新教材人教b版數(shù)學必修角的推廣

第七章三角函數(shù)7.1任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣1.角的概念的推廣:一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形.【思考】在角的概念推廣后,兩條射線分別叫什么?提示:在旋轉(zhuǎn)角度給出角的概念時,兩條射線分別叫做角的始邊和終邊.2.角的加、減的幾何意義:α+β表示在角α的基礎(chǔ)上,逆時針旋轉(zhuǎn)β角度;α-β表示在角α的基礎(chǔ)上,順時針旋轉(zhuǎn)β角度.【思考】用幾何意義表示角的加、減時,按逆時針、順時針旋轉(zhuǎn)的是角的哪條邊?提示:在表示α±β時第二次旋轉(zhuǎn)的是角α的終邊.3.角的分類類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個零角

【思考】(1)正角、負角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的?提示:角的分類是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的.

(2)如果一個角的終邊與其始邊重合,這個角一定是零角嗎?為什么?提示:不一定,零角的終邊與始邊重合,但終邊與始邊重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置,而是根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn).4.象限角如果角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的正半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何象限.【思考】把一個角放在平面直角坐標系中時,這個角是否一定就是某一個象限的角?請說明原因.提示:不一定.當角的頂點與原點重合始邊在x軸的非負半軸上時,若角的終邊在哪個象限,則該角為該象限角,當角的終邊在坐標軸上時,則該角不屬于任何象限.5.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.【思考】反過來,若角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時,角α,β是否是終邊相同的角?為什么?提示:當角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時,表示成角α與β相隔整數(shù)個周角,即角α,β終邊相同.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)經(jīng)過1小時,時針轉(zhuǎn)過30°. (

)(2)終邊與始邊重合的角是零角. (

)(3)小于90°的角是銳角. (

)提示:(1)×.因為是順時針旋轉(zhuǎn),所以時針轉(zhuǎn)過-30°.(2)×.終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×.銳角是指大于0°且小于90°的角.2.與45°角終邊相同的角是 (

)A.-45° B.225° C.395° D.-315°【解析】選D.與45°角終邊相同的角可以表示為45°+k·360°,k∈Z,結(jié)合四個選項可以發(fā)現(xiàn)只有答案D符合題意.3.將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角度數(shù)為________,將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角度數(shù)________.

【解析】把35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得35°-60°=-25°;把35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后得35°+360°=395°.答案:-25°

395°4.已知0°≤α<360°,且α與600°角終邊相同,則α=________,它是第________象限角.

【解析】因為600°=360°+240°,所以240°角與600°角終邊相同,且180°<240°<270°,故α=240°,它是第三象限角.答案:240°三類型一任意角的概念及應(yīng)用【典例】1.下列說法正確的是 (

)A.終邊相同的角一定相等B.鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角C.終邊相同的角之間相差180°的整數(shù)倍D.大于90°的角都是鈍角2.給出下列四個命題:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第三象限角;④-315°是第一象限角.其中是真命題的有 (

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【思維·引】1.根據(jù)角的概念、終邊相同角的集合等概念解題,特別注意銳角、直角、鈍角等特殊的角.2.根據(jù)終邊相同角的概念對角進行轉(zhuǎn)化,熟記各個象限角的范圍.【解析】1.選B.終邊相同的角不一定相等,可能相隔k·360°(k∈Z),A錯;鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn),故是負角,所以B對;終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍,C錯;200°>90°但200°不是鈍角,D錯.2.選C.-90°<-75°<0°,第四象限,①正確;180°<

225°<270°,第三象限,②正確;360°+90°<475°

<360°+180°,第二象限,③錯誤;-360°<-315°<-270°,第一象限,④正確;所以這四個命題中真命題有3個.【內(nèi)化·悟】四個象限在0°到360°的角的表示?提示:第一象限,0°<α<90°;第二象限,90°<α<180°;第三象限,180°<α<270°;第四象限,270°<α<360°.【類題·通】1.理解角的概念的三個“明確”常見角α的范圍:銳角0°<α<90°,鈍角90°<α

<180°,直角90°,平角180°,周角360°.2.判斷角的概念型問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧:判斷一種說法正確需要證明,而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可.提醒:解答概念辨析題,一是利用反例排除錯誤答案,只需舉一個反例即可,二是利用定義直接判斷.【習練·破】1.已知集合A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},則下面關(guān)系正確的是 (

)A.A=B=C B.A?CC.A∩C=B D.B∪C=C【解析】選D.由已知得B?C,所以B∪C=C.2.將時鐘撥快20分鐘則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是_____.

