2019年新課堂高考總復習數(shù)學文科第九章6講回歸分析與獨立性檢驗配套課件

第6講

回歸分析與獨立性檢驗考綱要求考點分布考情風向標1.會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖2012年新課標第3題考查樣本的相關(guān)系數(shù)；由于該部分內(nèi)容的特殊

性，高考對該部分的考查一直非常慎重.高考在該部分的主要命題點就是回歸分析和獨立性檢驗的基礎(chǔ)知識和簡單應用.因此，復習時要掌握好回歸分析和獨立性檢驗的基本思

想、方法和基本公式.此部分內(nèi)容也可能結(jié)合概率統(tǒng)計的其他內(nèi)容命制綜合解答題.另外，復習時要把獨立性檢驗作為重點認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2014

年新課標Ⅱ第19

題考查非2.了解最小二乘法的思想，能線性擬合、線性回歸方程求法，根據(jù)給出的線性回歸方程系利用回歸方程進行預報預測；數(shù)公式建立線性回歸方程.2015

年新課標Ⅰ第19

題考查非3.

了解下列一些常見的統(tǒng)計線性擬合、線性回歸方程求法，方法，并能應用這些方法解利用回歸方程進行預報預測；決一些實際問題.2016

年新課標Ⅲ第18

題考查非(1)了解獨立性檢驗(只要求2線性擬合、線性回歸方程求法，×2

列聯(lián)表)的基本思想、方利用回歸方程進行預報預測；法及其簡單應用.2017

年新課標Ⅰ第19

題(1)考查(2)了解回歸的基本思想、方樣本的相關(guān)系數(shù)；新課標Ⅱ第法及其簡單應用19

題考查獨立性檢驗1.變量間的關(guān)系常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.將樣本中n個數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標系中，表示兩個變量關(guān)系的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.正相關(guān)、負相關(guān).①在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān).②在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān).2.回歸分析定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.線性相關(guān)關(guān)系：觀察散點圖的特征，如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.(3)回歸直線的求法：n對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通過求偏差的平方和Q＝(yi－b^xi－a^)2

的最小值而i=1回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法，則回歸直線方程^y＝b^x＋a^

的系數(shù)為：22nn

iii=1(x

-

x)2x

-

nx(xi

-

x)(

yi

-

y)

xi

yi

-

nxynni=1b

=

i=1

=

i=1 a

=

y

-

b

x—1其中x

＝nnii=1x

，—y

＝1nni=1－

－yi

，(x

，y

)稱作.

樣本點的中心

(4)線性相關(guān)強度的檢驗：①r＝2

2nn

nii(x

-

x)(

y

-

y)(xi

-

x)(

yi

-

y)

i=1

2222niii=1y

-

ny

)n(

x

-

nx

)(i=1i=1

i=1n

xi

yi

-

nxy＝

i=1

叫做y

與x

的相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù).22r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強.r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75

時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.(5)相關(guān)指數(shù)：ni

ini=1R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好.在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2

越接近于1，表示回歸的效果越好.(

y

-

y

)(

y

-

y)

iR2＝1－

i=1

.②當

r>0

時，表明兩個變量正相關(guān)；當

r<0

時，表明兩個變量

負相關(guān)

.y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d3.獨立性檢驗分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量.列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設有兩個分類變量X

和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，

y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2

列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表構(gòu)造一個隨機變量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中

n＝

a＋b＋c＋d

為樣本容量.(3)獨立性檢驗：利用隨機變量K2

來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.1.第31屆夏季奧林匹克運動會，中國獲26金，18

銀，26銅共70

枚獎牌居獎牌榜第二，并打破3

次世界紀錄.由此許多人認為中國進入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見.有網(wǎng)友為此進行了調(diào)查，在參加調(diào)查的2548

名男性公民中有1560

名持反對意見，2452

名女性公民中有1200

人持反對意見，在運用這些數(shù)據(jù)說明中國的獎牌數(shù)是否與中國進入體育強國有無關(guān)系時，用什么方法最有說服力(A.平均數(shù)與方差C.獨立性檢驗)B.回歸直線方程

D.概率解析：由于參加討論的公民按性別被分成了兩組，而且每一組又被分成了兩種情況：認為有關(guān)與無關(guān)，故該資料取自完全隨機統(tǒng)計，符合2×2

列聯(lián)表的要求.故用獨立性檢驗最有說服力.答案：C2.已知變量x

與y

正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)x＝3，y

＝3.5

，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(B.^y＝2x－2.4D.^y＝－0.3x＋4.4A

)A.^y＝0.4x＋2.3

C.^y＝－2x＋9.5解析：因為變量x

和y

正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C

和D.因為樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)分別代入選項A

和B

中的直線方程進行檢驗，可以排除B.故選A.項目男女總計愛好402060不愛好203050總計60501103.通過隨機詢問110

名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：由K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得：K2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：參照附表，得到的正確結(jié)論是(

A

)有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.－1

B.0

C.12D.14.(2012

年新課標)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(x

，y

)(i＝1,2，…，n)都在直線

y

1

＋1

上，則這組樣本i

i

＝2x數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(

D

)解析：由題設知，這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1.故選D.x123456y021334考點1相關(guān)關(guān)系判斷)例1：已知x

