第四章-誤差基礎理論資料課件

22七月2023長沙理工大學徐鵬1第四章 測量誤差的基本知識測量誤差概述衡量精度的指標誤差傳播定律等精度觀測值算術平均值及中誤差權及加權平均值22七月2023長沙理工大學徐鵬2目的了解誤差產生的規(guī)律正確處理觀測成果求取最或然值評定觀測精度指導測量工作選用合適的觀測方法，以符合精度要求22七月2023長沙理工大學徐鵬3基本概念誤差總是存在不確定性：客觀事物或現(xiàn)象局限性：科學技術水平、人的認知能力對同一個量的多次觀測也會有差異測量誤差：對一個量值進行觀測和量測的過程中所產生的誤差本章討論普通測量中的測量誤差觀測：通過一定儀器、工具和方法對某個量值進行量測的過程觀測值：通過觀測所獲得的數(shù)據(jù)22七月2023長沙理工大學徐鵬4同精度觀測：由觀測條件判斷觀測條件：測量工作要素的統(tǒng)稱，包括觀測人員：年輕人、老年人測量儀器：DJ2、DJ6觀測方法：單向觀測、往返觀測、多測回觀測外界條件：陰天、晴天同（等）精度觀測：條件相同的觀測不同（不等）精度觀測：相對立水準尺前、后視讀數(shù)、水平度盤讀數(shù)、多測回測角等不同水準路線測某一點高程、不同儀器測同一個水平角同（等）精度觀測值：同精度觀測所獲取的數(shù)據(jù)（觀測值）不同（不等）精度觀測值：相對立22七月2023長沙理工大學徐鵬5直接觀測：由觀測值與未知量的關系判斷直接觀測：直接由觀測值而得的測量，相應值為直接觀測值水準測量：水準尺讀數(shù)距離測量：一般鋼尺量距間接觀測：通過觀測值的函數(shù)運算而得的測量，相應值為間接觀測值水準測量：高差（高程）距離測量：視距測量22七月2023長沙理工大學徐鵬6獨立觀測：由觀測值之間的關系判斷獨立觀測：各觀測值之間沒有任何依存關系（函數(shù)關系），相應值為獨立觀測值水平角的多測回觀測三角形的兩個內角非獨立觀測：各觀測值之間存在一定的幾何或物里條件的約束（可以表達為函數(shù)關系），相應值為非獨立觀測值符合水準路線上各水準點的高程測回法全圓測角22七月2023長沙理工大學徐鵬7測量誤差相關概念真值：被觀測量的真實值已知：三角形內角和、閉合水準路線等未知：大多數(shù)情況，水平角、高差、距離等真誤差＝觀測值－真值（注意：閉合差=觀測值－閉合值）必要觀測（數(shù)）：確定未知量所需要的最少觀測數(shù)兩點間高差：2水平角：2三角形內角：2多余觀測（數(shù)）＝觀測總數(shù)－必要觀測（數(shù)）多測回水準尺單雙面讀數(shù)經緯儀盤左、盤右讀數(shù)反映測量誤差22七月2023長沙理工大學徐鵬8測量誤差來源測量儀器精密度（標稱精度）裝配、搬運、磕碰、磨損、使用等觀測者聽覺、視覺等感官工作態(tài)度技術水平身體狀況外界環(huán)境條件天氣：風、雨、溫度大氣折光22七月2023長沙理工大學徐鵬9測量誤差不可避免但是：可以降低誤差，提高精度提高觀測質量，減少或控制測量誤差，保證測量精度改進數(shù)據(jù)處理方法，進一步提高精度準確度：觀測值接近或偏離真值的程度精密度（精度）：觀測值密集或離散的程度精確度：精密度與準確度的合稱22七月2023長