式中，都沒有考慮桿件的曲率對變形的影響，這對直桿是正確的，而對曲桿則是近似的。但是，在常用的結(jié)構(gòu)中，如拱結(jié)構(gòu)、曲梁和有曲桿的剛架等，這些結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的曲率對變形的影響都很小，可以略去不計(jì)。第53頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.1】求圖（a）所示簡支梁的中點(diǎn)C的豎向位移和截面B的轉(zhuǎn)角。已知梁的彎曲剛度EI為常量。

(a)第54頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】1)求點(diǎn)C的豎向位移ΔCV。在點(diǎn)C沿豎向施加單位力=1，作為虛擬力狀態(tài)如圖（b）所示。(b)l/2l/2A第55頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月分別建立虛設(shè)荷載和實(shí)際荷載作用下梁的彎矩方程。取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤l/2時(shí)，有l(wèi)/2Al/2x第56頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月x第57頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月由于該梁C點(diǎn)左右對稱，所以ΔCV只需計(jì)算一半，把結(jié)果乘2倍，即得（↓）

第58頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月2)求截面B的轉(zhuǎn)角。在B端施加一單位力偶，作為虛擬力狀態(tài)如圖(c)所示。(c)

ACBl第59頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月分別建立虛設(shè)荷載和實(shí)際荷載作用下梁的彎矩方程。取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤l時(shí)，則和M的方程為

ACBlx第60頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月x第61頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月則計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，說明實(shí)際的轉(zhuǎn)角

與所設(shè)單位力偶的方向相反，即是逆時(shí)針方向。()第62頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.2】求圖（a）所示剛架上點(diǎn)C的水平位移ΔCH

。已知各桿的EI為常數(shù)。

(a)第63頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在C點(diǎn)沿水平方向施加單位力，作為虛擬力狀態(tài)如圖(b)所示。分別建立虛設(shè)荷載和實(shí)際荷載作用下剛架各桿的彎矩方程。AB桿

BC桿第64頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月則點(diǎn)C的水平位移為計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表明實(shí)際位移方向與所設(shè)單位荷載的方向相反。（→）

第65頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.3】

求圖（a）所示桁架結(jié)點(diǎn)C的豎向位移。已知各桿的彈性模量均為E=2.1×105MPa，截面面積A=12cm2。

(a)第66頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在點(diǎn)C沿豎向施加單位力，作為虛擬力狀態(tài)如圖(b)所示。計(jì)算虛擬力狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖(b)所示。

(b)-5/6-5/6-4/32/32/3第67頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算實(shí)際狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖（c）所示。(c)第68頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月具體計(jì)算過程列表進(jìn)行，見下表。由于桁架及荷載的對稱性，計(jì)算總和時(shí)，在表中只計(jì)算了半個(gè)桁架。桿DE的長度只取一半。最后求位移時(shí)乘以2。

桿件

/kN

桿長l/mm

A/mm2

E/(kN／mm2)/mm

ACADDEDC2/3-5/6-4/35/660-75-600400025000.5×4000250012001200120012002.1×1022.1×1022.1×1022.1×1020.630.620.630∑=1.88mmΔCV

=2×1.88=3.76mm(↓)第69頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.4】如圖所示為一等截面圓弧形曲桿，已知桿的I和A均為常數(shù)。求B點(diǎn)的豎向位移。并比較剪切變形和軸向變形對位移的影響ΔBV。忽略曲率的影響。

F第70頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】1)在B點(diǎn)加單位豎向荷載。分別計(jì)算在實(shí)際荷載和虛設(shè)單位荷載作用下的內(nèi)力。取B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在與OB成θ角的任意截面上，兩種狀態(tài)下的內(nèi)力分別為(b)(a)第71頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際荷載狀態(tài)M=FrsinθFS=FcosθFN=Fsinθ虛設(shè)荷載狀態(tài)=Frsinθ=Fcosθ=Fsinθ2)計(jì)算位移ΔBV。位移公式為將ds=rdθ，代入位移公式。第72頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月為比較，分別計(jì)算M、FN、FS引起的位移，并用、、表示。第73頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)桿的截面為矩形(K=1.2)，寬度為b，高度為h,并設(shè)G=0.4E，h/r=1/10，則第74頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)截面高度h遠(yuǎn)小于半徑r時(shí)，軸向變形和剪切變形對位移的影響很小，可以忽略不計(jì)。第75頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.5】組合結(jié)構(gòu)如圖（a）所示。其中CD、BD為二力桿，其拉壓剛度為EA；AC為受彎桿件，其彎曲剛度為EI。在D點(diǎn)有集中荷載F作用。求D點(diǎn)的豎向位移△DV。