與y

之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得回歸直線方程為

^y＝b^x＋a^

.若某同學根據(jù)上表中前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的回歸直線方程為

y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(A.b^>b′，a^>a′

C.b^<b′，a^>a′B.b^>b′，a^<a′

D.b^<b′，a^<a′21

7－y13解析：由表格知，－x

＝

6

＝2， ＝

6

.^則b＝1×0＋2×2＋3×1＋4×3＋5×3＋6×4－67

13×2×

67212＋22＋32＋42＋52＋62－6×

2513

5

7

1＝7，a^＝－y

－b^－x

＝

6

－7×2＝－3.23由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)，得－x

′＝，－y

′＝1.答案：C則b′＝

2

31×0＋2×2－2×

×13212＋22－2×

2＝2，3a′＝－y

′－b′－x

′＝1－2×

＝－2.2綜上所述，b^<b′，a^>a′.故選C.【規(guī)律方法】回歸直線方程為^y

＝

b^

x

＋a^

，其中b^

＝22n

ni

i=1

i=1

xi

yi

-

nxy

x

-

nx，a＝

y

－^

－

^－

－b

x

.其中x

＝1nnii=1—x

，y

＝1nnii=1—y

，點(x

，－y

)稱為樣本點的中心，回歸直線都經(jīng)過樣本點的中心.x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0【互動探究】1.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：得到的回歸方程為^y＝b^x＋a^，則(

)A.a^>0，b^<0C.a^<0，b^<0B.a^>0，b^>0D.a^<0，b^>0圖D68答案：A解析：依題意，畫散點圖，如圖D68，兩個變量負相關(guān)，所以b^<0，a^>0.x173170176y1701761822.某數(shù)學老師身高176

cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是

173

cm、170

cm

和

182

cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為

cm.解析：由題意父親身高x

cm

與兒子身高y

cm

對應關(guān)系如下表：則x

＝173＋170＋1763＝173，

y

＝170＋176＋1823＝176，3i=1(

xi－

x

)(yi－

y

)＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)×(182－176)＝18，3(

xi－

x

)2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.i=118^

^∴b^＝18＝1.∴a＝

y

－b x

＝176－173＝3.∴回歸直線方程為^y＝b^x＋a^＝x＋3.∴可估計孫子身高為182＋3＝185(cm).答案：185考點2回歸分析的綜合運用例2：(2015

年新課標Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8

年的宣傳費xi

和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖(如圖961)及一些統(tǒng)計量的值.圖961xyw8(

xi－－x

)2i=18(

wi－－w

)2i=18(

xi－－x

)(yi－－y

)i=18(

wi－－w

)(yi－－y

)i=146.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝18i=1xi

，

w

＝8wi

.根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx

與

y＝c＋d

x，哪一個適合作為年銷售量y

關(guān)于年宣傳費x

的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y

關(guān)于x

的回歸方程；2nni(u

-

u)(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z

與x，y

的關(guān)系為z＝0.2y－x，根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①當年宣傳費x＝49

時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②當年宣傳費x

為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α^

＋β^

u

的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為(ui

-

u)(ui

-u)i=1β^＝

i=1

，α^＝－υ

－β^－u.解：(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋dx適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x

的回歸方程類型.(2)令w＝

x，先建立y

關(guān)于w的線性回歸方程.882ii=1(wi

-

w)(

yi

-

y)(w

-

w)∵d^＝

i=1

＝108.81.6＝68，∴^c＝－y

－d^－w

＝563－68×6.8＝100.6.∴y

關(guān)于w

的線性回歸方程為^y＝100.6＋68w.∴y關(guān)于

x

的回歸方程為^y＝100.6＋68

x.(3)①由(2)知，當x＝49

時，年銷售量y

的預報值為：^y＝100.6＋68

49＝576.6，^z＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z

的預報值為：^z＝0.2(100.6＋68

x)－x＝－x＋13.6

x＋20.12.∴當x＝13.62^＝6.8，即x＝46.24

時，z取得最大值.故年宣傳費用為46.24

千元時，年利潤的預報值最大.【規(guī)律方法】(1)求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a^，b^，由于a^，b^的計算量大，計算時應仔細謹慎，分層進行，避免因計算而產(chǎn)生錯誤.(注意回歸直線方程中一次項系數(shù)為b^，常數(shù)項為a^，這與一次函數(shù)的習慣表示不同)(2)回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學方法.主要解決：①確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有，就找出它們之間的數(shù)學表達式；②根據(jù)一組觀察值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；③求出回歸直線方程.【互動探究】A.160

B.163

C.1663.(2017

年山東)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y

與x

之間有線性相關(guān)關(guān)系，設其10

10回歸直線方程為^y＝b^x＋a^.已知

xi

＝225，

yi

＝1600，b^＝4.i=1

i=1該班某學生的腳長為

24，據(jù)此估計其身高為(

C

)D.170解析：由已知x

＝22.5，y

＝160，∴a^＝160－4×22.5＝70，y＝4×24＋70＝166.故選C.年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.94.(2014

