多目標(biāo)規(guī)劃MALAB年wgx

MATLAB求解多目標(biāo)規(guī)劃江西師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院吳根秀一、0-1規(guī)劃的MATLAB求解數(shù)學(xué)模型：MINf’xS.T.Ax<=bAeqx=beqx=0,1命令格式：x=bintprog(f)x=bintprog(f,A,b)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0,options)[x,fval]=bintprog(...)[x,fval,exitflag]=bintprog(...)[x,fval,exitflag,output]=bintprog(...)數(shù)學(xué)模型：MINlambdaS.T.F(x)-weight*lambda<=goal(達(dá)到目標(biāo)）Ax<=b（線性不等式約束）Aeqx=beq（線性等式約束）C(x)<=0（非線性不等式約束）Ceq(x)=0（非線性等式約束）lb<=x<=ubF=[f1(x),f2(x),…]為多目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)；F與[C(x),Ceq(x)]都是通過function來定義；命令格式：x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)二、多目標(biāo)規(guī)劃的MATLAB求解命籍令似格溝式孤：x哭=銜f稱g熱o情a噸l朋a斥t量t壞a犁i版n鳴(各f駱u提n余,宅x編0肺,到g慨o辯a外l身,噸w兆e滋i贈(zèng)g擠h禁t資)x揀=陳f翁g漂o饅a罰l已a(bǔ)占t苗t瓜a懷i稀n也(蘆f脆u叔n禮,既x猛0鋤,吹g追o增a垃l渠,寒w虎e均i學(xué)g陳h鮮t叮,裕A糠,證b父)x養(yǎng)=靈f方g敬o巨a獵l性a書t淚t暮a幻玉i旦n蝦(勒f血u息n術(shù),臣x則0太,肢g役o傅a船l水,股w滾e老i醋g成h夢t顆,些A欲,羨b川,當(dāng)A驢e它q世,吹b熟e謀q良)x厘=盯f踏g勤o貼a厲l超a志t懸t見a絕i汗n絕(攏f爹u隆n汽,情x題0饒,悔g鏟o儲(chǔ)a催l儲(chǔ),故w碑e鍛i截g貓h懷t脆,被A農(nóng),絞b窗,儲(chǔ)A繪e支q藥,月b樓e報(bào)q顛,富l寧b秀,長u樣b心)x丸=務(wù)f厲g滑o圣a伶l捐a元t抱t渴a依i待n蕩(糖f閑u跪n年,仗x漏0羅,字g紀(jì)o館a帳l你,連w時(shí)e射i此g西h環(huán)t扁,恢A蓋,繳b刮,藏A洪e爺q姨,登b象e如q優(yōu),暖l輛b寧,鄰u嫩b比,春n噴o奮n政l僚c銷o垂n傍)x碎=濾f儲(chǔ)g摧o悉a讀l頌a魂t稱t稱a士i漫n枝(番f清u輛n燒,慰x錯(cuò)0離,圍g朵o奇a迫l技,船w漏e眉i看g拿h滅t勝,胸A憐,雷b適,茫A刑e怪q回,吹b討e責(zé)q鼓,蛙.攝.尼.l驅(qū)b竊,安u步b淡,樂n乎o男n鋸l蹄c吵o富n本,碰o妻p肥t鏡i送o拋n戴s免)[師x術(shù),支f薦v益a美l碼]父=匙f修g識(shí)o柏a艱l攝a默t蘭t熱a謊i登n驢(痰.眠.澆.稿)[鄉(xiāng)豐x慰,宮f恰v未a澡l算,易a腸t喊t議a粗i闖n小f贈(zèng)a驚c魄t糖o第r并]默=揚(yáng)f綢g貝o貢a糞l宗a奇t懂t邪a勢i會(huì)n志(米.駝.咳.繪)[病x鑼,乖f賽v養(yǎng)a在l所,故a零t克t津a狀i憶n江f腔a紙c幻玉t厭o惠r塘,度e巴x蕉i昨t縫f私l根a王g愚]筒=順f黃g期o膀a培l(xiāng)些a她t剖t想a士i犯n缸(煙.揭.見.扮)[致x長,字f符v己a鹿l徐,誕a心t勸t留a筐i比n名f慘a標(biāo)c刺t剛o迅r挎,束e梨x耕i換t靈f帳l享a引g黑,智o劇u苗t五p吉u程t光]吼=鏡f穴g笑o君a穩(wěn)l弟a永t疲t魚a寒i裹n袍(魂.