數(shù)學(xué)建模初步課件

玩具、照片…~實物模型風(fēng)洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型第一章數(shù)學(xué)建模的初步一、什么是數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型

(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型:對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數(shù)學(xué)建模是一門新興的學(xué)科，20世紀(jì)70年代初誕生于英、美等現(xiàn)代工業(yè)國家。在短短幾十年的歷史瞬間輻射至全球大部分國家和地區(qū)。80年代初，我國高等院校也陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，隨著數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動（包括數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)（建模）試驗課程等）的開展，這門課越來越得到重視，也深受廣大學(xué)生的喜愛。原因：一是由于新技術(shù)特別是計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的實際問題需要用計算機來解決，而計算機與實際問題之間需要數(shù)學(xué)模型來溝通。二是社會對大學(xué)生的要求越來越高，大學(xué)生畢業(yè)后要適應(yīng)社會的需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價值。建模特點很強的實用性：教學(xué)的內(nèi)容來自于實際。知識的廣泛性：依賴于各方面的基礎(chǔ)知識。內(nèi)容的趣味性：有些問題就象是做游戲，引人入勝。教學(xué)方式的多樣性：教師講授方式，小組討論方式，學(xué)生報告方式，課堂教學(xué)方式，課外教學(xué)方式等。你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時20公里航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。例2

艦艇的會合令：則上式可簡記成：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則匯合點p必位于此圓上。

（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實際應(yīng)用

例3大小包裝問題

在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？如某牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其實際意義。分析：決定商品價格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低單價：單位重量的價格數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)如虎添翼知識經(jīng)濟(jì)二、數(shù)學(xué)建模的過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐典型數(shù)學(xué)建模示例

例4

椅子的穩(wěn)定性問題

問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。試問：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問題椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？1.椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一人點，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3.對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時著地。模型假設(shè)ABCDtA‘B‘C‘D‘Ox模型構(gòu)成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t~椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度f(t)~A,C兩腳與地面距離之和g(t)~B,D兩腳與地面距離之和

f(t),g(t)

0模型構(gòu)成由假設(shè)1，f和g都是連續(xù)函數(shù)由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地：對任意t，f(t)和g(t)中至少有一個為0。當(dāng)t=0時,不妨設(shè)g(t)=0,f(t)>0,原題歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對任意t,f(t)?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。則存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxA‘B‘C‘D‘ABCDt最后，因為f(t)?g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。2.令h(t)=f(t)-g(t),則h(0)>0和h(

)<0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。1.將椅子旋轉(zhuǎn)90o,對角線AC與BD互換。由g(0)=0,f(0)>0可知g(

)>0,f()=0連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？思考長方形椅子穩(wěn)定性問題如何建模？如何求解？oxyABCD長方形椅子穩(wěn)定性問題：表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD例5.動物的身長和體重問題的提出：四足動物的軀干的長度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？這個問題有一定的實際意義。比如，在生豬收購站或屠宰場工作的人們，往往希望能從生豬的身長估計出它的體重。動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價值的模型．這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關(guān)系。1、問題的分析與假設(shè)

把四足動物的軀干看作圓柱體，長度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理：動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性粱的研究，有：進(jìn)一步分析b/l的意義……3、生物學(xué)角度分析b/lb/l生理學(xué)意義：

b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。生物學(xué)進(jìn)化角度：經(jīng)過長期進(jìn)化，對每一種動物而言b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動物的尺寸無關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式：（前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論：

即體重與軀干長度的4次方戊正比。這樣，對于某一種四足動物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長度估計出動物的體重了。三、數(shù)學(xué)模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的穩(wěn)定性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)

例6.某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系是:t+20(0<t<25,t∈N)P=

－t+100(25≤t≤30,t∈N)該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系是:Q=－t+40(0<t≤30,t∈N),求這種商品的日銷售金額的最大值.解:設(shè)日銷售金額為y元,則y=P·Q，y=(t+20)(－t+40)(0<t<25,t∈N)(－t+100)(－t+40)(25≤t≤30,t∈N)當(dāng)0＜t＜25,t∈N時，y=－t2+20t+800=－(t－10)2+900,∴t=10時，ymax=900(元)當(dāng)25≤t≤30，t∈N時，y=t2－140t+4000=(t－70)2－900,∴t=25時，ymax=1125（元）綜上所述，這種商品日銷售額的最大值為1125元。例7.某地區(qū)地理位置偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷售，該地區(qū)政府每投資x萬元，所獲利潤為萬元。為順應(yīng)開發(fā)大西北的宏偉決策，擬開發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開發(fā)前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元。若開發(fā)該產(chǎn)品，必須在前5年中，每年從60萬元?？钪心贸?0萬元投資修通一條公路，且5年可以修通。公路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷售，每投資x萬元，可獲利潤問從十年的總利潤來看，該項目有無開發(fā)價值？萬元。解：（1）若按原來投資環(huán)境不變，則由知當(dāng)x=40時，=10.即每年只需從60萬元?？钪心贸?0萬元投資，可獲最大利潤10萬元，這10年的總利潤的最大值為W=10×10=100（萬元）。（2）若對該產(chǎn)品開發(fā)前5年每年可用于對該產(chǎn)品的投資只有30萬元，而函數(shù)在(0,30］上遞增，所以當(dāng)x=30時，=。前5年的總利潤為（萬元）。設(shè)在后5年中，x萬元用于本地銷售投資，60-x萬元用于異地銷售投資，則總利潤為當(dāng)x=30時，W2有最大值4500。∴十年的總利潤有最大值：+4500（萬元）。而+4500＞100，故該項目具有極大的開發(fā)價值?；痉椒C理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析二者結(jié)合機理分析建立模型結(jié)構(gòu),測試分析確定模型參數(shù)

