數(shù)學(xué)人教九年級(jí)上冊（2014年新編）24-1-2 垂直于弦的直徑（導(dǎo)學(xué)案）

24.1.2垂直于弦的直徑學(xué)習(xí)目標(biāo)：1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推導(dǎo)，能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明；2)通過圓的對(duì)稱性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解垂徑定理的推導(dǎo)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用垂徑定理解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)過程1）知識(shí)點(diǎn)回顧【問題一】軸對(duì)稱圖形的概念？如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形?！締栴}二】常見的軸對(duì)稱圖形有什么？2）課堂探究一、探索圓的對(duì)稱性【問題三】將你手中的圓形紙片沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到圓的什么特性？圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸?！咀C明】如圖，CD是⊙O的任一條直徑，A是⊙O上點(diǎn)C,D以外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作CD⊥AB，交⊙O于點(diǎn)B，垂足為E，連接OA,OB.證明：在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形而OE⊥AB∴AE=EB即CD是AB的垂直平分線。這就是說對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)B，因此⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱?！締栴}四】根據(jù)軸對(duì)稱圖形性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。坎L試證明？CE=DE、AC=AD【證明】已知：線段CD是⊙O的一條弦，直徑AB⊥CD，垂足為E。求證：CE=DE,AC=證明：連接OC、OD,在△OCD中，∵OC=OD，且OE⊥CD,∴CE=DE，∠COB=∠BOD,∴∠AOC=∠AOD,∴AC=AD二、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。【易錯(cuò)點(diǎn)】平分弦的直徑垂直于這條弦嗎？不一定【概念理解】判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？僅3、6可以垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。三、垂徑定理的解題思路在直角三角形中，由勾股定理得：弦心距2+【練一練】1．下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的弧；③錯(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；④正確．故選：D．2．如圖，已知AB為⊙O的弦，，垂足為C，若，，則弦心距OC的長為（

）．A．12 B．10 C．6 D．8【詳解】解：∵AB為⊙O的弦，，，，，．故選：C．3．如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（

）A．3 B． C．6 D．【詳解】如圖所示，連接由題意知，弦心距OC＝2，則根據(jù)垂徑定理，有在中，則根據(jù)垂徑定理可知，故選D．4．如圖，在中，弦于點(diǎn)E，的延長線交弦所對(duì)的優(yōu)弧于點(diǎn)F．若，則的半徑為（

）A．5 B．6 C．4 D．【詳解】解：連接OA，如圖所示：設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA=OF=r，OE=EF-OE=8-r，又∵OE⊥弦AB于點(diǎn)E，∴AE=AB=×8=4，在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，即，r2=（8-r）2+42，解得：r=5，∴⊙O的半徑長為5．故選：A．5．如圖是一圓形水管的截面圖，已知⊙O的半徑OA＝13m，水面寬AB＝24m，則水的深度CD是（

）A．6m B．6.5m C．7m D．8m【詳解】解：由題意，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半徑，，∴，在中，OA＝13m，m，∴，∴，故選D．6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，∴，DE=CE，，∴B，D選項(xiàng)正確；∵，∴，∴∠COE=∠DOE，∴A選項(xiàng)正確；只有當(dāng)∠COE=60°時(shí)，才有OE=BE．∴C選項(xiàng)不成立；故選：C．7．一個(gè)圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（）A．2m B．4m C．6m D．8m【詳解】∵CD垂直平分AB，∴AD＝＝8m∴OD＝＝6m∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m故選：B．8．如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（

）A． B．2m C． D．3m【詳解】解：∵CD為拱高，∴CD過圓心，且CD⊥AB，∴AD=BD=，在CD上圓心為O，連結(jié)OA，∴OA=OC，CD=3，設(shè)OA=x，OD=3-x，在Rt△OAD中，，即，解得，∴該拱門的半徑為m．故選擇A．9．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．若圓被水面截得的弦長為，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為______m．【詳解】解：過O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，∴AE=BE=AB=×16=8，在Rt△AEO中，OE=，∴ED=OD-OE=10-6=4（m），故答案為：410．如圖，在⊙O中，直徑AB的長為10，弦CD的長為6，且AB⊥CD于E，則AE的長為_____．【詳解】解：如圖，連接，的直徑的長為10，，弦的長為6，且于，，在中，，則，故答案為：9．11．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，其中《方田》一章中記載了弧田面積術(shù)，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即弧田面積＝（弦×矢＋矢×矢）÷2，如圖，“弧田”由圓弧和其所對(duì)的弦圍成，“弦”是圓弧所對(duì)的弦長，“矢”是半徑長與圓心到弦的距離之差．若弦AB的長為16米，半徑OA＝10米，則弧田面積為______平方米．【詳解】解：由垂徑定理可知，垂直平分弦，圓心到弦的距離為米，矢米，弦米．弧田面積平方米．故答案為：．12．把一張圓形紙片按如圖方式折