大學基礎物理實驗課件

《大學基礎物理實驗》

緒論課物理實驗教學中心內容提要物理實驗課注意事項一：測量的概念二：誤差理論*誤差理論的數理統(tǒng)計基礎三：測量的不確定度四：實驗數據處理方法五：有效數字及其運算法則物理實驗課注意事項緒論楊氏模量碰撞打靶實驗分光計的調整和測定三棱鏡的折射率測定液體的粘滯系數用混合量熱法測定冰的熔解熱伏安法測電阻直流電橋邁克爾遜干涉儀的調整和使用直流電位差計聲速的測定示波器的使用光柵衍射研究全息照相自組顯微鏡牛頓環(huán)基礎物理實驗課實驗前做好預習。要求寫預習報告，預習報告要簡明扼要，不要寫得很冗長，和實驗報告重復。須包括：1簡述實驗原理和公式（光路圖）2自己想好并寫清楚實驗步驟3繪制數據表格。提前5分鐘來到實驗室坐好，遲到15分鐘以上禁止實驗。認真聽老師講解注意事項，注意自己的安全，注意儀器的保護。認真實驗，動腦思考，能自己發(fā)現問題，提出問題，主動地學習知識。完成實驗后，請老師在原始數據上簽字，并隨實驗報告上交。整理好儀器，做好清潔，經指導老師同意后方可離開。實驗報告在一周內交到報告箱（綜合實驗樓一樓電梯旁）中，遲交報告會扣掉相應分數。實驗報告須包括：1實驗目的2實驗儀器3實驗原理4數據處理及老師留的思考問題5自己對實驗的分析討論成績評定：1預習20%實驗40%報告40%2抄襲當次實驗按0分記3缺課當次實驗按0分記4最終的成績是各個實驗成績的加和平均。一測量的概念一：測量的概念定義：測量是將預定的標準與未知量進行定量比較的過程和結果。測量五要素：觀測者、測量對象、測量儀器、測量方法及測量條件

測量分為直接測量和間接測量

直接測量：將待測量與基準或標準直接進行比對，從而直接讀出待測量是標準單位的多少倍。間接測量：利用與另外一些可直接測出的物理量之間的函數關系間接求取。測量讀數及結果表示第一類讀數規(guī)則（需要估讀一位）：對于一般線性刻度的儀器儀表(連續(xù)式的)，應估讀至其分度值的十分之幾。(如米尺，螺旋測微器等)第二類讀數規(guī)則（不需要估讀）：(1)對于非線性刻度的儀器儀表一般不要求估讀。(2)對于不確定度與分度值非常接近的儀器，進一步估計其讀數將無實際意義。如游標卡尺。(3)對于示值產生跳變的儀表(不連續(xù)式的)，讀數時不可能進行估計。例如：數字顯示儀表、機械停表等。

（1）此時刻度讀數為1.66厘米（2）此時刻度讀數為2.00厘米（3）此時刻度讀數為90.70厘米（4）此時刻度讀數為90.8厘米第一類讀數規(guī)則示例第二類讀數規(guī)則示例0.919KΩ測量結果的表示凡是通過實驗測得的量（除個別無單位常數外）都必須用數值、單位和測量不確定度三者來表示，有的還要注明方向。二誤差理論二誤差理論待測物理量的測量值與真值之差叫做誤差

測量誤差=測量值－真值

(1)誤差存在于一切測量過程的始終，這一事實已為一切從事科學實驗的人們所公認，故稱之為誤差公理。(2)真值----被測量客觀存在的真實值。它是一個理想的概念。（事物都是發(fā)展變化的）誤差的分類誤差分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差：在相同條件下多次測量同一物理量時，誤差的絕對值和符號恒定。隨機誤差：在相同條件下多次測量同一量時，誤差時大時小、時正時負，無規(guī)則地漲落，但是對大量測量數據而言，其誤差遵循統(tǒng)計規(guī)律。在任何一次測量中，一般系統(tǒng)誤差和隨機誤差是同時存在的。系統(tǒng)誤差對應測量的不準確度；隨機誤差對應測量的不精密度；測量結果的總誤差則對應測量結果的不確定度。精密度高準確度高精確度高系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的來源：儀器不完善。如：水銀溫度計毛細管內徑不均勻，天平兩臂不嚴格相等，米尺刻度不均勻等。理論公式的近似性。如單擺周期的公式，

