第四章-誤差基礎(chǔ)理論資料課件

22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬1第四章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)測(cè)量誤差概述衡量精度的指標(biāo)誤差傳播定律等精度觀測(cè)值算術(shù)平均值及中誤差權(quán)及加權(quán)平均值22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬2目的了解誤差產(chǎn)生的規(guī)律正確處理觀測(cè)成果求取最或然值評(píng)定觀測(cè)精度指導(dǎo)測(cè)量工作選用合適的觀測(cè)方法，以符合精度要求22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬3基本概念誤差總是存在不確定性：客觀事物或現(xiàn)象局限性：科學(xué)技術(shù)水平、人的認(rèn)知能力對(duì)同一個(gè)量的多次觀測(cè)也會(huì)有差異測(cè)量誤差：對(duì)一個(gè)量值進(jìn)行觀測(cè)和量測(cè)的過程中所產(chǎn)生的誤差本章討論普通測(cè)量中的測(cè)量誤差觀測(cè)：通過一定儀器、工具和方法對(duì)某個(gè)量值進(jìn)行量測(cè)的過程觀測(cè)值：通過觀測(cè)所獲得的數(shù)據(jù)22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬4同精度觀測(cè)：由觀測(cè)條件判斷觀測(cè)條件：測(cè)量工作要素的統(tǒng)稱，包括觀測(cè)人員：年輕人、老年人測(cè)量?jī)x器：DJ2、DJ6觀測(cè)方法：?jiǎn)蜗蛴^測(cè)、往返觀測(cè)、多測(cè)回觀測(cè)外界條件：陰天、晴天同（等）精度觀測(cè)：條件相同的觀測(cè)不同（不等）精度觀測(cè)：相對(duì)立水準(zhǔn)尺前、后視讀數(shù)、水平度盤讀數(shù)、多測(cè)回測(cè)角等不同水準(zhǔn)路線測(cè)某一點(diǎn)高程、不同儀器測(cè)同一個(gè)水平角同（等）精度觀測(cè)值：同精度觀測(cè)所獲取的數(shù)據(jù)（觀測(cè)值）不同（不等）精度觀測(cè)值：相對(duì)立22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬5直接觀測(cè)：由觀測(cè)值與未知量的關(guān)系判斷直接觀測(cè)：直接由觀測(cè)值而得的測(cè)量，相應(yīng)值為直接觀測(cè)值水準(zhǔn)測(cè)量：水準(zhǔn)尺讀數(shù)距離測(cè)量：一般鋼尺量距間接觀測(cè)：通過觀測(cè)值的函數(shù)運(yùn)算而得的測(cè)量，相應(yīng)值為間接觀測(cè)值水準(zhǔn)測(cè)量：高差（高程）距離測(cè)量：視距測(cè)量22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬6獨(dú)立觀測(cè)：由觀測(cè)值之間的關(guān)系判斷獨(dú)立觀測(cè)：各觀測(cè)值之間沒有任何依存關(guān)系（函數(shù)關(guān)系），相應(yīng)值為獨(dú)立觀測(cè)值水平角的多測(cè)回觀測(cè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角非獨(dú)立觀測(cè)：各觀測(cè)值之間存在一定的幾何或物里條件的約束（可以表達(dá)為函數(shù)關(guān)系），相應(yīng)值為非獨(dú)立觀測(cè)值符合水準(zhǔn)路線上各水準(zhǔn)點(diǎn)的高程測(cè)回法全圓測(cè)角22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬7測(cè)量誤差相關(guān)概念真值：被觀測(cè)量的真實(shí)值已知：三角形內(nèi)角和、閉合水準(zhǔn)路線等未知：大多數(shù)情況，水平角、高差、距離等真誤差＝觀測(cè)值－真值（注意：閉合差=觀測(cè)值－閉合值）必要觀測(cè)（數(shù)）：確定未知量所需要的最少觀測(cè)數(shù)兩點(diǎn)間高差：2水平角：2三角形內(nèi)角：2多余觀測(cè)（數(shù)）＝觀測(cè)總數(shù)－必要觀測(cè)（數(shù)）多測(cè)回水準(zhǔn)尺單雙面讀數(shù)經(jīng)緯儀盤左、盤右讀數(shù)反映測(cè)量誤差22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬8測(cè)量誤差來源測(cè)量?jī)x器精密度（標(biāo)稱精度）裝配、搬運(yùn)、磕碰、磨損、使用等觀測(cè)者聽覺、視覺等感官工作態(tài)度技術(shù)水平身體狀況外界環(huán)境條件天氣：風(fēng)、雨、溫度大氣折光22