2023屆上海市徐匯區(qū)上海中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-42．5名同學(xué)在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會(huì)實(shí)踐，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．4．在“新零售”模式的背景下,自由職業(yè)越來(lái)越流行，諸如:淘寶網(wǎng)店主、微商等等.現(xiàn)調(diào)研某自由職業(yè)者的工資收入情況.記表示該自由職業(yè)者平均每天工作的小時(shí)數(shù)，表示平均每天工作個(gè)小時(shí)的月收入.（小時(shí)）23456（千元）2.5344.56假設(shè)與具有線性相關(guān)關(guān)系，則關(guān)于的線性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A． B． C． D．5．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B． C． D．6．在中，，，則（）A．1 B． C． D．27．水以恒速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面的容器中，則此容器里水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象是（）A． B． C． D．8．利用反證法證明“若，則”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A．都不為2 B．且都不為2C．不都為2 D．且不都為29．從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()（Ａ）種（Ｂ）種（Ｃ）種（Ｄ）種10．袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，則所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為（）A． B． C． D．11．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]12．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_________14．設(shè)，過(guò)下列點(diǎn)分別作曲線的切線，其中存在三條直線與曲線相切的點(diǎn)是__________．15．二項(xiàng)式展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是__________．16．點(diǎn)到直線：的距離等于3，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動(dòng)點(diǎn)：（1）求的取值范圍：（2）若為面內(nèi)的一點(diǎn)，且，，求的余弦值：（3）若、分別是所在正方形棱的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱上能否找到一點(diǎn)，使平面?若能，試確定點(diǎn)的位置，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）一個(gè)多面體的三視圖如圖：主視圖和左視圖均為一個(gè)正方形上加一個(gè)等腰直角三角形，正方形的邊長(zhǎng)為，俯視圖中正方形的邊長(zhǎng)也為.主視圖和左視圖俯視圖（1）畫出實(shí)物的大致直觀圖形；（2）求此物體的表面積；（3）若，一個(gè)螞蟻從該物體的最上面的頂點(diǎn)開始爬，要爬到此物體下底面四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)中的任意一個(gè)頂點(diǎn)，最短距離是多少?（精確到個(gè)單位）19．（12分）已知關(guān)于的不等式.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）如果不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過(guò)個(gè)有紅綠燈的路口.汽車在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過(guò)），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設(shè)汽車只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值.（1）求汽車在第個(gè)路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．22．（10分）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，令，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，令，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值。【詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時(shí)，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時(shí)，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。2、D【解析】

根據(jù)乘法原理得到答案.【詳解】5名同學(xué)在“五一”的4天假期中，隨便選擇一天參加社會(huì)實(shí)踐，不同的選法種數(shù)是答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了乘法原理，屬于簡(jiǎn)單題.3、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)為奇函數(shù)得出，將不等式轉(zhuǎn)化為，即，利用函數(shù)的單調(diào)性可求解．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，，由，得，即，所以，，由于函數(shù)在上為單調(diào)遞減，因此，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造新函數(shù)，一般而言，利用構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解函數(shù)不等式的基本步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析函數(shù)的單調(diào)性；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性得出與的大小關(guān)系．4、C【解析】分析：先求均值，再根據(jù)線性回歸方程性質(zhì)得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以線性回歸方程必經(jīng)過(guò)點(diǎn),選C.點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過(guò)點(diǎn).5、D【解析】試題分析：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，易知即為異面直線與所成的角，設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)為，則，由余弦定理，得，故選D.考點(diǎn)：異面直線所成的角.6、B【解析】

由向量的數(shù)量積公式直接求解即可【詳解】因?yàn)?，所以為直角三角形，所以，所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的夾角與模，以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.7、C【解析】分析：根據(jù)容器的特征，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)和題意知，容器的底面積越大水的高度變化慢、反之變化的快，再由圖象越平緩就是變化越慢、圖象陡就是變化快來(lái)判斷．結(jié)合函數(shù)圖像分析判別可得結(jié)論.詳解：A、B選項(xiàng)中：函數(shù)圖象是單調(diào)遞增的，與與題干不符，故排除；C、當(dāng)注水開始時(shí)，函數(shù)圖象往下凸，可得出下方圓臺(tái)容器下粗上細(xì)，符合題意．；D、當(dāng)注水時(shí)間從0到t時(shí)，函數(shù)圖象往上凸，可得出下方圓臺(tái)容器下細(xì)上粗，與題干不符，故排除．故選C.點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于此題沒有必要求容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的函數(shù)解析式，因此可結(jié)合幾何體和圖象作定性分析，即充分利用數(shù)形結(jié)合思想．8、C【解析】