沙理工大學徐鵬10測量誤差種類粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差22七月2023長沙理工大學徐鵬111、粗差粗差（錯誤）：不正確使用儀器、疏忽大意、環(huán)境意外等因素導致觀測值顯著偏離真值的情況如：讀錯、聽錯（記錯）、算錯等例：2004年雅典奧運會氣步槍比賽，中國選手獲冠軍誤差最大：往往與閉合差容許值有數(shù)量級上的差別容易檢核：通過多余觀測的差異值很容易發(fā)現(xiàn)水準尺的黑、紅面讀數(shù)盤左、盤右讀數(shù)必須避免：一經發(fā)現(xiàn)就剔除22七月2023長沙理工大學徐鵬122、系統(tǒng)誤差準確度問題系統(tǒng)誤差：在相同觀測條件下，某個量值的一系列觀測值誤差的大小和正負符號固定不變或按一定規(guī)律變化來源：往往是儀器、工具、環(huán)境等如：視準軸誤差、尺長誤差、調制波頻率誤差等累計性：對于需要累計測量的觀測量而言，隨觀測次數(shù)的增多而累計尺長改正數(shù)、EDM氣象改正數(shù)、水準尺零點誤差等準確度：表現(xiàn)為觀測值對真值的系統(tǒng)偏離水準管非⊥VV、橫軸誤差、度盤偏心差、槍械準星等應該避免或消除、減弱判斷檢核：儀器、工具、環(huán)境條件等計算：數(shù)理統(tǒng)計方法22七月2023長沙理工大學徐鵬132、系統(tǒng)誤差對策消除或減弱系統(tǒng)誤差的常用方法儀器檢校法：通過儀器的檢校使系統(tǒng)誤差降低到最小限度視準軸檢校儀器的精確整平對稱觀測法：對稱觀測、取平均值水準測量的前、后視距相等測角的盤左、盤右等改正數(shù)法：測定系統(tǒng)誤差的大小并加以改正尺長改正數(shù)：鋼尺的長度誤差氣象改正數(shù)：ΔDtP＝D'×(nr－n)系統(tǒng)誤差的存在形式隨觀測條件會有變化，應視具體情況采用合適的方法使系統(tǒng)誤差降低到可以忽略不計的程度22七月2023長沙理工大學徐鵬143、偶然誤差精度（精密度）問題偶然（隨機）誤差：在相同觀測條件下，某個量值的一系列觀測值誤差的大小和正負符號都不固定，沒有一定規(guī)律，表現(xiàn)為偶然性或隨機性分化誤差、讀數(shù)誤差等偶然因素：綜合影響，如度盤分劃、估讀、瞄準等精密度：表現(xiàn)為觀測值的密集或離散程度統(tǒng)計規(guī)律性：相同條件下、相同未知量的觀測值之偶然誤差最佳估計值（最或然值）：通過數(shù)學處理求出，盡量地消除偶然誤差的影響平均值平差22七月2023長沙理工大學徐鵬153、偶然誤差本章主要內容求算最佳值：平均值、加權平均值、平差值評價：精度（精密度）誤差的顯著程度：粗差＞系統(tǒng)誤差＞偶然誤差剔除粗差盡量排除系統(tǒng)誤差盡量減弱偶然誤差數(shù)理統(tǒng)計方法：求取最或然值、評價精度本章的主要內容22七月2023長沙理工大學徐鵬16測量平差測量平差（平差）：針對偶然誤差特點以及各觀測值之間的約束條件，使觀測值閉合差為0的數(shù)學方法求取未知量真值的最或然值計算精度，評定觀測值的質量優(yōu)劣

