圓錐曲線方程

圓錐曲線方程第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

圓錐曲線方程PointConicEquation

圓錐曲線是我們生活中常見的曲線，她兼具曲線美和對稱美，被人們稱之為世間最美的線條。宇宙中也存在著圓錐曲線，太陽系中九大行星及其衛(wèi)星都是橢圓，而彗星運(yùn)動軌道分橢圓，雙曲線形，和拋物線形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔76年我們就可以觀測一次第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

橢圓

雙曲線綜合比較拋物線雙曲線的第一定義雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的第二定義

橢圓的第一定義

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的第二定義簡史曲線推廣知識第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

圓錐曲線的雛形遠(yuǎn)在古希臘，就有很多人熱衷于研究幾何三大作圖問題，竟相尋求這些問題的解答，而在求解過程中，就要用到圓錐曲線，如希臘學(xué)者蒙愛啟瑪斯在研究“二倍立方問題”時(shí)，就涉及圓錐曲線。他取三個(gè)頂點(diǎn)分別為直角銳角和鈍角的正圓錐，然后各作一個(gè)平面分別垂直于三個(gè)圓錐的一條母線，并與圓錐相截：他把所得三條截線分別稱為“直角圓錐截線”，“銳角圓錐截線”和“鈍角圓錐截線”，實(shí)際上就是今天我們所說的拋物線，橢圓，一支等軸雙曲線：這是圓錐曲線最早的名稱。第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

圓錐曲線在世界的研究

公元十七世紀(jì)初期，由于生產(chǎn)的需求，促使了天文學(xué)、力學(xué)和光學(xué)的發(fā)展，由于生產(chǎn)的需要，促使了天文學(xué)，力學(xué)和光學(xué)的發(fā)展，從而向數(shù)學(xué)提出了許多迫切需要解決的課題，有關(guān)圓錐曲線的計(jì)算就是其中之一。例如公元1609年，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)動的軌跡是橢圓，意大利物理學(xué)家伽利略由拋擲石子推出彈道是拋物線。法國學(xué)者邁多爾日發(fā)展了圓錐曲線的性質(zhì)，并在光學(xué)中加以運(yùn)用。天體運(yùn)動，彈道軌跡，光學(xué)應(yīng)用等實(shí)際需要，促使人們加快地研究和建立有關(guān)圓錐曲線的理論，并用于實(shí)際。我國對圓錐曲線的研究也有相當(dāng)?shù)臍v史，很多史書均有這方面的記載?！逗阈菤v指》一書中既有橢圓的名稱，《交食歷指》一書則記為長圓，《測量全義》中即記載了橢圓產(chǎn)生于圓柱，也記載圓錐曲線源自圓錐。

返回第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月橢圓ellipse橢圓第一定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于/F1F2/

）的點(diǎn)的軌叫做橢圓oF1F2A1A2B1B2Mxy橢圓就是集合:P={M||MF1|+|MF2|=2a}橢圓的焦距：|F1F2|=2c橢圓的長軸:

|A1A2|=2a橢圓的短軸：|B1B2|=2b演

示

返回第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)c2=a2-b2F1F2cbaxyo1.范圍離心率e=ca(0<e<1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)：2.對稱3.頂點(diǎn)4.離心率建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究橢圓.（將幾何圖形代數(shù)化）在坐標(biāo)系中計(jì)算得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

返回A1A2B1B2第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月橢圓的第二定義yMxF2F1dx=a2cx=a2-co焦點(diǎn)，時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是的距離定直線e=ca定點(diǎn)平面內(nèi)動點(diǎn)M到一個(gè)和它到一條的距離比是常數(shù)(0<e<1)橢圓，定點(diǎn)是橢圓的定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線. 橢圓就是集合:P={M|}|MF|d=ca|MF2|d==e（常數(shù)）ca準(zhǔn)線方程：x=a2cx=a2c

返回第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月雙曲線hyperbola雙曲線第一定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線|F1F2|=2c雙曲線的焦距：雙曲線就是集合：|MF1||MF2|=2a}P={M|雙曲線的實(shí)軸：|A1A2|=2a雙曲線的虛軸：|B1B2|=2b演