四、數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1）模型準(zhǔn)備：了解問題的實際背景，明確建模目的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征。有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。建模具體步驟2）模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進(jìn)去，可能會陷入困境，無法進(jìn)行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計算機技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu)決策控制。例7：據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某俱樂部一般每天常有150人左右去健身房和娛樂室。據(jù)問話調(diào)查：每次去健身房的人約有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人約有20%下次去健身房。問隨著時間的推移，去健身房一般趨于多少穩(wěn)定的人數(shù)？解:引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型.設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，則..即

或.故隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.同理：

故隨著時間的推移，去娛樂室的人數(shù)穩(wěn)定在50人左右.

五、怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型

親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目創(chuàng)新意識教學(xué)目的培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的綜合能力。1）理論與實際“雙向翻譯”能力2）運用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合分析能力3）結(jié)合其他專業(yè)特別是應(yīng)用計算機解決問題的能力4）觀察力和想象力5）提高撰寫科研論文的能力6）團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神撰寫數(shù)學(xué)建模的論文步驟1、摘要:問題、模型、方法、結(jié)果2、問題重述4、分析與建立模型5、模型求解6、模型檢驗7、模型推廣8、參考文獻(xiàn)9、附錄3、模型假設(shè)六、數(shù)學(xué)建模競賽的參賽開卷形式的通訊比賽，可以使用任意圖書資料和互聯(lián)網(wǎng)，自由的收集資料、調(diào)查研究。由三名學(xué)生組成一隊，各參賽隊任選一競賽題。在三、四天時間內(nèi)，團(tuán)結(jié)合作、奮力攻關(guān)，完成一篇數(shù)學(xué)建模全過程的論文。沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，多名專家從以下幾個方面來綜合評定：（1）問題分析及假設(shè)的合理性；（2）模型的正確性和創(chuàng)造性；（3）運算結(jié)果的正確性；（4）結(jié)論和討論的科學(xué)性；（5）論文表達(dá)的清晰性等。例8：某學(xué)校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設(shè)計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費和征地費之和）.解:設(shè)樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為征地費用為樓層建筑費用為[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·

故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時,最少總費用為1000A元.總費用：求極值：,n=20（層）時，總費用y最少.數(shù)學(xué)建模競賽新手教程數(shù)學(xué)建模競賽，就是在每年葉子黃的時候開始的一項數(shù)學(xué)應(yīng)用題的比賽。大家都做過數(shù)學(xué)應(yīng)用題吧，不知道現(xiàn)在的教育改革了沒有，如果沒有大變化，大家都應(yīng)該做過，比如說“樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只?”。這樣的問題就是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題？(應(yīng)該是小學(xué)生的吧？)，正確答案應(yīng)該是9只吧？但這樣的題照樣是數(shù)學(xué)建模題，不過答案就不重要了，重要是過程了。真正的數(shù)學(xué)建模高手應(yīng)該這樣回答這道題?！皹渖嫌惺圾B，開槍打死一只，還剩幾只？”“是無聲手槍或別的無聲的槍嗎？”“不是。”“槍聲有多大？”“80－100分貝。”“那就是說會震的耳朵疼？”“不是?！薄霸谶@個城市里打鳥犯不犯法？”“不犯?！薄澳_定那只鳥真的被打死啦？”“確定?！薄癘K，樹上的鳥里有沒有聾子？”“沒有。”“有沒有關(guān)在籠子里的？”“沒有?！薄斑吷线€有沒有其他的樹，樹上還有沒有其他鳥？”“沒有?！薄坝袥]有殘疾的或餓的飛不動的鳥？”“沒有?！薄按蝤B的人眼有沒有花？保證是十只？”“沒有花，就十只。”“有沒有傻的不怕死的？”“都怕死?！薄皶粫粯尨蛩纼芍?？”“不會。

“所有的鳥都可以自由活動嗎？”“完全可以。”“如果您的回答沒有騙人，打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩一只，如果掉下來，就一只不剩?！辈皇情_玩笑，這就是數(shù)學(xué)建模。從不同的角度思考一個問題，想盡所有的可能，正所謂的智者千慮，絕無一失，這才是數(shù)學(xué)建模的高手。然后，數(shù)學(xué)建模高手的搭擋----論文寫作高手(暫稱為寫手吧)，會把以上的思想用最好的方式表達(dá)出來。一般的寫手會直接把以上的文字放到論文里就成了。但是專職的數(shù)學(xué)建模論文的寫手不會這樣做，她們會先分析這些思想，歸整好條理；然后，她們會試著用圖畫來深入淺出的表達(dá)這些思想，