符號：高斯和22七月2023長沙理工大學徐鵬17偶然誤差特性實例相同條件下、相同未知量的觀測值偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律性扔硬幣：每一次正或反面朝上受多種因素綜合影響當仍的次數(shù)相當大時，正、反面朝上的次數(shù)相等射擊：彈孔位置受多種因素綜合影響圍繞靶心對稱分布越接近靶心，彈孔越多射手水平越高，靶心彈孔越密集（精密度/偶然誤差）22七月2023長沙理工大學徐鵬18平面三角形3個內角和的真誤差Δi＝(ai＋bi＋ci)－180o偶然誤差具有的特性:有界性：絕對值有界單峰性：小誤差機會大對稱性：絕對值等正負機會等補償性：第3條得，和接近于0平均值（算術平均值）：隨觀測次數(shù)增加而趨近0偶然誤差特性及舉例：三角形內角和真誤差22七月2023長沙理工大學徐鵬19偶然誤差統(tǒng)計直方圖橫軸：誤差軸，計數(shù)間隔d＝0.2縱軸：頻率軸，k/n/0.2某個誤差值頻率：矩形面積概率：某個誤差值的頻率曲線：當n→∞，d→0正態(tài)分布曲線

：高斯偶然誤差分布曲線偶然誤差概率密度函數(shù)

f(Δ)

：單位誤差間隔上誤差的概率k/n/Δ

與偶然誤差Δ

的關系22七月2023長沙理工大學徐鵬20偶然誤差措施實際測量不可能作無限次觀測，可以利用偶然誤差的第4條特性將觀測值的算術平均值作為未知量真值的估計值提高觀測精度的措施 提高觀測儀器等級 進行多余觀測測量平差求最或然值（最可靠值），常指算術平均值22七月2023長沙理工大學徐鵬21§4-2衡量精度的指標一、相關定義準確度：觀測值接近或偏離真值的程度，主要受系統(tǒng)誤差的影響精密度：觀測值密集或離散的程度，主要受偶然誤差的影響，可評價觀測值的質量優(yōu)劣統(tǒng)計學概念：相同觀測條件，相同未知量的一組觀測值中每一個觀測值的精度都相等真誤差不同觀察頻率直方圖的“胖瘦”，可評價精度大小直觀麻煩沒有定量衡量精度的指標：用數(shù)值建立一個統(tǒng)一的精度衡量標準精確度（精度）

：精密度與準確度的合稱22七月2023長沙理工大學徐鵬22中誤差觀測值中誤差相同觀測條件下，某未知量n次觀測值l1、l2、…、ln真誤差：Δi＝L－li密集或離散程度：m越小則精度越高較大的真誤差：突出反映統(tǒng)計學概念：即相同條件下，相同未知量的一組觀測值中每一個觀測值的中誤差（精度）是相等的真誤差不同22七月2023長沙理工大學徐鵬23容許誤差對于一定精度觀測，偶然誤差具有上限值（第1條特性）誤差很大（不符合要求）：可能有粗差、系統(tǒng)誤差，應剔除、查找原因，采取相應的解決辦法容許誤差（限差）：觀測誤差的界限值正態(tài)分布：概率（曲線與X軸所夾面積）±

m外：32%±2m外：5%±3m外：3‰

偶然誤差限差：Δ容＝3|m|精要求：Δ容＝2|m|m=±0.222七月2023長沙理工大學徐鵬24相對誤差中誤差的局限：丈量2段距離100m，m1＝±2cm200m，m2＝±3cm相對誤差：中誤差（絕對值）與相應觀測值的比值，常用分子為1的分數(shù)表示（1／M）K＝|m|／D＝1／D/|m|K1＝1/5,000，K2＝1/6,666≈1/6,60022七月2023長沙理工大學徐鵬25算術平均值最可靠（估計）值相同觀測條件下，某未知量n次觀測值l1、l2、…、ln最可靠值（最或然值）觀測次數(shù)趨向無限多時，算術平均值趨向真值實際的觀測次數(shù)總是有限的，算術平均值不等于真值比任何一個觀測值都更接近真值22七月2023長沙理工大學徐鵬26算術平均值與觀測值改正數(shù)真值：常常未知，真誤差無從求，怎樣求解中誤差？觀測值改正數(shù)vi

：算術平均值（最或是值）x與觀測值li

之差特性：[v]＝0比較：前面所學閉合差、平差改正數(shù)真值已知：即閉合值，用于計算閉合差觀測對象：真值的多個分量，（每一測站的高差等）沒有重復觀測22七月2023長沙理工大學徐鵬27觀測值中誤差由觀測值改正數(shù)計算22七月2023長沙理工大學徐鵬28算術平均值中誤差總結22七月2023長沙理工大學徐鵬29獨立觀測值誤差函數(shù)間接觀測值：由觀測值的函數(shù)運算而得間接觀測值的中誤差：由觀測值中誤差的函數(shù)求得誤差傳播定律