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬9測(cè)量誤差不可避免但是：可以降低誤差，提高精度提高觀測(cè)質(zhì)量，減少或控制測(cè)量誤差，保證測(cè)量精度改進(jìn)數(shù)據(jù)處理方法，進(jìn)一步提高精度準(zhǔn)確度：觀測(cè)值接近或偏離真值的程度精密度（精度）：觀測(cè)值密集或離散的程度精確度：精密度與準(zhǔn)確度的合稱22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬10測(cè)量誤差種類粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬111、粗差粗差（錯(cuò)誤）：不正確使用儀器、疏忽大意、環(huán)境意外等因素導(dǎo)致觀測(cè)值顯著偏離真值的情況如：讀錯(cuò)、聽錯(cuò)（記錯(cuò)）、算錯(cuò)等例：2004年雅典奧運(yùn)會(huì)氣步槍比賽，中國(guó)選手獲冠軍誤差最大：往往與閉合差容許值有數(shù)量級(jí)上的差別容易檢核：通過多余觀測(cè)的差異值很容易發(fā)現(xiàn)水準(zhǔn)尺的黑、紅面讀數(shù)盤左、盤右讀數(shù)必須避免：一經(jīng)發(fā)現(xiàn)就剔除22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬122、系統(tǒng)誤差準(zhǔn)確度問題系統(tǒng)誤差：在相同觀測(cè)條件下，某個(gè)量值的一系列觀測(cè)值誤差的大小和正負(fù)符號(hào)固定不變或按一定規(guī)律變化來源：往往是儀器、工具、環(huán)境等如：視準(zhǔn)軸誤差、尺長(zhǎng)誤差、調(diào)制波頻率誤差等累計(jì)性：對(duì)于需要累計(jì)測(cè)量的觀測(cè)量而言，隨觀測(cè)次數(shù)的增多而累計(jì)尺長(zhǎng)改正數(shù)、EDM氣象改正數(shù)、水準(zhǔn)尺零點(diǎn)誤差等準(zhǔn)確度：表現(xiàn)為觀測(cè)值對(duì)真值的系統(tǒng)偏離水準(zhǔn)管非⊥VV、橫軸誤差、度盤偏心差、槍械準(zhǔn)星等應(yīng)該避免或消除、減弱判斷檢核：儀器、工具、環(huán)境條件等計(jì)算：數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬132、系統(tǒng)誤差對(duì)策消除或減弱系統(tǒng)誤差的常用方法儀器檢校法：通過儀器的檢校使系統(tǒng)誤差降低到最小限度視準(zhǔn)軸檢校儀器的精確整平對(duì)稱觀測(cè)法：對(duì)稱觀測(cè)、取平均值水準(zhǔn)測(cè)量的前、后視距相等測(cè)角的盤左、盤右等改正數(shù)法：測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小并加以改正尺長(zhǎng)改正數(shù)：鋼尺的長(zhǎng)度誤差氣象改正數(shù)：ΔDtP＝D'×(nr－n)系統(tǒng)誤差的存在形式隨觀測(cè)條件會(huì)有變化，應(yīng)視具體情況采用合適的方法使系統(tǒng)誤差降低到可以忽略不計(jì)的程度22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬143、偶然誤差精度（精密度）問題偶然（隨機(jī)）誤差：在相同觀測(cè)條件下，某個(gè)量值的一系列觀測(cè)值誤差的大小和正負(fù)符號(hào)都不固定，沒有一定規(guī)律，表現(xiàn)為偶然性或隨機(jī)性分化誤差、讀數(shù)誤差等偶然因素：綜合影響，如度盤分劃、估讀、瞄準(zhǔn)等精密度：表現(xiàn)為觀測(cè)值的密集或離散程度統(tǒng)計(jì)規(guī)律性：相同條件下、相同未知量的觀測(cè)值之偶然誤差最佳估計(jì)值（最或然值）：通過數(shù)學(xué)處理求出，盡量地消除偶然誤差的影響平均值平差22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬153、偶然誤差本章主要內(nèi)容求算最佳值：平均值、加權(quán)平均值、平差值評(píng)價(jià)：精度（精密度）誤差的顯著程度：粗差＞系統(tǒng)誤差＞偶然誤差剔除粗差盡量排除系統(tǒng)誤差盡量減弱偶然誤差數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法：求取最或然值、評(píng)價(jià)精度本章的主要內(nèi)容22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬16測(cè)量平差測(cè)量平差（平差）：針對(duì)偶然誤差特點(diǎn)以及各觀測(cè)值之間的約束條件，使觀測(cè)值閉合差為0的數(shù)學(xué)方法求取未知量真值的最或然值計(jì)算精度，評(píng)定觀測(cè)值的質(zhì)量?jī)?yōu)劣

