湖南省長(zhǎng)沙市青山橋中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市青山橋中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則B的大小為（

）A．30°

B．60°

C.120°

D．150°參考答案：D2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(其中i是虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：A【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得出其在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，即可判定位置.【詳解】由題：復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算，熟練掌握幾何意義.3.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入m=2014，n=6，則輸出n的值為（） A．2014 B． 4 C． 3 D． 2參考答案：D4.（11）已知函數(shù)設(shè)表示中的較大值，表示中的較小值，記得最小值為得最小值為,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B5.設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，則“0<ab<l”是“”的

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D6.已知?jiǎng)t（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C7.實(shí)數(shù)x，y滿足，若z=2x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大，此時(shí)2x+y=9．由，解得，即B（4，1），∵B在直線y=m上，∴m=1，故選：A8.如圖,正方體-的棱長(zhǎng)為1,對(duì)于下列結(jié)論:

①．

②．和所成角為

③．頂點(diǎn)到平面的距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3

參考答案：答案：C9.設(shè)為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知數(shù)列則是它的第（

）項(xiàng).A.19

B.20

C.21

D.22參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某企業(yè)有3個(gè)分廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品1000件，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1：2：1，用分層抽樣方法（每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測(cè)試，由所得的測(cè)試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則估計(jì)該企業(yè)這個(gè)月生產(chǎn)的產(chǎn)品的使用壽命的平均值為_(kāi)__

____.參考答案：1013略12.函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3，x∈，任取一點(diǎn)x0∈，則f（x0）≤0的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系進(jìn)行求解，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣3≤0，解得，﹣1≤x≤3，所以使f（x0）≤0成立的概率P=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)不等式的解法求出不等式的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．13.如圖，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為面積為2的等腰直角三角形，則該多面體面的個(gè)數(shù)為

，體積為

．參考答案：4，.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：判斷該幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為面積為2的等腰直角三角形，利用面的特點(diǎn)，得出線段，運(yùn)用公式求解幾何體的體積．解答： 解：∵該幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為面積為2的等腰直角三角形，∴該幾何體是一個(gè)三棱錐，OA=OB=OC=2，OA，OB，OC兩兩垂直，即該多面體面的個(gè)數(shù)為4，體積為；=

故答案為：4，點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間幾何體的三視圖的運(yùn)用，恢復(fù)幾何體的直觀圖，判斷棱長(zhǎng)，直線平面的位置關(guān)系，屬于中檔題．14.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，且，若{an}單調(diào)遞增，則p的取值范圍是

．參考答案：由可得：兩式相減得：兩式相減可得：數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列，，...是以為公差的等差數(shù)列將代入及可得：將代入可得要使得，恒成立只需要即可解得則的取值范圍是

15.設(shè)函數(shù)，其中是給定的正整數(shù)，且。如果不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

。參考答案：略16.若（2x﹣）n的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則n=；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

．參考答案：6；240【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：∵（2x﹣）n的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n=64，則n=6；根據(jù)（2x﹣）n=（2x﹣）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=?（﹣1）r?（2x）6﹣r?x﹣2r=?（﹣1）r?26﹣r?x6﹣3r，令6﹣3r=0，求得r=2，可得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是?24=240，故答案為：6；240．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17.對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，定義它們之間的一種“距離”：

給出下列三個(gè)命題：①若點(diǎn)C在線段AB上，則②在中，若則③在中，其中真命題為

***

（寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）．參考答案：

①三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，為等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和Tn.參考答案：【分析及解】（Ⅰ）當(dāng)故{an}的通項(xiàng)公式為的等差數(shù)列.設(shè)的公比為則故，即的通項(xiàng)公式為（II）兩式相減得19.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且（Ⅰ）求A的大??；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值.參考答案：(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【分析】(Ⅰ)由題意利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可得∠A的大??；(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論和三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值.【詳解】(Ⅰ)，,即.，.(Ⅱ)，，∴當(dāng)即時(shí)，取得最大值1.【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l，設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上（點(diǎn)A不在直線l上），點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與C交于另一點(diǎn)B．設(shè)O為原點(diǎn)，判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．（1）由橢圓方程橢圓過(guò)點(diǎn)，可得．∴，∴橢圓的方程為，離心率．（2）直線與直線平行．證明如下：設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由得，∴，∴，同理，∴，由，，有，∵在第四象限，∴，且不在直線上．∴，又，故，∴直線與直線平行．21.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=1，b=2，．（1）求邊c的長(zhǎng)；（2）求cos（A﹣C）的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的余弦函數(shù)；余弦定理．【專題】計(jì)算題；解三角形．【分析】（1）由，結(jié)合已知條件及向量的數(shù)量積的定義可求cosC，然后利用c2=a2+b2﹣2abcosC可求c（2）由（1）中所求cosC，利用同角平方關(guān)系可求sinC，然后結(jié)合正弦定理及三角形的大邊對(duì)大角可判斷A為銳角，進(jìn)而可求cosA=，最后代入cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC可求【解答】解：（1）由，得abcosC=．…因?yàn)閍=1，b=2，所以，…所以c2=a2+b2﹣2abcosC=4，所以c=2．…（2）因?yàn)?，C∈（0，π），所以sinC==，…所以=，…因?yàn)閍＜c，所以A＜C，故A為銳角，所以cosA==所以cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角平方關(guān)系、正弦定理及余弦定理、和差角公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的熟練掌握22.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC⊥BC，E分別在線段B1C1上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4．（1）求證：BC⊥AC1；（2）試探究：在AC上是否存在點(diǎn)F，滿足EF∥平面A1ABB1，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)F的位置，并給出證明；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理只要證明BC⊥面AA1C1C，即可．（2）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，即可確定F的位置．【解答】解：（1）∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥AA1．又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥面AA1C1C，又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1．（2）（法一）當(dāng)AF=3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A1ABB1．理由如下：在平面A1B1C1內(nèi)過(guò)E作EG∥A1C1交A1B1于G，連結(jié)AG．∵B1E=3EC1，∴EG=43A1C1，又AF∥A1C1且AF=43A1C1，∴AF∥EG且AF=EG，∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1．（法二）當(dāng)