：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關系的定律觀測值函數(shù)：若未知量Z是獨立變量x1、x2、…、xn

的函數(shù)，則有函數(shù)式，并且有真誤差ΔZ，中誤差mZ獨立變量xi（i＝1、2、3、…、n）直接觀測觀測值為li，真誤差Δi，中誤差mi間接觀測真誤差ΔZ

：由各獨立觀測值的真誤差導致其函數(shù)值偏離真值的誤差22七月2023長沙理工大學徐鵬30誤差傳播規(guī)律推導122七月2023長沙理工大學徐鵬31誤差傳播規(guī)律推導2ΔiΔj

相互獨立ΔiΔj

大小、正負符號變化呈偶然性偶然誤差第4特性

[ΔiΔj]／n2＝0K次函數(shù)等式相加等式兩邊同時除以K22七月2023長沙理工大學徐鵬32特殊函數(shù)的中誤差倍函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)22七月2023長沙理工大學徐鵬33應用舉例1先確定函數(shù)關系式在1﹕500地形圖上量得某2點間距離d＝234.5mm，其中誤差md＝±0.2mm，求該2點間的地面水平距離D及其中誤差mD解：D＝500×d＝500×0.2345＝117.25mmD＝±500×md

＝±500×0.0002＝±0.10m設對某一個三角形觀測了其中2個角α、β，其測角中誤差分別為mα＝±3.5"，mβ＝±6.2"，試求第3個角γ的中誤差mγ解：22七月2023長沙理工大學徐鵬34應用舉例2設觀測值L1、L2、L3的中誤差均為m，x＝L1+2L2，y＝5L3－L2，求x、y、x＋y、x×y的中誤差解：誤差傳播定律只適用于獨立變量函數(shù)22七月2023長沙理工大學徐鵬35算術平均值中誤差：Mx算術平均值真誤差＝中誤差精度改善效果曲線22七月2023長沙理工大學徐鵬36菲列羅公式三角形內角和（Σ＝a＋b＋c）觀測值：ai、bi、ci

mβ

：角度觀測中誤差ΔΣ＝180o－Σ＝－fβ（閉合差）菲列羅公式22七月2023長沙理工大學徐鵬37綜合例題1、計算步驟1）正確列出觀測值的函數(shù)式2）求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關系式3）檢查誤差是否獨立4）寫出中誤差關系式5）代入數(shù)值計算函數(shù)值中誤差。2、注意事項：1）系數(shù)xi是用觀測值代入而算得的常數(shù)2）用數(shù)值計算時，應注意各項單位的統(tǒng)一3）誤差獨立22七月2023長沙理工大學徐鵬38權觀測條件相同，算術平均值即最或然值如果觀測條件不相同，則需加權平均最或然值：不同精度觀測值賦予不同計算份量（權）中誤差越?。ň仍礁撸溆^測值賦予計算份量越大權：，其中μ為任意給定常數(shù)單位權：權等于1單位權觀測值：權值為1的觀測值單位權中誤差μ

：權值為1的觀測值中誤差當P＝1時，m＝μ22七月2023長沙理工大學徐鵬39權的性質與中誤差的平方成反比始終大于0對于單一的觀測值而言，權沒有任何意義數(shù)值大小隨μ而變化，但是權之間的比例關系不變是相對性數(shù)值，反映精度的相對大小，中誤差反映的才是絕對精度盡管μ為任意值，但是在同一次測量數(shù)據(jù)處理過程中，只能有一個μ值22七月2023長沙理工大學徐鵬40水準測量中的權按測站數(shù)計算單位權中誤差：c

個測站水準路線的中誤差水準測量路線的權：特征c

個測站水準路線的權為11

測站水準測量的權為cni

越大，權值越小22七月2023長沙理工大學徐鵬41水準測量中的權按測距計算單位權中誤差：c

公里水準路線的中