北師大版必修五2 1余弦定理

1.2余弦定理問(wèn)題提出在三角形中,已知兩邊及其夾角,怎么求出此角的對(duì)邊?已知三條邊,怎么求出它的三個(gè)角呢?分析理解如圖,根據(jù)向量的數(shù)量積,可以得到a2

=

BC

?BCABCabc

=

(AC

-

AB)

?(AC

-

AB)2

2=

AC

-

2AC

?AB

+

AB2

2=

AC

-

2

|

AC

|

?|

AB

|

cos

A

+

AB=

b2

-

2bc

cos

A

+

c2即a2

=

b2

+

c2

-

2bc

cos

Ac2

=

a2

+

b2

-

2ab

cos

C余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即同理可證b2

=

c2

+

a2

-

2ca

cos

Ba2

=

b2

+

c2

-

2bc

cos

A

b2

=

c2

+

a2

-

2ca

cos

B

c2

=

a2

+

b2

-

2ab

cos

C利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。延伸變形2222

b

cb

+

c

-

a2222

b

ca

+

c

-

bc

o

s

A

=c

o

s

B

=2222

a

ba

+

b

-

cc

o

s

C

=論:

在D

ABC

中，若a

2

+b

2

=c

2，則C為直角；若a2

+b2

>c2，則C為銳角；若a2

+b2

<c2，則C為鈍角；推例4：如圖,有兩條直線AB和CD相交成80O角,交點(diǎn)是O.甲乙兩人同時(shí)從點(diǎn)O分別沿OA,OC方向出發(fā),速度分別為4km/h和4.5km/h.3時(shí)后兩人相距多遠(yuǎn)(結(jié)果精確到0.1km)?分析

經(jīng)過(guò)3時(shí),甲到達(dá)點(diǎn)P,OP=4×3=12(km),乙到達(dá)點(diǎn)Q,OQ=4.5×3=13.5(km),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在△OPQ中,已知OP=12km,

OQ=13.5km,∠POQ=

80O,求PQ的長(zhǎng).AB

O

PDCQ80O解

經(jīng)過(guò)3時(shí)后,甲到達(dá)點(diǎn)P,OP=4×3=12(km),乙到達(dá)點(diǎn)Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知PQ

=

OP2

+

OQ2

-

2OP

?OQ

cos

—

POQ=

122

+13.52

-

2

·12

·13.5

cos

80?16.4(km)答

3時(shí)后兩人相距約16.4km.例5：如圖是公元前約400年古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)及∠DAB的大小(長(zhǎng)度精確到0.1,角度精確到1O)?5,...

的圖形.試計(jì)算圖中線段BD的長(zhǎng)度2,

3,AB11C1D23解.在△BCD中,BC=1,CD=1,∠BCD=135O.因?yàn)锽D2

=

BC

2

+

CD2

-

2BC

?CD

cos

—

BCD=12

+12

-

2

·1·1cos135=

2

+

2BD

?1.8所以2

+

2

,

AD

=

3在△ABD中,AB=1,BD

=因?yàn)锳B2

+

AD2

-

BD2cos

—

DAB

=2

AB

?AD=12

+(

3)2

-(2

+

2)2·1·

3?

0.1691所以—

DAB

?

801.在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.cosA＝b2＋c2－a22bca2＋b2－c22ab解：∵∴

A≈44°∵

cosC＝∴

C≈36°∴

B＝180°－(A＋C)≈100°.＝0.725，＝0.8071，2. ΔABC中，a=2，b=22，C=15°，解此三角形.解：∵c

2∴c＝=

a

2

+

b

2

-

2ab

cos

C＝8－46

-

2∴cos

B