初中競賽幾何必做100題 高難度版

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第一題：已知：$\triangleABC$外接于$\odotO$，$\angleBAC=60^\circ$，$AE\perpBC$，$CF\perpAB$，$AE$、$CF$相交于點(diǎn)$H$，點(diǎn)$D$為弧$BC$的中點(diǎn)，連接$HD$、$AD$。證明：$\triangleAHD$為等腰三角形。第二題：如圖，$F$為正方形$ABCD$邊$CD$上一點(diǎn)，連接$AC$、$AF$，延長$AF$交$AC$的平行線$DE$于點(diǎn)$E$，連接$CE$，且$AC=AE$。證明：$CE=CF$。第三題：已知：$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleBAC=20^\circ$，$\angleBDC=30^\circ$。證明：$AD=BC$。第四題：已知：$\triangleABC$中，$D$為$AC$邊的中點(diǎn)，$\angleA=3\angleC$，$\angleADB=45^\circ$。證明：$AB\perpBC$。第五題：如圖，四邊形$ABCD$的兩條對角線$AC$、$BD$交于點(diǎn)$E$，$\angleBAC=50^\circ$，$\angleABD=60^\circ$，$\angleCBD=20^\circ$，$\angleCAD=30^\circ$，$\angleADB=40^\circ$，求$\angleACD$。第六題：已知，$\angleABC=30^\circ$，$\angleADC=60^\circ$，$AD=DC$。證明：$AB+BC=BD$。第七題：如圖，$PC$切$\odotO$于$C$，$AC$為圓的直徑，$PEF$為$\odotO$的割線，$AE$、$AF$與直線$PO$相交于$B$、$D$。證明：四邊形$ABCD$為平行四邊形。第八題：已知：在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$\angleA=80^\circ$，$\angleOBC=10^\circ$，$\angleOCA=20^\circ$。證明：$AB=OB$。第九題：已知：正方形$ABCD$中，$\angleOAD=\angleODA=15^\circ$。證明：$\triangleOBC$為正三角形。第十題：已知：正方形$ABCD$中，$E$、$F$為$AD$、$DC$的中點(diǎn)，連接$BE$、$AF$，相交于點(diǎn)$P$，連接$PC$。證明：$PC=BC$。第十一題：如圖，$\triangleACB$與$\triangleADE$都是等腰直角三角形，$\angleADE=\angleACB=90^\circ$，$\angleCDF=45^\circ$，$DF$交$BE$于$F$。證明：$\angleCFD=90^\circ$。第十二題：已知：$\triangleABC$中，$\angleCBA=2\angleCAB$，$\angleCBA$的角平分線$BD$與$\angleCAB$的角平分線$AD$相交于點(diǎn)$D$，且$BC=AD$。證明：$\angleACB=60^\circ$。第十三題：已知：$\triangleABC$中，$AC=BC$，$\angleC=100^\circ$，$AD$平分$\angleCAB$。證明：$AD+CD=AB$。第十四題：已知：$\triangleABC$中，$AB=BC$，$D$是$AC$的中點(diǎn)，過$D$作$DE\perpBC$于$E$，連接$AE$，取$DE$的中點(diǎn)為$F$。證明：$AF=BF$。63.在正方形ABCD中，CE=EF且∠CEF=90°。連接AF，G是AF的中點(diǎn)，連接GD、GE。證明：GD⊥GE且GD=GE。64.設(shè)點(diǎn)I、H分別為銳角三角形ABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)B1、C1為兩邊中點(diǎn)，射線B1I交邊AB于點(diǎn)B2（B2≠B），射線C1I交AC的延長線于點(diǎn)C2，B2C2與BC相交于K，A1為△BHC的外心。證明：A、I、A1三點(diǎn)共線的充要條件是△BKB2和△CKC2面積相等。65.如圖，△ABC的內(nèi)切圓I切AB、BC、AC于點(diǎn)D、E、F，直線EF與AI、BI、DI交于點(diǎn)M、N、K。證明：DM·KE=DN·KF。66.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，兩對角線交于H，兩組對邊分別相交于P、Q。證明：H為△OPQ的垂心。67.AB=AC，∠BAC=80°，∠PBC=20°，∠PCB=40°。求∠APB的大小。68.過圓外一點(diǎn)A作圓的切線AC、AD，再作割線AEF，分別經(jīng)E、F作圓的切線相交于B。證明：B、C、D三點(diǎn)共線。69.兩個(gè)半徑不等的圓K1、K2交于A、B兩點(diǎn)，C、D為K1、K2上兩點(diǎn)且AC=AD，CB交⊙K2于F，DB交⊙K1于E，CD、EF的中垂線交于P。證明：CA、PA、EP構(gòu)成直角三角形。70.如圖，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB=5，PC=2。求△ABC的面積。71.若△ABC為等邊三角形，O為其內(nèi)接圓，D為O上一點(diǎn)。證明或否證：AD+BD+CD為定值。72.△ABC的內(nèi)切圓I切BC于D，M是高AH的中點(diǎn)，DM交圓于R。證明：DR平分∠BRC。73.如圖，正三角形ABC，以A為頂點(diǎn)向外作兩個(gè)正三角形ADE和AGF，連接EF、DB、CG，取EF、DB、CG中點(diǎn)M、K、N連接。證明：△KNM為正三角形。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P(x,y)滿足x>0，y>0，且AP=1，BP=2.設(shè)角CPD的度數(shù)為α，角APB的度數(shù)為β，則tan(α+β)=3/4.APBDC已知三角形ABC的外心為O，垂心為H，BC和AB的中點(diǎn)分別為D和F。同時(shí)，P和Q分別位于BA和BC上，滿足DP垂直于DH，F(xiàn)Q垂直于FH?，F(xiàn)證明PQ垂直于OH。首先，由于DH是AB的高線，F(xiàn)H是BC的高線，因此DH和FH垂直于AB和BC。又因?yàn)镺是三角形ABC