腸.挖.皂)[夫x桑,狡f賢v罩a齊l家,眼a自t兩t幻玉a臨i細(xì)n譜f匪a銷c瞇t妙o性r翻,飾e痕x眠i納t響f微l枝a努g衰,魯o乳u埋t卡p雖u粉t鎮(zhèn),倉l贏a變m險(xiǎn)b海d林a柔]汁=恨f磚g尖o發(fā)a號(hào)l包a梅t斧t清a的i予n溝(目.買.輸.翼)二、多剛目測標(biāo)撕規(guī)案劃話的M周A侄T燙L遣A深B求掉解x盾=苦f虎g去o愚a扔l翠a絮t直t獲a溜i送n與(擱@塔m損y攻f冤u扯n外,顏x爽0供,界g概o廈a京l題,電w陶e棗i穿g論h拘t愿,計(jì)A鉛,朗b考,此A壇e賤q采,擔(dān)b落e械q依,統(tǒng).牢.漸.l聰b筑,羨u晨b鏡,鐘@慎m次y互c陵o遍n拉)w剩h偶e托r失e架m報(bào)y向c短o新n毀i腦s尋a賀M終A巖T徒L煎A判B步f策u盛n艦c盟t贈(zèng)i箭o既n蒙s層u卻c升h壞a騰sf泡u濫n寬c河t衡i笨o殖n椒[嫩c督,恨c鄙e巡壽q曲]助=肝m脖y恒c琴o其n中(永x恥)c羽=泉.招.衣.尾%垃c誤o染m甲p響u牽t喝e著n劍o斧n緣瑞l婚i放n價(jià)e傷a煙r價(jià)i坦n穿e膠q遠(yuǎn)u附a炮l族i粒t蝕i糕e享s妖a行t涌x梯.c牙e瓣q染=幸.相.奔.農(nóng)%晶c僻o上m場p昨u境t袋e昌n望o神n液l稻i嚼n滋e那a裝r線e嘩q機(jī)u塞a使l棋i焰t迅i充e糞s絕a瘡t二、多掩目僚標(biāo)徑規(guī)隔劃亡的M注A奸T震L腐A達(dá)B求衡解x思=掛f遣g漏o拿a壤l賀a持t嶄t橋a蜂i壟n賣(翠@顧m違y鐘f麗u振n吹,境x葬0箭,破g鈴o項(xiàng)a籠l心,乞w活e尋i繪g類h睬t禍)w純h頓e陰r秋e憂m租y鐘f有u稠n曲i刷s康a制M類A認(rèn)T亦L嬌A候B喊f合u針n莊c上t僑i葡o信n忠s仍u燃c敢h擺a聞sf蕉u源n嬸c熱t(yī)殼i憑o鋸n臟F慰=法m陣y乏f定u疊n折(撕x慢)F真=岸.侵.候.詢%瘡C清o惰m濃p腐u關(guān)t到e闊f灶u判n挽c珍t揮i繼o擁n煌v支a讀l走u花e槍s旁a初t踏x彩.有卻關(guān)爺優(yōu)宣化治參矛數(shù)銳設(shè)宗置址：o職p打t哭i才o聾n撒s澇=帳o先p噸t銀i戒m億s估e違t慕(態(tài)‘抹G縱r素a霜d信O息b鋪j道’潤,替‘任o虹n食’蓄)目退標(biāo)善函厚數(shù)漢的匠梯衰度床方脅向尖參庫數(shù)爪設(shè)挑置勸為‘階o副n罷’時(shí)腔，墻用放下具列民函紛數(shù)捷定圈義騰：f擊u槐n忽c訓(xùn)t券i啦o綁n誰[擇F殿,宰G鮮]撥=創(chuàng)m醒y次f肌u途n卵(穿x押)F估=豬.騰.濁.坊%啞C境o爪m抗p寫u霜t功e霜t鴨h甜e境f絲式u國n認(rèn)c床t往i眉o(jì)共n能v零a相l(xiāng)姻u長e鮮s莫a胞t辨xi曉f勾n垮a扎r磁g津o眨u年t爸>傷1席%刪T珍w員o柱o終u敵t造p蹲u(yù)帶t蟲a獅r料g女u撈m抓e樓n晴t婚sG醫(yī)=燭.配.苗.功%巴G見r假a族d仿i益e愛n辱t泛s唇e燥v占a湊l否u塵a孩t價(jià)e對d塌a歲t綿xE廊n羊dT哈h姐e靈g米r娃a境d表i袖e閣n正t撇c罪o綱n懶s深i譯s約t攜s氣o搜f旱t特h拘e截p睛a堂r辨t臺(tái)i秘a晌l六d管e傅r都i掀v翅a盆t貍i遣v皆e涌d博F之/期d似x浮o妹f她e架a害c筑h蓮F判a瓶t湊t睛h討e肢p紋o緩i膏n媽t方x弊.二、多蓮目洋標(biāo)鍬規(guī)貼劃蘆的M盒A媽T糠L消A娛B求辱解二、多怒目墳標(biāo)伸規(guī)堪劃節(jié)的M持A革T罰L厘A籃B求歡解有趁關(guān)身優(yōu)匹化陡參追數(shù)美設(shè)閉置萬：o診p咱t茅i寫o牢n篇s步=飲o爬p聽t匙i協(xié)m皆s洗e鼓t爪(走‘心G予r煌a喉d桂C何o拼n昏s謹(jǐn)t宿r(nóng)賀’兼,祥‘械o化n綠’）責(zé)約辦束語條渴件滅的泉梯準(zhǔn)度繪方柳向有參怒數(shù)您設(shè)豈置撞為‘陳o泄n囑’時(shí)浮，箭用思下維列跪函棕?cái)?shù)顏定磚義濕：f碎u英n序c楊t戀i蠟o固n酒[誕c艦,鐵c論e玻q曉,冬G氣C瓦,節(jié)G飯C怨e爸q舊]故=兄m叉y穗c稈o掩n薪(希x狼)c嫁=信.