數(shù)學(xué)人教八年級上冊（2013年新編）12-3-2 角的平分線的判定（課件）

角的平分線的判定1.理解角平分線的判定定理.(難點）2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點）3.學(xué)會判斷一個點是否在一個角的平分線上.文字語言：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)幾何語言：∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PEP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.已知，如圖，P為∠AOB內(nèi)部一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.猜想：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.證明：經(jīng)過點P作射線OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB

,∴∠PDO=∠PEO=90°,在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL),∴∠POD=∠POE即點P在∠AOB的平分線上.文字語言：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.※角的平分線的判定幾何語言：∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上.(或∠1=∠2)【點睛】應(yīng)用所具備的條件:(1)

位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部;(1)數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處(在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000)？DOC解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm，D即為所求.【點睛】根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到射線OA和OB的距離相等.則：點P為所求.P例1.已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.想一想，點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？【歸納】三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.例2.如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()

A．110°B．120°C．130°D．140°A

例3.如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線,它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求證:BP為∠MBN的平分線.證明:過P作PE⊥AC于E.∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC,∴PD=PE,∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC,∴PF=PE,∴PD=PF,∵PD⊥BM,PF⊥BN,∴P在∠MBN的平分線上,即BP為∠MBN的平分線.如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于點P.求證：點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.證明：過P點做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分別是F，G，H.∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的外角的平分線∴PG=PH，PF=PG,∴PF=PG=PH,即點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.例4.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.證明:(1)作MN⊥AD于N.∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD,∴CM=MN,∵M是BC的中點,∴CM=MB,∴MN=MB,∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB,∴AM平分∠DAB.例4.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.證明:(2)由(1)得MC=MN,MB=MN,在Rt△MCD和Rt△MND中,∴Rt△MCD≌Rt△MND

(HL),∴CD=ND,同理可得AB=AN,∵AD=AN+ND,∴AD=AB+CD.1.如圖，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，當PE=____cm時,點P在∠AOB的平分線上.2.如圖,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,則∠PCA=______.655°3.如圖，直線l1，l2，l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現(xiàn)在擬建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有____處.4.如圖所示，已知△ABC的周長是10，OC、OB分別平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，則△ABC的面積是_______.455.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置.解：點P為所求.6.如圖，有一塊三角形的閑地，其三邊長分別為30m、40m、50m，現(xiàn)要把它分成面積比為3:4:5的三部分，分別種植不同的花，請你設(shè)計一種方案，并簡要說明理由.解:點P即為所求，即△ABC分為△ABP、△ACP、△BCP三個小三角形，即可符合面積比為3:4:5.7.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．求證:AD是∠BAC的平分線.證明:∵DE⊥AB，DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,在Rt△BDE和Rt△CDF中,