符號(hào)：高斯和22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬17偶然誤差特性實(shí)例相同條件下、相同未知量的觀測(cè)值偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性扔硬幣：每一次正或反面朝上受多種因素綜合影響當(dāng)仍的次數(shù)相當(dāng)大時(shí)，正、反面朝上的次數(shù)相等射擊：彈孔位置受多種因素綜合影響圍繞靶心對(duì)稱分布越接近靶心，彈孔越多射手水平越高，靶心彈孔越密集（精密度/偶然誤差）22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬18平面三角形3個(gè)內(nèi)角和的真誤差Δi＝(ai＋bi＋ci)－180o偶然誤差具有的特性:有界性：絕對(duì)值有界單峰性：小誤差機(jī)會(huì)大對(duì)稱性：絕對(duì)值等正負(fù)機(jī)會(huì)等補(bǔ)償性：第3條得，和接近于0平均值（算術(shù)平均值）：隨觀測(cè)次數(shù)增加而趨近0偶然誤差特性及舉例：三角形內(nèi)角和真誤差22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬19偶然誤差統(tǒng)計(jì)直方圖橫軸：誤差軸，計(jì)數(shù)間隔d＝0.2縱軸：頻率軸，k/n/0.2某個(gè)誤差值頻率：矩形面積概率：某個(gè)誤差值的頻率曲線：當(dāng)n→∞，d→0正態(tài)分布曲線

：高斯偶然誤差分布曲線偶然誤差概率密度函數(shù)

f(Δ)

：?jiǎn)挝徽`差間隔上誤差的概率k/n/Δ

與偶然誤差Δ

的關(guān)系22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬20偶然誤差措施實(shí)際測(cè)量不可能作無限次觀測(cè)，可以利用偶然誤差的第4條特性將觀測(cè)值的算術(shù)平均值作為未知量真值的估計(jì)值提高觀測(cè)精度的措施 提高觀測(cè)儀器等級(jí) 進(jìn)行多余觀測(cè)測(cè)量平差求最或然值（最可靠值），常指算術(shù)平均值22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬21§4-2衡量精度的指標(biāo)一、相關(guān)定義準(zhǔn)確度：觀測(cè)值接近或偏離真值的程度，主要受系統(tǒng)誤差的影響精密度：觀測(cè)值密集或離散的程度，主要受偶然誤差的影響，可評(píng)價(jià)觀測(cè)值的質(zhì)量?jī)?yōu)劣統(tǒng)計(jì)學(xué)概念：相同觀測(cè)條件，相同未知量的一組觀測(cè)值中每一個(gè)觀測(cè)值的精度都相等真誤差不同觀察頻率直方圖的“胖瘦”，可評(píng)價(jià)精度大小直觀麻煩沒有定量衡量精度的指標(biāo)：用數(shù)值建立一個(gè)統(tǒng)一的精度衡量標(biāo)準(zhǔn)精確度（精度）

