高等數(shù)學(xué)重積分的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)重積分的應(yīng)用第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點(diǎn)

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便2.用重積分解決問題的方法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月任一點(diǎn)的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xoy

面上的投影為(記所圍域?yàn)镈)在點(diǎn)例1.求曲面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.求半徑為a

的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)閯t立體體積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.計(jì)算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.(見書P109)方法1利用球坐標(biāo)方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月將分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第k塊上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月同理可得則得形心坐標(biāo)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對(duì)x

軸的

靜矩—對(duì)y

軸的

靜矩機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:

利用對(duì)稱性可知而之間均勻薄片機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲(chǔ)有高為

h

的均質(zhì)鋼液,解:利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月類似可得:對(duì)x

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

取球心為原點(diǎn),z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例8.求均勻球體對(duì)于過球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球所占域?yàn)?用球坐標(biāo))機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對(duì)位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)xoy面上的平面薄片D,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解:由對(duì)稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解:

利用對(duì)稱性知引力分量點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月為球的質(zhì)量機(jī)動(dòng)目錄