顏.咬.卵%點(diǎn)N去o刷n暑l仆i必n給e離a叨r歸i戒n招e晃q搏u聰a醉l煙i納t釘i咐e扁s題a酒t怪xc躲e休q宿=姓.啟.儀.汽%聾N仰o違n語l淡i朵n匪e勇a咱r銜e額q夜u多a凳l眉i直t攻i械e龜s章a鴨t紫xi老f語n液a墨r府g佩o稿u砍t彎>職2蜻%糖N莊o固n蹈l倡c土o幟n分c德a繞l離l謹(jǐn)e球d祝w唯i鼓t揭h品4趴o伸u扛t勝p禁u平t蛙sG滑C賤=汪.舒.鄙.敲%繪G淋r監(jiān)a剩d棕i將e原n伙t朝s者o裝f喇t咳h棕e疏i效n魚e廈q撿u梳a浙l嶼i面t鵝i耽e細(xì)sG如C諷e膝q網(wǎng)=劫.嶺.險(xiǎn).銷%夜G蘭r聯(lián)a丈d拿i伍e獎(jiǎng)n廈t粉s射o賀f懲t鉗h鋼e留e透q臨u籃a么l已i公t續(xù)i英e竄sE蛋n猛d注嚇意初：抵一禍般w野e包i槍g完h傅t脂=術(shù)a艙b渾s蠢(械g腥o山a含l偏)模栗型籠：x胡’溪=瞎(進(jìn)A徑+喬B跨K儉C唯)沸x營+潔B模u，猛設(shè)介計(jì)K滿吉足劇目它標(biāo)仰：Y煌=傾C奶x1）舞循銳環(huán)飲系必統(tǒng)墾的水特泄征抽值畏（郵由享命食令e惹i午g御(曉A撫+旬B省*任K渡*倡C榆)確慶定速）犧的頑目蹄標(biāo)師為g綿o花a昏l咬=飽[樂-廟5后,瓣-淡3伯,骨-裂1湊]2）K中趁元砍素訂均吐在[媽-泉4好,袖4烈]中;設(shè)仰特焦征很值榮的w耐e冤i衡g奏h樓t溜=責(zé)a漿b始s召(迅g僵o星a香l發(fā))懼,定漁義統(tǒng)目即標(biāo)參函阻數(shù)F如片下嘩：f刑u剛n技c寸t巨i降o救n習(xí)F頌=耐e走i值g憂f怪u夾n宿(帆K鍋,槽A蜻,艘B顧,返C疤)F租=步s養(yǎng)o辭r黃t佛(踢e誼i餡g姓(續(xù)A鋤+過B姓*番K勤*綢C售)屋)彎;往%配E仁v闖a聽l著u晶a上t候e松o克b趕j狼e餃c恥t芳i瓦v缸e廁s，奮由臨小索到番大鞏排拍列優(yōu)巷化套程近序洗為茄：A識(shí)=趕[邪-承0手.妻5掌0俱0散;殲0龍-小2源1借0召;痰0照1垃-宋2雁]曉;哀B制=遣[亂1其0授;設(shè)-嶼2棄2勒;儀0凝1紫]侍;C侮=禿[賽1師0宴0壩;幼0召0槍1桿]炒;夕K犁0冬=破[暖-為1露-瘋1逆;腐-胳1綠-照1禍]盞;山%抵I乏n蘇i奮t訪i邀a門l陰i姜z身e寺c胖o段n扁t選r列o鄰l吃l薄e紡r及m流a傷t潔r距i挨xg蹲o(hù)板a暈l惰=拒[臣-產(chǎn)5泡-嗚3較-腦1川]捏;中%宗S戲e目t章g更o鄉(xiāng)豐a輕l圣v賞a謝l料u簽e目s畫f寧o肅r幻玉t毯h懲e霉e片i蒸g頁e逝n舊v倍a郵l俯u頁e碼sw驚e鹽i泄g攏h妙t銳=鉤a定b需s給(荷g其o槳a休l混)由%未S漠e儀t坑w嗎e籃i首g衰h柴t說f懷o和r坊s捏a渴m求e蘿p鞏e縫r爪c稈e爛n桑t部a丹g胳el達(dá)b蠢=黨-短4酸*鞏o膊n幫e業(yè)s殲(冷s添i達(dá)z富e與(旬K薦0手)森)霞;敏%把S罵e頸t很l攤o擁w柏e墓r續(xù)b剛o奮u漢n拿d皮s匙o(hù)臺(tái)n盒t阿h招e呈c央o畏n坡t貓r顯o綠l咐l悄e似ru房誠b黑=騎4喝*染o血n圖e鋤s系(潛s溉i娛z蜂e萍(蝦K剩0叨)文)煉;糾%董S忍e復(fù)t裹u磨p樸p逗e蔑r兩b好o憤u林n趙d栗s弄o鋪n羅t窯h嗽e升c奧o削n蟲t角r據(jù)o乎l脆l(xiāng)戰(zhàn)e頸ro仙p濟(jì)t襯i業(yè)o秤n撕s開=撤o仗p格t竭i縫m枯s良e抱t徐(修'島D內(nèi)i切s京p亦l(xiāng)榴a閘y秩'尤,蠅'治i令t只e幻玉r匹'華)尖;甘%笨S水e綁t倡d告i旱s吃p泊l撐a壤y賄p億a申r哲a掙m旅e碧t臘e勁r[棟K艷,齊f喜v遠(yuǎn)a盞l例,堂a解t隱t丙a獅i捏n裕f傾a陡c華t踢o和r祖]責(zé)=豈f坡g燥o督a紫l癢a廉t伙t棗a赤i之n帶(炎@離(眨K憶)蓬e央i濕g為f朋u躺n瘦(椒K柏,汪A蒙,疼B香,果C乳)擱.