示yF1F2xoM

返回第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月

返回雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在坐標(biāo)系中計(jì)算，得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2_y2b2=1(a>0,b>0)yxoc2=a2+b2離心率e=ca(e>1)雙曲線的幾何性質(zhì)：1.范圍2.對稱性3.頂點(diǎn)4.離心率5.漸進(jìn)線y=baxy=baxA1A2B1B2建立直角坐標(biāo)系，同樣用代數(shù)方法研究雙曲線（將何圖形代數(shù)化）第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月雙曲線的第二定義ca平面內(nèi)動點(diǎn)到一個(gè)M的距離與它到一條的定點(diǎn)定直線距離的比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線.F2MF1x=a2cx=a2-c雙曲線就是集合：|MF2|d=ca=e（常數(shù)）=|MF|dP={M|}

ca

返回第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物線定義parabola把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn).直線叫做拋物線的焦點(diǎn).直線L叫做拋物線的準(zhǔn)線.FMLoKxy拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2px拋物線的準(zhǔn)線方程：x=_p2演

示

返回第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月圓錐曲線綜合比較

橢圓

雙曲線

拋物線

圓幾何條件|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=+2a|MF|=dmL|MO|=r標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>b>0)(a>b>0)y2=2px(p>0)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)無對稱軸X軸，y軸X軸，y軸X軸直徑焦點(diǎn)坐標(biāo)（+c,0)c2=a2+b2（+c,0)(0,0)離心率0<e<1e>1e=1e=0準(zhǔn)線方程無漸近線

x2a2_y2b2=1+y2b2=1x2a2x2+y2=r2(+a,0)(+a,0)(0,+b)x=a2cx=a2-cx=a2-cx=a2cx=_p2y=+bax（+c,0)c2=a2-b2演

示

返回第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)習(xí)題軌跡問題就是滿足某種條件的點(diǎn)的集合，也可以看作是動點(diǎn)按某種規(guī)律運(yùn)動所形成的曲線.就是求軌跡上動點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x和y所滿足的等式f(x,y)=0.求軌跡方程常用方法：Ⅰ直接法：將動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律直接轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，求出動點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系.Ⅱ參數(shù)法：在等量關(guān)系不易找到時(shí)，可以增設(shè)一些參變量過渡，間接得動點(diǎn)坐標(biāo)的等量關(guān)系.Ⅲ交軌法：當(dāng)動點(diǎn)的制約條件不止一個(gè)時(shí)，用交軌法.注意軌跡的完備性和純粹性，即“除偽補(bǔ)缺”軌跡：軌跡方程：檢驗(yàn)軌跡：第14頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：在一條固定直線上標(biāo)有三個(gè)點(diǎn)，其中兩個(gè)點(diǎn)沿一個(gè)直角的兩條邊滑動，問第三個(gè)點(diǎn)的軌跡是什么？oCABabxy利用解析幾何，設(shè)∠xoy是直角，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A，B兩點(diǎn)分別在Oy，Ox上滑動，第三個(gè)點(diǎn)為

C，并設(shè)CA=a，CB=b，AB=c，顯然，當(dāng)點(diǎn)C在AB間時(shí)，C=a+b;當(dāng)點(diǎn)C在AB外時(shí)，c=|a–b|.再設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），AB與xO所成的角為θ，則｛x=acosθ，y=bsinθ，∴+y2b2=1x2a2∴點(diǎn)C的軌跡為以直角邊為對稱軸，以為a,b半軸的橢圓.

再推廣解：如圖第15頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月圓錐曲線與直線的關(guān)系利用△判定圓錐曲線與直線的位置關(guān)系：Ⅰ橢圓：△=0是直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件.Ⅱ雙曲線：△=0或直線平行于漸近線時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn).Ⅲ拋物線：△=0或直線與對稱軸平行時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn).Ⅴ當(dāng)△<0時(shí)，直線與圓錐曲線無交點(diǎn)，Ⅳ當(dāng)△>0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn).圓錐曲線弦的中點(diǎn)是圓錐曲線常見題型：常常用到違達(dá)定理，一般地，如果K為弦AB的斜率,點(diǎn)p（x0,y0)為弦AB的中點(diǎn)，則：橢圓+y2b2=1x2a2有：k=b2x0a2y0雙曲線x2a2_y2b2=1有：k=b2x0a2y0拋物線y2=2px有：k=pyo相關(guān)習(xí)題第16頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典習(xí)題1.過（0，2）的直線Ｌ與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足條件的直線L共有

條.設(shè)直線L為y=kx+2,聯(lián)立方程得：k2x2+4(k-1)x+4=0,k=0時(shí)有一公共點(diǎn)k≠0時(shí)，由△=0得一解；當(dāng)L垂直x軸時(shí)，適合題意，共三解2.直線y=2x+m與橢圓x29+y24=1有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍.聯(lián)立方程組得40x2+36mx+9m2-36=0.由△>0,得-2√10<m<2√103.