成立的條件是擺角趨于零，但實際實驗卻達不到。測量者心理因素的影響。如記錄某一信號有滯后或超前的傾向，對準標志線讀數時總是偏左或偏右。系統(tǒng)誤差的特點是恒定性，故不能用增加測量次數的方法使它減小。發(fā)現和消除系統(tǒng)誤差非常重要，但并沒有普適的方法，需要大家實驗經驗的積累與豐富。隨機誤差隨機誤差的來源：主要來源于不確定或無法控制的隨機因素。如觀測者視覺、聽覺的分辨能力及外界環(huán)境影響因素的擾動等。這些外界因素的微小擾動，使單個測量值的誤差毫無規(guī)則，從而導致它們在大量測量中產生正負相消的機會。相同條件下多次測量的算術平均值比單個測量值的隨機誤差小，增加測量次數可以減小隨機誤差。隨機誤差舉例用游標卡尺對標稱直徑3.010cm的鋼球進行n=150次（約三互垂直方向各50次）測量，測得值xj的對應次數分別為kj，列于下表：區(qū)間序號測得值(cm)誤差(cm)出現次數12.998-0.012423.000-0.010733.002-0.008943.004-0.0061153.006-0.0041463.008-0.0022073.0100.0002383.0120.0021793.0140.00412103.0160.00612113.0180.00810123.0200.0107133.0220.0124平均值3.01000.000─組序

數據區(qū)間0.002cm“正”字

統(tǒng)計(%)

12.9975～2.999542.67133542.6722.9995～3.0015正74.672335117.3433.0015～3.0035正96.0030002013.3443.0035～3.0055正正117.3336653120.6753.0055～3.0075正正149.3346654530.0063.0075～3.0095正正正正2013.3366656543.3373.0095～3.0115正正正正2315.3376658858.6683.0115～3.0135正正正1711.33566510569.9993.0135～3.0155正正128.00400011777.99103.0155～3.0175正正128.00400012985.99113.0175～3.0195正正106.67333513992.66123.0195～3.0215正74.67233514697.33133.0215～3.023542.671335150100.00----百分率（又稱頻率）-----百分率密度（或頻率密度）畫統(tǒng)計直方圖隨機誤差的特點①單峰性②有界性③對稱性④抵償性抵償性是隨機誤差最本質的統(tǒng)計特性。原則上可以說，凡是具有抵償性的誤差，均可按隨機誤差進行處理。隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性在相同的宏觀條件下，對某一物理量進行多次測量，當測量次數足夠大時，便可以發(fā)現這些測量值呈現一定的規(guī)律性------統(tǒng)計規(guī)律性。在對被測量值進行多次重復測量時，如果把測得值或其誤差視為隨機變量，該隨機變量的取值常表現為一定的統(tǒng)計分布，常見的有正態(tài)分布，均勻分布，三角分布，兩點式分布等等。以下將介紹簡單的數理統(tǒng)計方面的內容（大家將在概率與數理統(tǒng)計的課程中學到），這里只介紹一般結論。*誤差理論部分的數理統(tǒng)計基礎概率（probability）：定量描述某事件A出現的可能性大小的量。常用P(A)表示。實驗時所有可能的結果有n個，它們互不相容且出現的可能性一樣大，如果導致事件A出現的結果有m個，則稱事件A出現的概率為。有如下關系式分布函數：如果物理量測量的每次實驗結果都可以用一實數X表示，且對任何實數,都有確定的概率，則稱X為隨機變量，稱的概率P為隨機變量X的分布函數（distributionfunction）,表示為：一般有分布密度函數：

連續(xù)變量X的分布函數一般可以寫成積分形式這里函數稱為隨機變量X的分布密度函數（概率密度函數）。歸一化條件隨機變量的主要分布特征在實際問題中，我們往往關注的也并不是概率密度本身，而是某些它的數字特征：期望----描述總體分布的均值總體方差-----描述隨機變量相對于均值的離散程度標準差-----置信區(qū)間，置信概率：如果變量X落在區(qū)間（T1，T2）內的概率為P，則稱（T1，T2）為X的置信區(qū)間，P為置信概率。隨機誤差的幾種分布規(guī)律正態(tài)分布：由多種物理因素微小變化引起測量的隨機誤差，通常大都遵從正態(tài)分布。正態(tài)分布是一種最典型的，經典誤差理論中最常討論的隨機誤差分布形式，也稱高斯分布。正態(tài)分布的密度函數：為測量總體的數學期望，如不計系統(tǒng)誤差，則即為隨機誤差

