2023年高考數學壓軸大題含答案解析

2023年高考數學壓軸題

1.如圖，曲線T的方程是X2-MP|=1,其中/、8為曲線T與x軸的交點，/點在8點的左

邊，曲線T與y軸的交點為D已知a(-C,0),Fl(c,0),c>0,ADB乃的面積為

1+五

2,

(1)過點8作斜率為左的直線/交曲線T于P、。兩點(異于8點)，點P在第一象限,

設點尸的橫坐標為xp、0的橫坐標為X0,求證：Xp?X0是定值；

(2)過點尸2的直線〃與曲線T有且僅有一個公共點，求直線”的傾斜角范圍；

(3)過點8作斜率為衣的直線/交曲線T于P、。兩點(異于8點)，點P在第一象限,

當F；P-F；Q=3+2迎時，求|幾|=刈元|成立時入的值.

【解答】解：(1)證明：設直線方程F=《(x-1)與x2-/=i⑶20)交點坐標盯=微|,

__"2_1

設直線方程》=左(X-1)與￥+y=1(yWO)交點坐標%(2=再不，

*.XP9XQ=1；

11+V2「

(2)根據面積5x1X(14-c)=工一，得c=V2,

y=m(x-V2)

廣+,2=1只有一個交點，故方程%2+

{y<0

m2(x—V2)2=1只有一個解，亦即(1+m2)x2—2y/2m2x+2m2—1=0,

由判別式4=8加2-4(1+〃/)(2加2-1)=o,解得m=1,

顯然直線〃的方程為久=a時也符合題意，

...直線?的傾斜角的取值范圍為q，竽］;

—?—?—?—?

(3)FXP=(xP4-V2,yp),FIQ=(XQ+a,%),%P,%Q=(盯+或)(々+/)+

2>2

yPyQ=(1+k)xPXQ+(V2-fc)(xP+和)+△+2,

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?4+%Q=：4_］，XpXQ=1,

：.-%Q=(3+2k2)+(V2-k2)-=3+2企,

k2=V2,

：.xP=3+2VLXQ=3-2VL\AP\=J40+28&,\AQ\=，8-4心,

A2=卜:+：譬=J17+12a=3+2&.

J8-4V2

2.已知函數［(x)=4x2-alnx-a(aGR).

(1)求/(x)的單調區(qū)間；

(2)已知不等式/(x)》(2-a)/NX-ox+4x2對任意的(0,1］恒成立，求證：當a

取最大值時，f(x)22歷2-1.

【解答】解：(1)由題意得了(x)的定義域是(0,+8),

f(x)=8、，=虻工，

JXX

若aWO,則/(x)>0恒成立，故/(X)在(0,+8)上單調遞增，

若a>0,令/'(x)>0,解得：x>字，令/(x)<0,解得：0<xV字，

yj2ayj2a

故/(x)在(0,—)遞減，在(-^-，+8)遞增，

綜上：aWO時，/(%)在(0,+8)上單調遞增，

V2aV2a

Q>0時，f(X)在(0,——)遞減，在(一，+8)遞增；

44

(2)證明：,不等式f(x)2(2-Q)-儀+4工2對任意xE(0,1］恒成立，

故〃(x-1)-2/〃xN0對任意xE(0,1］恒成立，

令h(x)=a(x-1)-2lnx>xE(0,1］,則力'(x)=。一,=，

①若aWO,則/(x)VO恒成立，故人(》)在(0,1］遞減，故〃(x)min=h(1)=0,

f

②當0<。<2時，h(x)<0,故〃G)在(0,1］遞減，h(x)min=h(1)=0,

22

③a>2時，0V上VI,令〃'(x)>0,解得：一

aa

222

令〃'(x)<0,解得：0VxV上,故力(x)min=h(-)=2-a-

aaa

2

令Au(x)=2-x-21k=2-x-2ln2+2lnx(x>2),

x

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9

則很(x)=-1+p由x>2,解得:u'(x)<0,

故"(x)在(2,+8)遞減，故"(x)<0在(2,+8)上恒成立，

2

故°>2時，h(x)在(0,1］上的最小值是2-4-2/n-V0,

a

故a>2不合題意，

綜上：oW2時，。的最大值是2,

當a取最大值時，f(x)=4工2-21nx-2,

11

/(x)在(0,-)遞減，在(5，+8)遞增，

1

f(X)min=f(5)=2ln2-1,

故當a取最大值時，f(x)22歷2-1.

3.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、》軸，且過N(0,-2),Bd-1)

2

兩點.

(1)求E的方程；

(2)設過點尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段

交于點兀點，滿足解=而.證明：直線4N過定點.

22

【解答】解：(1)設E的方程為t三=1，

4=1

將A(0,-2),-1)兩點代入得91，

",22=1

4ab

解得〃2=3,爐=4,

22

故E的方程為二1；

34

⑵由A(0,-2),B(-1,-1)可得直線AB：y=^-x-2

①若過P(l,-2)的直線的斜率不存在，直線為x=l,

代入萬■宅=1，可得M(l,平)，N(l.爭■)，

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將y二2零代入AB：y=-^-x-2,可得T(遍+3,2

0Q0

由MT=TH，得H(W^+5,2；“-),

D

易求得此時直線HN：y=x-2-過點(0，-2)；

3

②若過尸(1,-2)的直線的斜率存在，設履-廠(攵+2)=0,M(xi,yi),N(X2,

"kx-y-(k+2)=0

聯立小口

得(3F+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

=6k(2+k)-8(2+k)

Y1+y=

X1222

3k+43k4日-24k(*、

故有，4(4+&-2k2'且勺丫2+乂2為=；；=(),

=3k(4+k)

X

1x22y1y廣-----o------。K+a

3k+41z3kJ+4

、「13yl

聯立｛2，可得T(—5―+3,yj),H(3yt+6-xj?y1)，

y=yx-2/

可求得此時HN：y-y?=---------------(x-X0),

z3yj+6-x!-x2z

將(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6(yi+y2)+xiy2+x2yi-2)y\yi-12=0,

將(*)代入，得24/+12廬+96+4弘-24k-48-48什243-36^-48=0,

顯然成立.

綜上，可得直線"V過定點(0,-2).

4.已知函數/(x)—In(1+x)+axex.

(1)當a=l時，求曲線y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求”的取值范圍.

【解答】解：(1)當。=1時，/(x)=/〃(1+x)+泥一”,則釬(x)=^+ef_xe-x,

1+x

：.f(0)=1+1=2,

又/(O)=0,

，所求切線方程為y=2r；

e

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若.20,當-IVxVO時，f(x)>0,/(x)單調遞增，則/(x)</(0)=0,不合

題意；

故“<0，f，6).(1且1了)-)，令g(x)=iM/)-，注意到

1xee

/八_1~/八、_1*_//\a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴T，S(O)-l+a.g(x)=----------------------'