CDBAEIEAEAaaa(a)第76頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)【解】在D點(diǎn)沿豎向施加單位力，作為虛擬力狀態(tài)如圖（b）所示。分別計(jì)算虛設(shè)荷載和實(shí)際荷載作用下鏈桿的軸力[圖(b，c)]，并建立受彎桿的彎矩方程。CDBAEIEAEAaaa第77頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月(b)(c)1FBC桿

AB桿CDBAEIEAEAaaaCDBAEIEAEAaaaxx第78頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月求得D點(diǎn)的豎向位移為

第79頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3圖乘法由上節(jié)知道，在計(jì)算由荷載作用引起的梁和剛架的位移時(shí)，需要建立彎矩方程和進(jìn)行繁瑣的積分運(yùn)算，利用圖乘法求位移，可以避免這些繁瑣的計(jì)算。第80頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算由荷載作用引起的梁和剛架的位移時(shí)，需要計(jì)算積分。8.3.1圖乘公式及適用條件式中是兩個(gè)彎矩方程的乘積。若在滿足一定條件的情況下，能畫出兩種狀態(tài)下的彎矩圖，則上式可以轉(zhuǎn)換為用彎矩圖互乘的方法，即用圖乘法代替積分運(yùn)算，這樣可使計(jì)算得到簡化?，F(xiàn)在對上面的積分式進(jìn)行分析：第81頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月如果該桿截面的彎曲剛度EI為一常數(shù)，則

如圖所示為直桿段AB的兩個(gè)彎矩圖，假設(shè)圖為一直線圖形，M圖為任意圖形。第82頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月這里tanα為一常數(shù)，則有由于圖為一直線圖形，所以

圖中某一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為第83頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，dA表示M圖的微面積（圖中陰影線部分的面積）；積分表示M圖的面積對于y軸的靜矩，它等于M圖的面積A乘以其形心C到y(tǒng)軸的距離xC，即

。所以第84頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)M圖的形心C所對應(yīng)的M圖中的豎標(biāo)為yC，由圖有

第85頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月對于由多個(gè)彎曲剛度EI為常數(shù)的桿段組成的結(jié)構(gòu)，用圖乘法計(jì)算位移的公式為顯然，圖乘法是將積分運(yùn)算問題簡化為求圖形的面積、形心和豎標(biāo)的問題。第86頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月需要說明的是，用圖乘法計(jì)算位移時(shí)，梁和剛架的桿件必須滿足以下條件：（1）桿段的彎曲剛度

EI為常數(shù)。（2）桿段的軸線為直線。（3）各桿段的M圖和圖中至少有一個(gè)為直線圖形。第87頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月對于等截面直桿，前兩個(gè)條件自然滿足。至于第三個(gè)條件，雖然在均布荷載的作用下M圖的形狀是曲線形狀，但圖卻總是由直線段組成，只要分段考慮也可滿足。于是，對于由等截面直桿段所構(gòu)成的梁和剛架，在計(jì)算位移時(shí)均可應(yīng)用圖乘法。第88頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用圖乘法時(shí)應(yīng)注意：(1)在圖乘前要先對圖形進(jìn)行分段處理，保證兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)是直線圖形。(2)A與yC是分別取自兩個(gè)彎矩圖，豎標(biāo)yC必須取自直線圖形。(3)