【解析】由于順時針旋轉(zhuǎn),分針每分鐘轉(zhuǎn)-6°,所以20分鐘轉(zhuǎn)了-120°.答案:-120°類型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用【典例】寫出終邊落在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來. 世紀金榜導(dǎo)學號【思維·引】(1)在0°到360°范圍內(nèi)找出與直線y=x終邊相同的角,再推廣到任意角.(2)終邊相同的角的取值是由k的取值決定的.【解析】直線y=x與x軸的夾角是45°,在0°到360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個:45°,225°.因此,終邊在直線y=x上的角的集合:S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.所以S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°;45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°;45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°.【內(nèi)化·悟】在表示終邊相同的角時,k∈Z這個條件能改變嗎?能省略嗎?為什么?提示:不能改變,更不能省略.k∈Z包含三層意思:①特殊性:每取一個整數(shù)值就具體對應(yīng)一個角.②一般性:表示所有與α終邊相同的角(包括角α).③幾何意義:k表示角的終邊旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),當k>0時,逆時針旋轉(zhuǎn);當k<0時,順時針旋轉(zhuǎn);當k=0時無旋轉(zhuǎn).【類題·通】解答本題關(guān)鍵是找到0°到360°范圍內(nèi),終邊落在直線y=x的角:45°,225°,再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡的還要化成最簡形式.【習練·破】寫出終邊落在x軸上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°,k∈Z}={α|α=2k·180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=n·180°,n∈Z}.類型三象限角及其應(yīng)用角度1用不等式組表示角的集合【典例】如圖所示. 世紀金榜導(dǎo)學號(1)寫出終邊落在射線OA,OB上的角的集合.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【思維·引】(1)根據(jù)題目給出的條件分別寫出OA,OB表示的角.(2)根據(jù)陰影部分寫出不等式,注意兩個角的先后順序.【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.【素養(yǎng)·探】在用集合或不等式表示角時,要涉及直觀想象的核心素養(yǎng),一般先在0°到360°范圍內(nèi)找到對應(yīng)的特殊角,再加k·360°推廣到一般情況.在用不等式表示陰影部分時,先求出兩邊的角,再寫出不等式表示,寫的時候注意實線與虛線的區(qū)別.將本例中的圖形改為如下圖所示,寫出終邊落在陰影部分的角的集合.【解析】設(shè)終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成.①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}.②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}.所以角α的集合應(yīng)當是集合①與②的并集,即S={α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°,n∈Z}.角度2

nα或所在象限的判定【典例】若α是第二象限角,求2α,分別是第幾象限的角? 世紀金榜導(dǎo)學號【思維·引】根據(jù)已知條件,用不等式表示出α的范圍,再求出nα或,然后判定所在象限即可.【解析】(1)因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°,所以2α是第三或第四象限的角,或角的終邊在y軸的非正半軸上.(2)方法一:因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z).①當k=2n(n∈Z)時,45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z),所以是第一象限角;②當k=2n+1(n∈Z)時,225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z),所以是第三象限角.故是第一或第三象限角.方法二:如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正向的上方起,依次將各區(qū)域標上一、二、三、四,則標有二的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域,故為第一或第三象限角.【類題·通】已知α范圍,求nα或的范圍1.已知α范圍,求nα所在象限時,用不等式表示出來,再查找不等式的范圍即可,注意結(jié)果可能不只有象限角,還可能有軸線角.2.已知α范圍,求所在象限時,可以把每個象限等分為n份,再按順序標記一,二,三,四,找到原象限數(shù)字即可.【習練·破】若角α是第一象限角,求-α,分別是第幾象限角?【解析】因為α是第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),所以-α所在區(qū)域與-90°～0°范圍相同,故-α是第四象限角.(2)方法一(分類討論):k·120°<<k·120°+30°(k∈Z).當k=3n(n∈Z)時n·360°<