年新課標Ⅱ)某地區(qū)2007

年至2013

年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：求y

關(guān)于t

的線性回歸方程；利用(1)中的回歸方程，分析2007

年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015

年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：2nni(t

-

t)(ti

-

t)(

yi

-

y)i=1b^＝

i=1

，a^＝－y

－b^－t

.1解：(1)由所給數(shù)據(jù)計算得t

＝7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，17y

＝7(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，(ti－

t

)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，t

=17t

=1(ti－

t

)(yi－

y

)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14.772ii=1(t

-

t)(ti

-

t)(

yi

-

y)b^＝

i=1

＝1428＝0.5，a^＝

y

－b^－t

＝4.3－0.5×4＝2.3.所求回歸方程為^y＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，^b＝0.5>0，故2007

年至2013

年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加500

元.將2015

年的年份代號t＝9

代入(1)中的回歸方程，得^y＝0.5×9＋2.3＝6.8.故預測該地區(qū)2015

年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6800

元.考點3獨立性檢驗例3：(2017年新課標Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、

舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100

個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖962

如下：圖962記A

表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg”，估計A的概率；填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50

kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)箱產(chǎn)量<50

kg箱產(chǎn)量≥50kg總計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計96104200解：(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50

kg

的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62因此，事件A

的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表K2＝

200×(

62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg

到55

kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg

到50

kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.【規(guī)律方法】解決獨立性檢驗問題的一般步驟：①制作列聯(lián)表；精確到小數(shù)點后三位；③查表得出結(jié)論，要選擇滿足條件P(K2>k0)＝α的k0作為拒絕域的臨界值.②利用公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)計算，近似計算要項目不及格及格總計男61420女102232總計163652【互動探究】5.某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關(guān)系，隨機抽查52

名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表

4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(

)表1成績項目不及格及格總計男41620女122032總計163652項目不及格及格總計男81220女82432總計163652表2表3視力智商項目不及格及格總計男14620女23032總計163652表4A.成績C.智商閱讀量B.視力D.閱讀量解

析

：

由

公

式

K2

＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)計算得52×82

52×1122

52×962A.16×36×20×32，B.16×36×20×32，C.16×36×20×32，52×4082D.16×36×20×32.顯然D

的值最大，說明閱讀量與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大.答案：D使用年數(shù)x234567售價y201286.44.43z＝ln

y3.002.482.081.861.481.10易錯、易混、易漏⊙對回歸分析的理解例題：(2017年廣東汕頭一模)二手經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A

型號二手汽車的使用年數(shù)x

與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數(shù)據(jù)：下面是z關(guān)于x

的折線圖963：圖963由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x

的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；求y

關(guān)于x

的回歸方程并預測某輛A

型號二手汽車當使用年數(shù)為9

年時售價大約為多少？(^b，a^小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字)；(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7118元，請根據(jù)(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年？參考公式：回歸方程^y＝b^x＋^a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：i(x

-

x)2ni=122n

n

ix

-

nx(xi

-

x)(

yi

-

y)

xiyi

-

nxyni=1b^＝

i=1

＝

i=1

，22nn

ni(x

-

x)(

yi

-

y)(xi

-

x)(

yi

-

y)i=1i=1a^＝

y

－b^

x

.r＝

i=1

.參考數(shù)據(jù)：6i

ii=1x

y

＝187.4，6i

ii=1x

z

＝47.64，62ii=1x

＝139，62ii=1(

x

-

x)

＝4.18，62ii=1(

y

-

y)

＝13.96，62

ii=1(

z

-

z)

＝1.53，ln1.46≈0.38，ln

0.7118≈－0.34.z與x

的相關(guān)系數(shù)大約為－0.99，相關(guān)系數(shù)的絕對值約等于1，說明z與x

的線性相關(guān)程度很高.解：(1)由已知：x

＝4.5，z

＝2，i

ii=1

x

z

＝47.64，6

62ii=1(

x

-

x)＝4.18，62ii=1(

z

-

z)

＝1.53，66

622(x

-

x)(z

-

z)(xi

-

x)(zi

-

z)

ii=1

ii=1所以

r＝

i=1

＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝

6.36

6.36－6.3954或－6.40≈－0.99.6ii=1(x

-

x)2(xi

-

x)(zi

-

z)66

22ix

-

6x

xi

zi

-

6xz6i=1(2)b^

＝

i=1

＝

i=1

＝47.64－6×4.5×2139－6×4.526.36＝－17.5≈－0.36.a^＝

z

－b^

x

＝2＋0.36×4.5＝3.62.所以z

關(guān)于x

的線性回歸直線方程為^z＝－0.36x＋3.62＝ln

y.所以y關(guān)于x的回歸方程為^y＝e－0.36x＋3.62，當x＝9

時，^y＝e0.38≈1.46.所以預測某輛A

型號二手車當使用年數(shù)為9

年時售價大約為1.46

萬元.(3)令^y≥0.7118，即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln

0.7118≈e－0.34，所以－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11.因此預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11

年.【方法點撥】判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：①利用散點圖直觀判斷；②將相關(guān)數(shù)據(jù)