根據(jù)反證法的知識(shí)，選出假設(shè)正確的選項(xiàng).【詳解】原命題的結(jié)論是“都為2”，反證時(shí)應(yīng)假設(shè)為“不都為2”．故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查反證法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】∵從10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法故選C；【考點(diǎn)】此題重點(diǎn)考察組合的意義和組合數(shù)公式；【突破】從參加“某項(xiàng)”切入，選中的無(wú)區(qū)別，從而為組合問(wèn)題；由“至少”從反面排除易于解決；10、C【解析】

從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m，利用古典概型公式可得所求．【詳解】袋中共有10個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從袋中任取2個(gè)球，基本事件總數(shù)n1．所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球包含的基本事件個(gè)數(shù)m24，∴所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為p．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11、D【解析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，即f（a）f（b）≤0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理12、C【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化為，時(shí)，，時(shí)，，從而可得結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，屬于中檔題.求函數(shù)值域的常見方法有①配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；②換元法：常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時(shí)需認(rèn)真分析換元參數(shù)的范圍變化；③不等式法：借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時(shí)，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；④單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域，⑤圖象法：畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.14、.【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程，整理得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得極值，利用數(shù)形結(jié)合列不等式，將五個(gè)點(diǎn)逐一代入檢驗(yàn)即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，設(shè)切線過(guò)點(diǎn)，代入切線方程方程可得，整理得，令，則，過(guò)能作出三條直線與曲線相切的充要條件為：方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故只需，分別把，代入可以驗(yàn)證，只有符合條件，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題.對(duì)于與“三次函數(shù)”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，往往考慮函數(shù)的極值符號(hào)來(lái)解決,設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為：一個(gè)零點(diǎn)或；兩個(gè)零點(diǎn)或；三個(gè)零點(diǎn).15、210.【解析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得含項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再代入得系數(shù)詳解：因?yàn)?，所以因此含?xiàng)的系數(shù)是.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).16、或【解析】

直接利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可得到答案．【詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，理由見解析【解析】

（1）設(shè)，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范圍．

（2）設(shè)在，三邊上的投影分別是，轉(zhuǎn)化求出，即可得到它的余弦值．

（3）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，說(shuō)明平面，過(guò)作于K，延長(zhǎng)后交所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面．通過(guò)，求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，

所以，

的取值范圍為；

（2）解：設(shè)在，三邊上的投影分別是，，，

則由于，．

，

，即，它的余弦值為

（3）解：設(shè)與的交點(diǎn)為．連接，則由以及，知平面，

于是面面，在面內(nèi)過(guò)作于K，延長(zhǎng)后交所在的直線于點(diǎn)M，則BM⊥平面，

在平面內(nèi)，由，

知，又，∴．

這說(shuō)明點(diǎn)M為的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．18、（1）見解析；（2）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三視圖可知幾何體的下部分是正方體，上部分是正四棱錐，畫出幾何體；（2）根據(jù)（1）所畫的幾何體，幾何體的表面積包含5個(gè)正方形和4個(gè)三角形的面積；（3）根據(jù)數(shù)形結(jié)合，先畫出展開圖的平面圖形，最短距離就是，根據(jù)余弦定理求邊長(zhǎng).【詳解】（1）（2）正視圖中等腰三角形的直角邊是幾何體正四棱錐的斜高，，（3）一個(gè)三角形和下面的正方形的的展開圖，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，,而，,根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知最短距離就是,,【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求幾何體的直觀圖，以及計(jì)算表面積，意在考查空間想象能力和計(jì)算求解能力，本題第二問(wèn)需注意三視圖中等腰三角形的腰是正四棱錐的斜高，等腰三角形斜邊上的高是錐體的高，求解表面積時(shí)需注意這點(diǎn).19、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?。由絕對(duì)值的意義，按絕對(duì)值號(hào)內(nèi)的的正負(fù)，分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?；?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，恒成立，所以符合不等式；?dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椤Ｈ∪N情況的并集，可得原不等式的解集。（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)與，原不等式的解集為空集，的最小值比大于或等于，作出與的圖象.只須的圖象在的圖象的上方，或與重合，。解法二：構(gòu)造函數(shù)，討論絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子得正負(fù)去掉絕對(duì)值可得，，求每一段函數(shù)的值域，可得函數(shù)的最小值=1，小于等于函數(shù)的最小值1.解法三，由不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，∴.試題解析：解：（1）原不等式變?yōu)?當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得，∴當(dāng)時(shí)，原不等式化為，∴.當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得，∴.綜上，原不等式解集為.（2）解法一：作出與的圖象.若使解集為空集，只須的圖象在的圖象的上方，或與重合，∴，所以的范圍為.解法二：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，原問(wèn)題等價(jià)于，∴.解法三：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，∴.20、（1）;（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】

（1）汽車在第3個(gè)路口首次停車是指汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）由題意知汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.21、（1）（2）【解析】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷.（4）在三角興中，注意這個(gè)隱含條件的使用.試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△