為測量總體的標準差，也是隨機誤差的標準差

正態(tài)分布的期望和標準差期望表示均值分布，標準差表示曲線寬窄（即相對于均值的偏離程度）用數值計算的方法，可以算出x落入的置信概率，令

表示誤差絕對值可能的最大取值，稱為誤差極限。在本書中，為了加深對標準差概念的理解，我們一般取用正負一個標準差范圍內的置信概率68.3%隨機誤差的幾種分布規(guī)律

均勻分布：若某連續(xù)的隨機變量ε在（ε1，ε2）區(qū)間內取值不變，則稱ε遵從均勻分布.第一類讀書規(guī)則儀表的誤差大都遵循正態(tài)分布第二類讀書規(guī)則儀表的誤差大都遵循均勻分布概率密度函數

數學期望方差隨機誤差的標準差當標準差三測量的不確定度三測量的不確定度測量結果不可避免的含有誤差,如何表達這種含有誤差的測量結果？Y是待測物理量，N是測量值，是一個恒正的量，稱為不確定度。代表測量值N的不確定的程度，或者說是對待測真值可能存在范圍的估計不確定度的定義：表征被測量的真值所處的量值范圍的評定，是用以表述測量結果分散性的參數。測量不確定度的說明不確定度和誤差：是兩個不同的概念。誤差是指測量值與真值之差，一般情況下它是未知的，可正可負的量；不確定度是表示誤差可能存在的范圍，它的大小可以按照一定的方法計算（或估計）出來。測量不確定度一般包含很多分量，分為：

A類不確定度：對應多次測量，用統(tǒng)計方法計算得到。

B類不確定度：由非統(tǒng)計方法評定的分量，由儀器自身的允差，分辨率等信息得到。A類不確定度多次測量的誤差分布大都遵循正態(tài)分布，這里由正態(tài)分布引出A類標準不確定度的計算公式：正態(tài)分布是理想情況模型，對應無限次測量結果的分布，而實際情況我們只能做有限次測量。總體（無限次測量）樣本（有限次測量）期望對應真值樣本的平均值真值的最佳估計值標準差對應相對真值的偏離樣本標準偏差相對于分散性貝塞爾公式實驗中常求的是算術平均值也看成隨機變量，則其標準偏差（即算術平均值對其自身數學期望的偏差）為t分布：近似于正態(tài)分布。W.S.Gossett以筆名“Student”發(fā)表“t分布”論文，將有限次測量的“誤差理論”發(fā)展成熟。故又將“t分布”稱為“學生分布”。當測量次數n很大時，趨近于正態(tài)分布。k=n-1有限次測量實際上遵從t分布（student分布），t分布的峰值要低于正態(tài)分布，我們若以正態(tài)分布為依據計算不確定度，為了達到同樣的置信概率（68.3%）,須乘以一個t分布的置信系數t(p,k),則其置信概率與n趨向無窮大時以正態(tài)分布標準差表示的置信概率相同：（k=n-1，n是測量次數）可查表得出Ａ類標準不確定度是對一系列測得值進行統(tǒng)計分析計算所得到的標準偏差估計值，我們用來表示B類不確定度B類不確定度往往由儀器本身所給出測量儀器的幾個重要的技術指標：1量程：測量范圍。2允差：最大允許誤差。儀器出廠的技術指標。(米尺0.5mm）3分度值：儀器最小的分劃單位。（米尺，1mm）4分辨率：引起示值可覺察變化的最小被測量改變。數字儀表的分辨率常常是最末位的“1”所對應的量值，由讀數規(guī)則確定。（米尺，估讀到0.1mm）B類不確定度單次測量：第二類讀數規(guī)則的儀器，用均勻分布模型來處理：允差對應誤差極限則B類不確定度第一類讀數規(guī)則的儀器，用正態(tài)分布模型來處理：例如：米尺0.5/3mm其他分布的情況，除以一個覆蓋因子：例如：游標卡尺，兩點式分布，覆蓋因子是1多次測量（遵從均勻分布）是儀器的分辨率。常用數據：米尺單次測量多次測量游標卡尺（50分度）單次測量多次測量螺旋測微器