漢.張.g稻o殼a督l頑,嶄w傅e銀i扒g零h誓t胳,事[麥]活,蔑[史]握,士[螞]飛,飾[貢]綢,陪l膏b攔,士u庸b猜,抄[脹]籌,畏o騎p仇t國i蹄o謝n球s碧)二、舉眼例-抄-頁-有卵關(guān)傻循性環(huán)制控聞制歉系煤統(tǒng)硬優(yōu)穗化岸問鵲題運(yùn)雹行龍結(jié)嘴果艙如像下A貸c要t胞i晝v友e貞c買o仍n級(jí)s政t牙r羞a述i蹄n璃t繁s揚(yáng):12491申0K足=-姨4宿.仰0金0喜0執(zhí)0座-寨0凝.東2徑5鎮(zhèn)6迎4-迫4漂.將0跨0家0倚0義-棕4首.穴0邁0斥0堂0f跡v轉(zhuǎn)a畜l大=-象6垃.戒9答3言1浸3-酒4援.娃1享5倍8漸8-捷1筋.準(zhǔn)4吩0生9典9a威t愚t高a汪i訊n耽f帆a濃c除t責(zé)o圣r餡=-番0據(jù).心3始8挖6婚3二、舉欄例-象-途-有隔關(guān)堆循萍環(huán)烈控瓦制侄系登統(tǒng)氣優(yōu)植化鹿問蛋題如面果此至暑少肺保暫證3猾8雜.虹6約3名%的秩目巨標(biāo)搭精印確社匹鎖配訊，厲設(shè)雄置‘裕G江o灣a叮l破s顆E背x疼a材c脊t在A匹c碰h效i欠e族v僅e做’參蠻數(shù)銳值制為3o臟p贈(zèng)t治i政o詠n純s射=備o屈p壯t旁i笛m此s這e表t歡(槽'嶺G纏o攔a們l蔽s衣E木x光a漫c淺t桂A戴c駱h朝i伐e走v交e痛'慘,討3躍)躺;[蠟K垂,丙f士v饞a濃l孕,瞞a敏t沸t客a值i吸n撈f千a忠c尤t老o去r陰]回=僵f櫻g紐奉o趨a吩l首a課t佳t照a落i獨(dú)n因(創(chuàng).哪.便.@吉(相K壤)伸e辨i頌g張f變u貪n襪(根K某,差A(yù)田,素B針,鳥C宜)愈,云K恰0級(jí),舒g忌o義a砍l炮,水w演e飄i纖g爽h問t迫,社[陸]辰,者[牙]集,弟[革]吵,乖[矮]潔,駱l細(xì)b臨,牢u頃b芹,額[瘡]乏,慕.餓.梢.足o度p包t坐i榮o組n砍s舅)A帖f依t長e邪r糞a鍵b僑o肅u怎t身s紐奉e煎v偶e押n那i警t誕e惰r寬a緊t否i特o踐n概s熟,神a辦s獻(xiàn)o傍l頌u勤t冠i再o神n或i駕sK核=-便1庫.戴5呈9抬5索4緣瑞1敵.齊2僅0新4膀0-閉0偵.創(chuàng)4孩2管0物1芝-棵2煉.屢9飼0境4監(jiān)6f事v蓄a璃l躁=-切5聲.刺0危0曉0撿0-榨3詳.天0鑰0為0為0-戲1哨.府0住0缺0裂0a替t詳t悔a亞i雕n朵f涂a狀c踐t兵o朗r襲=1勾.潔0設(shè)8此5擠9其e套-墊2笨0表炸明點(diǎn)目含標(biāo)相已殖完高全騰匹序配二、舉展例-調(diào)-銀-有蹄關(guān)蕩循駁環(huán)洋控灣制怖系蓮統(tǒng)影優(yōu)械化撒問走題謝掠謝歐！初討等躬模智型潔舉泥例常阻見糕類胸型定案性渠模脫型經(jīng)衛(wèi)驗(yàn)論公雀式劑（雀擬淹合兄、筍插認(rèn)值意）量絹綱壟分撕析比難例造模槳型§輛2禮.蝦1崖轉(zhuǎn)高讀的哭估位算假旁如飽你要站曲在孤崖麥頂旁且愉身雅上摸帶哥著澤一舉只柜具美有打跑遠(yuǎn)表糟功能靈的怒計(jì)稍算子器緩，塌你晌也桐許顛會(huì)巖出級(jí)于蕉好彈奇汪心疾想暖用瞇扔坦下一廣塊外石既頭塵聽防回齒聲羊的懸方冰法擾來乞估猜計(jì)肉山晚崖首的弱高阿度挽，假弟定層你熔能暗準(zhǔn)擊確疼地哲測辭定惹時(shí)沫間向，細(xì)你擁又幸怎滾樣卵來左推貓算山穗崖潑的琴高喂度碧呢反，注請奪你卷分皂析癥一麥下叮這桂一搭問究題萍。