：精密度與準(zhǔn)確度的合稱22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬22中誤差觀測(cè)值中誤差相同觀測(cè)條件下，某未知量n次觀測(cè)值l1、l2、…、ln真誤差：Δi＝L－li密集或離散程度：m越小則精度越高較大的真誤差：突出反映統(tǒng)計(jì)學(xué)概念：即相同條件下，相同未知量的一組觀測(cè)值中每一個(gè)觀測(cè)值的中誤差（精度）是相等的真誤差不同22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬23容許誤差對(duì)于一定精度觀測(cè)，偶然誤差具有上限值（第1條特性）誤差很大（不符合要求）：可能有粗差、系統(tǒng)誤差，應(yīng)剔除、查找原因，采取相應(yīng)的解決辦法容許誤差（限差）：觀測(cè)誤差的界限值正態(tài)分布：概率（曲線與X軸所夾面積）±

m外：32%±2m外：5%±3m外：3‰

偶然誤差限差：Δ容＝3|m|精要求：Δ容＝2|m|m=±0.222七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬24相對(duì)誤差中誤差的局限：丈量2段距離100m，m1＝±2cm200m，m2＝±3cm相對(duì)誤差：中誤差（絕對(duì)值）與相應(yīng)觀測(cè)值的比值，常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示（1／M）K＝|m|／D＝1／D/|m|K1＝1/5,000，K2＝1/6,666≈1/6,60022七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬25算術(shù)平均值最可靠（估計(jì)）值相同觀測(cè)條件下，某未知量n次觀測(cè)值l1、l2、…、ln最可靠值（最或然值）觀測(cè)次數(shù)趨向無限多時(shí)，算術(shù)平均值趨向真值實(shí)際的觀測(cè)次數(shù)總是有限的，算術(shù)平均值不等于真值比任何一個(gè)觀測(cè)值都更接近真值22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬26算術(shù)平均值與觀測(cè)值改正數(shù)真值：常常未知，真誤差無從求，怎樣求解中誤差？觀測(cè)值改正數(shù)vi

：算術(shù)平均值（最或是值）x與觀測(cè)值li

之差特性：[v]＝0比較：前面所學(xué)閉合差、平差改正數(shù)真值已知：即閉合值，用于計(jì)算閉合差觀測(cè)對(duì)象：真值的多個(gè)分量，（每一測(cè)站的高差等）沒有重復(fù)觀測(cè)22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬27觀測(cè)值中誤差由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬28算術(shù)平均值中誤差總結(jié)22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬29獨(dú)立觀測(cè)值誤差函數(shù)間接觀測(cè)值：由觀測(cè)值的函數(shù)運(yùn)算而得間接觀測(cè)值的中誤差：由觀測(cè)值中誤差的函數(shù)求得誤差傳播定律

：表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律觀測(cè)值函數(shù)：若未知量Z是獨(dú)立變量x1、x2、…、xn

的函數(shù)，則有函數(shù)式，并且有真誤差ΔZ，中誤差mZ獨(dú)立變量xi（i＝1、2、3、…、n）直接觀測(cè)觀測(cè)值為li，真誤差Δi，中誤差mi間接觀測(cè)真誤差ΔZ

：由各獨(dú)立觀測(cè)值的真誤差導(dǎo)致其函數(shù)值偏離真值的誤差22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬30誤差傳播規(guī)律推導(dǎo)122七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬31誤差傳播規(guī)律推導(dǎo)2ΔiΔj

