2022-2023學年甘肅省甘谷一中數學高二下期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是計算的值的程序框圖，則圖中①②處應填寫的語句分別是（）A．, B．,C．, D．,2．已知復數在復平面內的對應點關于實軸對稱，（為虛數單位），則（）A． B． C． D．3．函數為偶函數，且在單調遞增，則的解集為A． B．或C． D．或4．已知橢圓（為參數）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則面積的最大值為（）A． B． C． D．5．定義在（0，+∞）上的函數f（x）的導數滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+16．函數在點處的切線方程為()A． B． C． D．7．設集合，分別從集合A和B中隨機抽取數x和y，確定平面上的一個點，記“點滿足條件”為事件C，則（）A． B． C． D．8．已知圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（）A． B． C． D．9．若等比數列的各項均為正數，，，則（）A． B． C．12 D．2410．若復數（為虛數單位）是純虛數，則實數（）A． B． C．0 D．111．如圖是由正方體與三棱錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．28+43 B．36+43 C．28+12．從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為()A．90 B．60 C．120 D．110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為__________．14．已知函數f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的導函數，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，則實數a的取值范圍為__．15．已知實數x,y滿足不等式組，則的最大值是__________．16．從位女生，位男生中選了人參加數學、物理、化學競賽，每個學科各人，且至多有位女生參賽，則不同的參賽方案共有__________種.(用數字填寫答案)．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(Ⅱ)若曲線上的點到直線的最大距離為6，求實數的值.18．（12分）設點P在曲線y＝x2上，從原點向A(2,4)移動，如果直線OP，曲線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記為S1、S2.(1)當S1＝S2時，求點P的坐標；(2)當S1＋S2有最小值時，求點P的坐標和最小值．19．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數為,求的概率分布列和數學期望.20．（12分）國家文明城市評審委員會對甲、乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調查，派出10人的調查組，先后到甲、乙兩個城市的街道、社區(qū)進行問卷調查，然后打分（滿分100分），他們給出甲、乙兩個城市分數的莖葉圖如圖所示：（1）請你用統(tǒng)計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”，并說明理由；（2）從甲、乙兩個城市的打分中各抽取2個，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分數都小于80分的概率．（參考數據：，）21．（12分）知函數.(1)當時,求的解集;(2)已知，，若對于,都有成立,求的取值范圍.22．（10分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以軸正半軸為極軸，以坐標原點為極點建立極坐標系，點的極坐標為，過點的直線與曲線相交于，兩點.（1）若直線的斜率，求直線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】該程序是求數列的前16項和，①處變量每次增加2，②處是循環(huán)控制條件，循環(huán)體共執(zhí)行了16次，故時，退出循環(huán)，選A.2、A【解析】

由題意，求得，則，再根據復數的除法運算，即可求解．【詳解】由題意，復數在復平面內的對應點關于實軸對稱，，則，則根據復數的運算，得.故選A.【點睛】本題主要考查了復數的表示，以及復數的除法運算，其中解答中熟記復數的運算法則，準確運算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．3、D【解析】

根據函數的奇偶性得到，在單調遞增，得，再由二次函數的性質得到，【詳解】函數為偶函數，則，故，因為在單調遞增，所以.根據二次函數的性質可知，不等式，或者，的解集為，故選D.【點睛】此題考查了函數的對稱性和單調性的應用，對于抽象函數，且要求解不等式的題目，一般是研究函數的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數值轉化為自變量的大小比較，直接比較括號內的自變量的大小即可.4、B【解析】分析：根據橢圓的方程算出A（4，1）、B（1，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y﹣12=1．設點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=|sin﹣1|，結合三角函數的圖象與性質算出dmax=（），由此結合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．詳解：由題得橢圓C方程為：，∴橢圓與x正半軸交于點A（4，1），與y正半軸的交于點B（1，3），∵P是橢圓上任一個動點，設點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴點P到直線AB：3x+4y﹣12=1的距離為d==|sin﹣1|，由此可得：當θ=時，dmax=（）∴△PAB面積的最大值為S=|AB|×dmax=6（）.點睛：(1)本題主要考查橢圓的參數方程和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力計算能力.(2)對于|sin﹣1|，不是sin=1時，整個函數取最大值，而應該是sin=-1，要看后面的“-1”.5、D【解析】

構造函數g（x）＝f（x），利用導數可知函數在（0，+∞）上是減函數，則答案可求．【詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，正確構造函數是解題的關鍵，是中檔題．6、A【解析】

先求出f（x），再利用導數求出在x＝1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率即可．【詳解】∵f（x）＝sinx+cosx，∴f（x）＝cosx﹣sinx，∴f（1）＝1，所以函數f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1；又f（1）＝1，∴函數f（x）＝sinx+cosx在點（1，f（1））處的切線方程為：y﹣1＝x﹣1．即x﹣y+1＝1．故選A．【點睛】本題考查利用導數求曲線上在某點切線方程的斜率，考查直線的斜率、導數的幾何意義等基礎知識，屬于基礎題．7、A【解析】