當(dāng)A與yC在桿的同側(cè)時(shí)，乘積AyC取正號；A與yC在桿的異側(cè)時(shí)，乘積AyC取負(fù)號。第89頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月下面給出了圖乘運(yùn)算中幾種常見圖形的面積及其形心位置。在應(yīng)用圖示拋物線圖形的公式時(shí)，必須注意曲線在頂點(diǎn)處的切線應(yīng)與基線平行，即在頂點(diǎn)處剪力為零。第90頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月第91頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在圖乘運(yùn)算中，經(jīng)常會(huì)遇到一些不規(guī)則的復(fù)雜圖形，這些圖形的面積和形心位置不易確定，在這種情況下，可采用圖形分塊或分段的方法，將復(fù)雜圖形分解為幾個(gè)簡單圖形，以方便計(jì)算。8.3.2圖乘技巧第92頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）若兩個(gè)圖形都是直線，但都含有正、負(fù)兩部分如圖所示，可將其中一個(gè)圖形分解為ABD和ABC兩個(gè)三角形，分別與另一個(gè)圖形圖乘并求和。M圖ACDBC1C2yC2yC1第93頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）如果M圖為梯形[如圖所示]，可以把它分解為兩個(gè)三角形，然后把它們分別與圖相乘，最后再求和，即C1C2ldcyC1CabDBAM圖式中：yC2第94頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3）若M圖是非標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形時(shí)，可以把AB段的彎矩圖分解為一個(gè)梯形和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形[如圖所示]兩部分，這段直桿的彎矩圖與相應(yīng)簡支梁在兩端彎矩MA、MB和均布荷載q作用下的彎矩圖是一樣的。ABABqaABCDdxdxaqABMBMA第95頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月從上圖可以看出，以C、D連線為基線的拋物線在形狀上雖不同于水平基線的拋物線，但兩者對應(yīng)的彎矩圖豎標(biāo)處處相等且垂直于桿軸，因此兩個(gè)拋物線圖形的面積大小和形心位置是相等的，即（不能采用上圖中的虛線CD長度）。必須指出，所謂彎矩圖的疊加是指彎矩圖豎標(biāo)的疊加。第96頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

（4）如果桿件（或桿段）的兩種彎矩圖都不是直線圖形，其中一個(gè)圖形為折線形，應(yīng)按折線分段的方法進(jìn)行處理[如圖所示]，然后分別進(jìn)行圖乘再求和。

另外，即使彎矩圖是直線圖形，但桿件為階梯桿，在這種情況下，由于各桿段的彎曲剛度不同，所以也應(yīng)分段圖乘。第97頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.6】求圖示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移ΔCV。梁的EI為常數(shù)。

第98頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在簡支梁中點(diǎn)C加單位豎向力，如圖(c)所示。分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖M圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖圖，如圖（b，c）所示。

C第99頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月因M圖是曲線，應(yīng)以M圖作為A，而

圖是由折線組成，應(yīng)分兩段圖乘。但因圖形對稱，可計(jì)算一半再乘兩倍。

所以第100頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.7】

求圖示懸臂梁在B點(diǎn)的豎向位移ΔBV。梁的EI為常數(shù)。

第101頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在懸臂梁B點(diǎn)加豎向單位力，如圖(c)所示。分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖M圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖圖，如圖(b，c)所示。

lABql2第102頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月圖乘時(shí)要注意，此時(shí)的M圖的B點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，因而面積和形心不能直接用公式。而是應(yīng)將M圖分解為一個(gè)上邊受拉的三角形A1和一個(gè)下邊受拉的拋物線圖形A2。圖形的面積和縱坐標(biāo)計(jì)算如下：lABql2A1A2y1y2第103頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

于是B點(diǎn)的豎向位移為lABql2A1A2y1y2第104頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.8】求圖（a）所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。梁的EI為常數(shù)。

(a)第105頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在C點(diǎn)加豎向單位力，如圖(c)所示。分別作荷載及單位力所產(chǎn)生的M圖[圖(b)]和圖[圖(c)]。

第106頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

A1A2圖包括兩段直線，所以，整個(gè)梁應(yīng)分為AB和BC兩段進(jìn)行圖乘。AB段的M圖可以分解為一個(gè)在基線上邊受拉的三角形A1和一個(gè)在基線下邊受拉的標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形A2。第107頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月BC段的M圖則為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形A3。M圖中各分面積與相應(yīng)的圖中的縱坐標(biāo)分別計(jì)算如下：

于是C點(diǎn)的豎向位移為A1A2（↓）

yc3yc2yc1第108頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.9】求圖（a）所示懸臂剛架梁中點(diǎn)D的豎向位移ΔDV。各桿的EI為常數(shù)。

F(a)第109頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】在梁中點(diǎn)D加豎向單位力[圖(c)]。分別作荷載作用下的M圖[圖(b)]和單位力作用的圖[圖(c)]。