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方拘法凡一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。我烤學(xué)忌過籍微影積顛分識(shí)，薪我平可租以泥做得羅更各好雀，攔呵揚(yáng)呵垮。除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解臣得代瞧入美初腔始買條遮件v(屠0否)洪=攀0，雅得c=－g悼/翻k，辨故貴有再義積京分菜一妄次哪，龜?shù)冒Y：若唯設(shè)k=持0胖.蠅0擇5并燒仍壞設(shè)t=燃4秒億，雷則銹可紗求蒸得h≈7擠3習(xí).速6米雅。聽義到菜回寨聲環(huán)再托按素跑杯表閣，慌計(jì)廁算廉得握到襯的休時(shí)現(xiàn)間惑中反包保含則了反魔應(yīng)糧時(shí)挺間進(jìn)具一姜步曲深辭入拍考務(wù)慮不刪妨襖設(shè)平昆均距反湖應(yīng)番時(shí)誕間為0各.猴1秒滑，忠假記如厚仍腦設(shè)t=既4秒畫，惰扣杯除偶反抗應(yīng)鳴時(shí)炒間初后勢應(yīng)籮為3辛.碌9秒籮，孟代肝入愈式①，嘗求精得h≈6溪9闊.掛9米棕。①多海測宜幾逗次沖，驕取肺平泊均似值再覺一硬步堡深鏟入訊考票慮代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為t1，聲音傳回來的時(shí)間記為t2，還得解一個(gè)方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個(gè)非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時(shí)間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米?！炜p2誰.梁2錄樸像陸帶發(fā)還愛能博錄厘多蕩長培時(shí)稼間錄況像屆機(jī)膊上泡有柔一坡個(gè)改四察位某計(jì)別數(shù)費(fèi)器慈，胞一未盤1昂8渡0分歷鐘的假錄傷像漁帶舊在欄開夢始拜計(jì)群數(shù)顯時(shí)王為0芒0曉0績0，汽到椒結(jié)承束容時(shí)軟計(jì)數(shù)寸為1枯8林4匆9，情實(shí)腐際謹(jǐn)走烈時(shí)缸為1脅8刮5分2肺0秒沙。泥我臺(tái)們戒從0勝0間8蛙4觀伯察惡到0代1頭4蹤蝶7共貼用旁時(shí)肆間3分2渠1秒比。依若挺錄默像機(jī)潔目增前張的映計(jì)店數(shù)文為1絡(luò)4董2遼8，茄問杏是器否摸還告能筋錄的下最一燈個(gè)6臘0分溫鐘喊的體節(jié)礙目邊？rθRl由得到又因和得

積盆分慘得香到即從號(hào)而藍(lán)有我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí)間t與計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。為建立一個(gè)正確的模型，首先必須搞清哪些量是常量，哪些量是變量。首先，錄像帶的厚度W是常量，它被繞在一個(gè)半徑為r的園盤上，見圖。磁帶轉(zhuǎn)動(dòng)中線速度v顯然也是常數(shù)，否則圖象聲音必然會(huì)失真。此外，計(jì)數(shù)器的讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過的角度θ成正比。rθRl此式中的三個(gè)參數(shù)W、v和r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令則可將上式簡化為：故令上式又可化簡記成t=an2+bn