相互獨(dú)立ΔiΔj

大小、正負(fù)符號(hào)變化呈偶然性偶然誤差第4特性

[ΔiΔj]／n2＝0K次函數(shù)等式相加等式兩邊同時(shí)除以K22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬32特殊函數(shù)的中誤差倍函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬33應(yīng)用舉例1先確定函數(shù)關(guān)系式在1﹕500地形圖上量得某2點(diǎn)間距離d＝234.5mm，其中誤差md＝±0.2mm，求該2點(diǎn)間的地面水平距離D及其中誤差mD解：D＝500×d＝500×0.2345＝117.25mmD＝±500×md

＝±500×0.0002＝±0.10m設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中2個(gè)角α、β，其測(cè)角中誤差分別為mα＝±3.5"，mβ＝±6.2"，試求第3個(gè)角γ的中誤差mγ解：22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬34應(yīng)用舉例2設(shè)觀測(cè)值L1、L2、L3的中誤差均為m，x＝L1+2L2，y＝5L3－L2，求x、y、x＋y、x×y的中誤差解：誤差傳播定律只適用于獨(dú)立變量函數(shù)22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬35算術(shù)平均值中誤差：Mx算術(shù)平均值真誤差＝中誤差精度改善效果曲線22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬36菲列羅公式三角形內(nèi)角和（Σ＝a＋b＋c）觀測(cè)值：ai、bi、ci

mβ

：角度觀測(cè)中誤差ΔΣ＝180o－Σ＝－fβ（閉合差）菲列羅公式22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬37綜合例題1、計(jì)算步驟1）正確列出觀測(cè)值的函數(shù)式2）求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關(guān)系式3）檢查誤差是否獨(dú)立4）寫出中誤差關(guān)系式5）代入數(shù)值計(jì)算函數(shù)值中誤差。2、注意事項(xiàng)：1）系數(shù)xi是用觀測(cè)值代入而算得的常數(shù)2）用數(shù)值計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意各項(xiàng)單位的統(tǒng)一3）誤差獨(dú)立22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬38權(quán)觀測(cè)條件相同，算術(shù)平均值即最或然值如果觀測(cè)條件不相同，則需加權(quán)平均最或然值：不同精度觀測(cè)值賦予不同計(jì)算份量（權(quán)）中誤差越?。ň仍礁撸?，其觀測(cè)值賦予計(jì)算份量越大權(quán)：，其中μ為任意給定常數(shù)單位權(quán)：權(quán)等于1單位權(quán)觀測(cè)值：權(quán)值為1的觀測(cè)值單位權(quán)中誤差μ

：權(quán)值為1的觀測(cè)值中誤差當(dāng)P＝1時(shí)，m＝μ22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬39權(quán)的性質(zhì)與中誤差的平方成反比始終大于0對(duì)于單一的觀測(cè)值而言，權(quán)沒有任何意義數(shù)值大小隨μ而變化，但是權(quán)之間的比例關(guān)系不變是相對(duì)性數(shù)值，反映精度的相對(duì)大小，中誤差反映的才是絕對(duì)精度盡管μ為任意值，但是在同一次測(cè)量數(shù)據(jù)處理過程中，只能有一個(gè)μ值22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬40水準(zhǔn)測(cè)量中的權(quán)按測(cè)站數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差：c

個(gè)測(cè)站水準(zhǔn)路線的中誤差水準(zhǔn)測(cè)量路線的權(quán)：特征c

個(gè)測(cè)站水準(zhǔn)路線的權(quán)為11

測(cè)站水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)為cni

越大，權(quán)值越小22七月2023長(zhǎng)沙理工大學(xué)徐鵬41水準(zhǔn)測(cè)量中的權(quán)按測(cè)距計(jì)算單位權(quán)中誤差：c

公里水準(zhǔn)路線的中