FlFlFl0.5l0.5l0.5l(c)(b)第110頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在應(yīng)用圖乘法時(shí)，把單位力產(chǎn)生的圖作為圖形的面積，梁上的圖面積作為A1，柱上的圖面積作為A2[圖(c)]。

FlFlFl0.5l0.5l0.5lA1A2y1y2(c)(b)第111頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

于是D點(diǎn)的豎向位移為第112頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.4支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)是無多余約束的幾何不變體系，支座移動(dòng)對靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生任何內(nèi)力和變形，只產(chǎn)生剛體位移。如圖所示，靜定剛架由于地基的沉陷，使支座A發(fā)生了豎向位移Δ，整個(gè)剛架發(fā)生了如圖中虛線所示的剛體位移。

第113頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算，屬于剛體的位移計(jì)算問題，位移計(jì)算公式可簡化為

式中：——虛擬狀態(tài)的支座反力；c——實(shí)際狀態(tài)的支座位移；——虛擬狀態(tài)下所有支座反力在實(shí)際狀態(tài)的支座位移上所做的外力虛功之和。第114頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在上式中，當(dāng)虛擬狀態(tài)的支座反力方向與實(shí)際支座位移的方向一致時(shí)乘積取正號，否則取負(fù)號。

第115頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【例8.10】如圖（a）所示結(jié)構(gòu)，若A端發(fā)生水平移動(dòng)a，豎向下沉b，轉(zhuǎn)角

。求由此引起的點(diǎn)B的水平位移ΔBH和豎向位移ΔBV。

(a)第116頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】1)求△BH。在B點(diǎn)加一水平單位力，如圖（b）所示。由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計(jì)算支座反力。

（b）第117頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

（←）

位移△BH為2)求ΔBV。在B點(diǎn)加一豎向單位力，如圖（c）所示。(c)第118頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月

由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計(jì)算支座反力。

位移△BV為（↓）

(c)第119頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月8.5互等定理本節(jié)介紹線彈性體系的三個(gè)互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，其余兩個(gè)定理可由功的互等定理推導(dǎo)得到。這幾個(gè)定理在計(jì)算位移和求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)是很有用的，也是今后學(xué)習(xí)、研究其他有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)。第120頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)同一結(jié)構(gòu)分別受到兩組外力F1和F2的作用，如圖(a，b)所示的兩種狀態(tài)。

8.5.1功的互等定理（a）狀態(tài)IAB12（b）狀態(tài)IIAB12F1F2第121頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)Ⅰ中，在F1產(chǎn)生的內(nèi)力用FN1、FS1、M1表示，F(xiàn)1產(chǎn)生的與F2相應(yīng)的位移為21。狀態(tài)Ⅱ中，在F2產(chǎn)生的內(nèi)力用FN2、FS2、M2表示，F(xiàn)2產(chǎn)生的與F2相應(yīng)的位移為12。（a）狀態(tài)IΔ21AB12（b）狀態(tài)IIΔ12AB12F1F2第122頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月若以We12表示狀態(tài)Ⅰ的外力在狀態(tài)Ⅱ的位移上所做的虛功，則根據(jù)虛功原理可寫出虛功方程如下：反過來，若以We21表示狀態(tài)Ⅱ的外力在狀態(tài)Ⅰ的位移上所做的虛功，可寫出虛功方程如下：(a)(b)第123頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月比較(a)、(b)，可知以上兩式的右邊完全相同，故有We12=We21?；?qū)憺椤艶1Δ12=∑F2Δ21上式表明：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功。這就是功的互等定理。顯然，功的互等定理研究的是同一結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)的虛功關(guān)系。第124頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月位移互等定理是功的互等定理的一種特殊情況，研究的是同一體系的兩種狀態(tài)，在兩個(gè)作用點(diǎn)分別作用單位力時(shí)，在單位力的作用點(diǎn)沿單位力方向的位移之間的關(guān)系。8.5.2位移互等定理第125頁，課件共138頁，創(chuàng)作于2023年2月在如圖所示的兩種狀態(tài)中，結(jié)構(gòu)受到的荷載均為單位荷載，即都只受一個(gè)單位力F1=F2=1的作用。設(shè)用δ12表示由F2=1引起的與F1相應(yīng)的位移，用δ21表示由F1=1引起的與F2相應(yīng)的位移，則由功的互等定理可得F1δ12=F2