t迎=綢a仗n2+抽b尤nrθRl上蜜式羞以a、b為邪參執(zhí)數(shù)辣顯卵然痛是皂一焦個(gè)踐十莖分揚(yáng)明熱智某的重做褲法友，費(fèi)它臨為窄公拖式枯的薪最杏終燥確閱立撈即捉參祖數(shù)霉求協(xié)解臟提樹供蠟了朱方拳便兵。壩將賽已說知順條盜件窯代規(guī)入蔥，誕得動(dòng)方胃程盡組丸：從轟后承兩觸式悔中合消記去t1，艷解程得a昆=0廉.叛0籌0克0帖0灣2刪9慌1,b石=0澡.廁0形4石6騙4泰6,故t綠=0臨.裕0瞎0胳0勵(lì)0倒2腔9藏1n2+懇0妙.拘0對4只6醫(yī)4睬6n，憑令n枯=1打4滑2嚴(yán)8，核得晶到t粗=1鵝2召5腿.巧6鞏9（器分雀）非由披于援一哀盒禁錄動(dòng)像晃帶坊實(shí)區(qū)際獲可泡錄詞像灰時(shí)甩間綱為1具8播5蹲.證3裙3分呼，炮故腐尚申可尸錄甲像盒時(shí)偵間報(bào)為5蜻9壯.倡6籍4分擊，懸已跌不擺能脂再換錄插下進(jìn)一輝個(gè)6夜0分嘉鐘侄的謹(jǐn)節(jié)旱目龍了啊。在解決實(shí)際問題時(shí)，注意觀察和善于想象是十分重要的，觀察與想象不僅能發(fā)現(xiàn)問題隱含的某些屬性，有時(shí)還能順理成章地找到解決實(shí)際問題的鑰匙。本節(jié)的幾個(gè)例子說明，猜測也是一種想象力。沒有合理而又大膽的猜測，很難做出具有創(chuàng)新性的結(jié)果。開普勒的三大定律（尤其是后兩條）并非一眼就能看出的，它們隱含在行星運(yùn)動(dòng)的軌跡之中，隱含在第谷記錄下來的一大堆數(shù)據(jù)之中。歷史上這樣的例子實(shí)在太多了。在獲得了一定數(shù)量的資料數(shù)據(jù)后，人們常常會(huì)先去猜測某些結(jié)果，然后試圖去證明它。猜測一經(jīng)證明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常會(huì)被推廣出許多更為廣泛的結(jié)果。即使猜測被證明是錯(cuò)誤的，結(jié)果也決不是一無所獲的失敗而常常是對問題的更為深入的了解?！?.3最短路徑與最速方案問題例5（翁最婚短即路辱徑目問等題將）設(shè)治有華一盞個(gè)池半稼徑傘為r的膀圓娛形耽湖圍，繁圓慘心故為O。A、B位順于秩湖順的宰兩魂側(cè)傻，A分B連盯線年過O，悶見揮圖倉?，F(xiàn)盤擬稅從A點(diǎn)嶄步群行埋到B點(diǎn)片，酬在黑不罷得爺進(jìn)方入攻湖蹲中甚的情限制豈下路，陳問優(yōu)怎川樣疾的星路蘭徑示最念近溫。ABOr將湖想象成凸出地面的木樁，在AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時(shí)將得到最短路徑。根據(jù)這樣的想象，猜測可以如下得到最短路徑：過A作圓的切線切圓于E，過B作圓的切線切圓于F。最短路徑為由線段AE、弧EF和線段FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對稱性，AE′，弧E′F′，F(xiàn)′B連接而成的連續(xù)曲線也是）。EFE′F′以戚上挖只逆是鄉(xiāng)豐一色種嘉猜游測政，奶現(xiàn)巖在嗓來乘證理明深這示一籍猜賄測凳是釋正浴確徹的喇。耕為殘此吹，口先圾介抽紹廟一號(hào)下芹凸丙集蟻與肆凸成集褲的梢性邊質(zhì)骨。定義2.1（凸集）稱集合R為凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0，1]，總有λx1+（1+λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，則x1、x2的連線必整個(gè)地落在R中。定理2.2（分離定理）對平面中的凸集R與R外的一點(diǎn)K，存在直線l,l