求出從集合A和B中隨機各取一個數x，y的基本事件總數，和滿足點P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．【詳解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，分別從集合A和B中隨機各取一個數x，y，確定平面上的一個點P（x，y），共有6×6＝36種不同情況，其中P（x，y）滿足條件x2+y2≤16的有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8個，∴C的概率P（C），故選A．【點睛】本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，考查了列舉法計算基本事件的個數，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關鍵．8、B【解析】

由題意可得雙曲線的漸近線方程為，根據圓心到切線的距離等于半徑，求出的關系，進而得到雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由題意，根據雙曲線的漸近線方程為．根據圓的圓心到切線的距離等于半徑1，可得，整理得，即，又由，則，可得即雙曲線的離心率為．故選：B．【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程，即可得的值(范圍)．9、D【解析】

由，利用等比中項的性質，求出，利用等比數列的通項公式即可求出．【詳解】解：數列是等比數列，各項均為正數，，所以，所以．所以，故選D．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式，等比中項的性質，正確運算是解題的關鍵，屬于基礎題．10、A【解析】因為是純虛數，11、C【解析】

由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形,高為3,由此可求得幾何體的表面積.【詳解】由三視圖可知，正方體的棱長為2，直三棱錐的底面是兩直角邊長都為2的直角三角形，高為3，故該幾何體的表面積為S=2×2×5+【點睛】本題主要考查三視圖的還原，幾何體的表面積的計算，難度一般，意在考查學生的轉化能力，空間想象能力，計算能力.12、D【解析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊方案數，即得結果【詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊方案數為：故至少有一名女生入選的組隊方案數為故選【點睛】本題主要考的是排列，組合及簡單計數問題，考查組合的運用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：通過橢圓與雙曲線的定義，用和表示出的長度，根據余弦定理建立的關系式；根據離心率的定義表示出兩個離心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。詳解：，所以解得在△中，根據余弦定理可得代入得化簡得而所以的最小值為點睛：本題考查了圓錐曲線的綜合應用。結合余弦定理、基本不等式等對橢圓、雙曲線的性質進行逐步分析，主要是對圓錐曲線的“交點”問題重點分析和攻破，屬于難題。14、（﹣∞，0]．【解析】

令，得到，再對求導，然后得到，令，得到，再得到，然后對，利用參變分離，得到，再利用導數求出的最小值，從而得到的取值范圍.【詳解】因為所以令得，即，而令得，即所以則整理得設，則令，則所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以所以的范圍為，故答案為.【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性和最值，考查了轉化思想和函數思想，屬中檔題．15、12.【解析】分析：畫出不等式組表示的可行域，平移，結合所畫可行域，可求得的最大值.詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當時，平移直線，由圖可得直線經過點時，取得最大值，且，故答案為.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.16、【解析】分析：分只有一個女生和沒有女生兩種情況討論求不同的參賽方案總數.詳解：當只有一個女生時，先選一個女生有種選法，再從4個男生里面選2個男生有種方法，再把選出的3個人進行排列有種方法，所以有種方法.當沒有女生時，直接從4個男生里選3個排列有種方法.所以共有種方法，故答案為：96.點睛:(1)本題主要考查排列組合的綜合，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力分類討論思想方法.(2)排列組合常用方法：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的普通方程為.曲線的直角坐標方程為;(Ⅱ).【解析】分析：(Ⅰ)消去參數m可得直線的普通方程為.極坐標方程化為直角坐標方程可得曲線的直角坐標方程為．(Ⅱ)由題意結合直線與圓的位置關系整理計算可得．詳解：(Ⅰ)由得，消去,得，所以直線的普通方程為.由,得,代入,得,所以曲線的直角坐標方程為．(Ⅱ)曲線:的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,若曲線上的點到直線的最大距離為6,則,即,解得．點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法：（1）直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；（2）轉化為直角坐標系，用直角坐標求解.使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標.18、（1），（2），【解析】試題分析：（1）可考慮用定積分求兩曲線圍成的封閉圖形面積，直線OP的方程為y=tx，則S1為直線OP與曲線y=x2當x∈（0，t）時所圍面積，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2為直線OP與曲線y=x2當x∈（t，2）時所圍面積，所以，S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根據S1=S2就可求出t值．（Ⅱ）由（2）可求當S1+S2，化簡后，為t的三次函數，再利用導數求最小值，以及相應的x值，就可求出P點坐標為多少時，S1+S2有最小值．試題解析：（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），直線OP的方程為y=txS1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，因為S1=S2，，所以t=，點P的坐標為（2）S=S1+S2==S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=因為0＜t＜時，S'＜0；＜t＜2時，S'＞0所以，當t=時，Smin=，P點的坐標為．點睛：本題考查了曲線圍成的圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和定積分計算公式等知識，屬于基礎題；用定積分求平面圖形的面積的步驟：（1）根據已知條件，作出平面圖形的草圖；根據圖形特點，恰當選取計算公式；（2）解方程組求出每兩條曲線的交點，以確定積分的上、下限；（3）具體計算定積分，求出圖形的面積．19、（1）；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數學期望為.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.20、（1）乙城市，理由見解析；（2）【解析】

（1）求出甲已兩個城市的打分平均數及方差，根據大小判斷即可；（2）設事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，有大于80分的分數”，事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，乙城市的分數都小于80分”，根據條件概率公式求解即可.【詳解】（1）甲城市的打分平均數為：，乙城