單次測量多次測量合成標準不確定度總的不確定度是A類，B類各個不確定度分量平方求和再開方。1234196.49196.24196.89196.65196.568-0.078-0.328-0.3220.082例10

以電子停表（時基為0.01s）測定單擺100個周期的持續(xù)時間四次，數據如下（單位：s

）：

。試估計時間的合成標準不確定度

。

解①列表計算的算術平均值及其Ａ類標準不確定度②B類標準不確定度包括兩部分手控計時引入部分：自由度

電子停表（數顯）引入部分：自由度③用廣義方和根法估計合成標準不確定度自由度

間接測量的合成標準不確定度間接測量的情況：對各個變量求微分，再合成。書上給出了簡便的計算方法，建議大家使用，可提高計算速度單擺求重力加速度：相對標準不確定度標準不確定度不確定度的取位：當首數小于5時，一般可以取兩位

當首數大于5時，一般取一位即可例14

用0.2級數字繁用表(200?擋)重復測量電阻R1６次，數據如下：99.6,99.8,100.2,100.0,100.4,100.0；在相同條件下測量電阻R2一次，測得值為：R2=100.0(?)。試分別求：①R1、②R2、③二電阻串聯（Rs）及④二電阻并聯（Rv）后的結果表達式。

解

①列表求R1的平均值及Ａ類標準不確定度：求R1的Ｂ類標準不確定度：由式求允差?（分散性系數b=1）：R1的合成標準不確定度

結果表達式自由度

i123456R1I99.699.8100.2100.0100.4100.0100.00vR1i-0.40-0.200.2000.400——自由度②估計的A類標準不確定度：因為只測一次，所以，其Ａ類標準不確定度為：又所以，的結果表達式為：

自由度：③據串聯電阻公式：

由微分可得到其合成不確定度的傳遞公式：

結果表達式為：

自由度：

④據并聯電阻公式：

求合成標準不確定度傳遞公式（實驗數據處理時不要求寫出該過程）：因，微分后得：

或，故，

所以，其結果表達式為：

估計自由度：因，

故，

學習誤差與不確定理論的意義幫助我們正確地設計實驗方案，合理選擇實驗儀器，以最小的代價取得最好的結果。不能片面地以為儀器越高級越好，測量次數越多越好。一個比較復雜的實驗，往往只有少數幾個物理量是主要的，它們準確與否對結果影響很大，測量誤差理論可以幫助我們抓住主要矛盾，把精力放在關鍵之處。誤差與不確定度理論可以幫助我們正確處理實驗數據，科學表達實驗結果。測量誤差理論可以幫助我們對實驗結果進行分析判斷，從而得到適當的結論。例如：1894年英國物理學家瑞利測定空氣中的氮氣的密度為1.2565g/L,而從分解氨氣中得到的氮氣密度為1.2507g/L,他肯定兩者的差異超出了實驗誤差的范圍，進一步的研究，導致了空氣中氬氣的發(fā)現。四實驗數據處理方法四實驗數據處理方法一列表法（注意物理量的單位不必寫在每個數據之后，而應標注在其代表符號的欄目內）二作圖法：1使用坐標紙2標明曲線名稱，坐標軸及所選單位3一般要求平滑連線（直線或曲線），連線時不必通過所有實測點，但要求實測點均勻對稱地分布在曲線的兩側三環(huán)差法環(huán)差法

(1)逐差法：為驗證y和x是否成線性關系，可以等差地改變自變量x，進行多次測量，得出相應的y值，若滿足線性關系，則可得到右面n個方程：

將式中的方程逐一相減稱之為逐差。逐差后可得下述個n-1方程：求斜率可見，逐差法只能局限于驗證y和x之間函數關系（2）環(huán)差法

為了充分利用全部測量數據，減小所求系數a0及a1的測量誤差，令測量次數n=2l，于是將前式改寫為如下的個2l方程：

將2l方程平均分為兩組，然后依前后兩組的順序對應相減求差，這種求差的方法稱之為環(huán)差法。求差后，即得式（71）所表述的l個方程：

求斜率1）充分利用數據。2）減小誤差。3）繞開一些具有定值的未知量，而直接求出所需的實驗結果。環(huán)差法的優(yōu)點：（3）平均點作圖法

當滿足環(huán)差法處理數據的條件時，由上面的結論可以推出平均點作圖法。將斜率表達式變?yōu)椋菏街?，A()