分離R與K，即R與K分別位于l的兩側(cè)（注：對一般的凸集R與R外的一點(diǎn)K，則存在超平面分離R與K），見圖。klR下朝面協(xié)證需明獻(xiàn)猜說想猜尿測嗽證伍明知如番下壘：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F(xiàn)′B圍成的區(qū)域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過R外的點(diǎn)，若不然，設(shè)Γ為最短路徑，Γ過R外的一點(diǎn)M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續(xù)曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長度必小于路徑M1MM2的長度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl還半可籃用微伸積誼分方銳法喘求挪弧賴長繳，省根剝據(jù)歸計(jì)副算洪證葛明督滿進(jìn)足阻限洞止黎條鼠件呀的復(fù)其其他叨連默續(xù)捎曲耳線按必遲具涼有綱更雀大出的幸長讓度訂；蠅此音外個(gè)，縫本勵(lì)猜翻測暑也杜可邪用平控面聯(lián)幾根何知職識(shí)堤加株以甩證西明餅等陽。根據(jù)猜測不難看出，例5中的條件可以大大放松，可以不必設(shè)AB過圓心，甚至可不必設(shè)湖是圓形的。例如對下圖，我們可斷定由A至B的最短路徑必為l1與l2之一，其證明也不難類似給出。ABl1l2D到取此摟為渠止?jié)h，犯我淡們殃的溫研蜜討減還桿只污局巧限袖于輸平釘面螞之蘿中監(jiān)，備其細(xì)實(shí)掩上狗述字猜爸測莫可雙十蜘分或自睛然怕地防推疊廣馬到帝一女般翠空袖間鉤中轉(zhuǎn)去朗。1挖9鋪7暖3年棟，J同.害W舒.鹿C厘r投a趨g元g醋s證唇明唉了栽以噸上傷結(jié)嘉果駐：若可行區(qū)域的邊界是光滑曲面。則最短路徑必由下列弧組成，它們或者是空間中的自然最短曲線，或者是可行區(qū)域的邊界弧。而且，組成最短路徑的各段弧在連接點(diǎn)處必定相切。例6一姓輛楊汽存車醬停餐于A處跪并吳垂罷直鼠于A種B方兵向省，陡此汽王車鳴可擋轉(zhuǎn)閘的湯最翁小呀圓亞半敢徑達(dá)為R，誰求他不宣倒愿車榮而擴(kuò)由A到B的潛最羊短背路懲徑認(rèn)。解（情況1）若|AB|>2R，最短路徑由弧AC與切線BC組成（見圖①

）。（情況2）若|AB|<2R，則最短路徑必居于圖②（a）、（b）兩曲線之中。可以證明，（b）中的曲線ABC更短。AR2RBRC①②ABoC（a）CABo1o2（b）例7駕笑駛蘭一葵輛露停省于A處棄與A明B成θ1角切度鳳的去汽車磁到B處微去前，傅已題知B處心要島求劇的洞停屬車照方勤向馳必利須與A贊B成θ2角圣，若試逆找測出差最乒短連路愛徑遷（抖除顏可退轉(zhuǎn)的誘最萄小予圓詞半法徑尺為R外份，怪不拜受桌其識(shí)他抵限工止寸）怕。解根據(jù)Craggs定理并稍加分析可知，最短路徑應(yīng)在l1與l2中，見圖，比較l1與l2的長度，即可得到最短路徑。Al1l2Bθ2θ1最嶼速濾方筆案說問險(xiǎn)題例8將狂一捧輛矛急南待子修賣理梳的捧汽握車薦由夫靜膠止章開槍始?jí)ρ睾笠恢比~線貍方皆向加推田至罵相限隔S米戚的窄修任車僵處松，旺設(shè)訓(xùn)阻澤力直不計(jì)理，球推焰車確人姿能唐使憲車耐得驗(yàn)到偷的姑推怕力f滿品足:-堪B汗≤密f傳≤巖A,f償>0為抱推甩力件，f集<0為屈拉奔力恐。況問私怎李樣推張車仗可傾使供車伸最扎快底停杯于混修睛車該處跌。

設(shè)該車的運(yùn)動(dòng)速度為υ=υ(t)，根據(jù)題意，υ(0)=υ(T)=0，其中T為推車所花的全部時(shí)間。由于-B≤f≤A，且f=mυ′，可知-b≤υ′≤a（其中m為汽車質(zhì)量，a=A/m,b=B/m）。據(jù)此不難將本例歸納為如下的數(shù)學(xué)模型：

minT

υ(0)=υ(T)=0此吧問架題旁為詳一島泛胸函輕極敢值單問后題者，閉求譜解獨(dú)十呢分譜困通難棍，止為聞得控出確一盛個(gè)已最價(jià)速古方誦案火。居我修們蜜作失如嫂下降猜倆測揀：猜測最速方案為以最大推力將車推到某處，然后以最大拉力拉之，使之恰好停于修車處，其中轉(zhuǎn)換點(diǎn)應(yīng)計(jì)算求出證明設(shè)υ=υ(t)為在最速推車方案下汽車的速度，則有。設(shè)此方案不同于我們的猜測?，F(xiàn)從O點(diǎn)出發(fā)，作射線y=at；從（t,0）出發(fā)，作直線y=-b(t-T)交y=at于A，由于，曲線υ=υ(t)必位于三角形區(qū)域DAT的內(nèi)部，從而有ΔOAT的面積大于S。在O到T之間任取一點(diǎn)T′

，過T′作AT的平行線交OA于A′

。顯然ΔOA′T′的面積S（T′）是T′的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)T′=0時(shí)S（0）=0，當(dāng)T′=T時(shí)，S（T）>S，故由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在某T′<T，S（T′）=S但這一結(jié)果與υ=υ(t)是最優(yōu)方案下的車速的假設(shè)矛盾，因?yàn)橛梦覀儾聹y的推車方法推車，只需T′時(shí)間即可將車推到修車處，而T′<T。oυtAT′TA′Sy=aty=-b(t-T)邏臣輯叼模嫂型例1

擬將一批尺寸為1×2×4的的商品裝入尺寸為6×6×6的正方體包裝箱中，問是否存在一種裝法，使裝入的該商品正好充滿包裝箱。解將子正些方副體凝剖幫分克成2白7個(gè)2冰×撈2陶×政2的劑小霉正們方東體界，括并按考下吩圖勻所去示腳黑微白詳相紙間丘地旋染撞色傷。再蕉將掙每來一2談×綠2兔×匙2的推小片正閑方崖體纖剖煙分低成1憲×雄1啟×冤1的郵小娃正心方忠體應(yīng)。易云見木，2供7個(gè)2釣×棚2捎×禍2的橫正系方贏體幕中坑，傲有1繪4個(gè)岡是稀黑臘的叛，1曬3個(gè)芒是獎(jiǎng)白驚的習(xí)（培或1泊3黑1很4白威）瘋，書故銷經(jīng)慌兩爽次巨剖椒分滾，忽共句計(jì)駛有1呆1價(jià)2個(gè)1廢×冊1洽×尼1的雄黑皇色宿小摧正主方灘體子和1歡0注4個(gè)1跑×跡1屬×紹1的桑白鄰色裁小敏正槍方泥體晝。雖廳然窮包柄裝趣箱符的巖體塘積紙恰站好鵝是仰商行品傍體電積繩的2綿7倍嫁，街但換容社易扮看喬到茅，趙不肺論裳將境商作品雹放敘置傷在飽何傻處群，自它效都玩將且占寸據(jù)4個(gè)集黑麻色偷和4個(gè)玩白吉色窯的1演×版1胡×耐1小簽正曉方栽體剛的墻位旗置女，謊故鍬商雞品憤不北可嘆能止充敲滿堂包君裝胃箱董。德兆國絮著殖名柳的匪藝臉術(shù)饞家A急l鋸b向r槳e傳c丸h早t油D穗ü詞r符e早r吧(爐1須4亮7皂1蠶-萄1獎(jiǎng)5旦2康1索)于1譯5草1領(lǐng)4年被曾首鑄啞造饒了欠一膀枚郵名他為敢“M廊e姨l卸e幸n釣c擴(kuò)o內(nèi)t掘i近a稻I趣”的溜銅踏幣粉。抱令傘人仁奇始怪旋的墨是繪在賊這罩枚遵銅假幣違的萬畫規(guī)面圈上賊充墾滿喪了伙數(shù)鴨學(xué)食符揀號(hào)將、細(xì)數(shù)拋?zhàn)忠凹皬綆酌C何油圖作形陶。而這貓里傾，癥我葬們深僅露研聯(lián)究佛銅岡幣譯右踏上燭角胃的陶數(shù)木字墓問暢題

例2.Dürer魔方（或幻方）問題所費(fèi)謂竄的雅魔膀方益是廈指海由1悠~隨n2這n2個(gè)職正瓜整象數(shù)列按乘一鹿定針規(guī)麻則途排吉列儲(chǔ)成息的況一桃個(gè)n行n列鍋的儀正煌方肺形總。n稱紀(jì)為雙此繁魔帝方卷的絕階敞。D始ü繁r畫e掘r魔軟方：4階辨，枕每賞一出行樣之刻和賴為3戀4，煉每王一閉列拋之逮和慶為3鞠4，場對馬角默線惱（笛或情反天對紗角賤線誦）輸之屬和訪是3宮4，純每連個(gè)派小外方終塊壩中炎的霞數(shù)羊字縣之肯和網(wǎng)是3浸4，粒四幟個(gè)傭角往上世的筒數(shù)聞字舞加激起搬來櫻也偽是3荒4什么是Dürer魔方多負(fù)么丹奇持妙弊的牲魔浮方啄！銅煎幣蠶鑄適造丘時(shí)攀間同：1但5屯1賭4年構(gòu)園造亦魔秤方膚是襯一皇個(gè)價(jià)古葡老熱的招數(shù)色學(xué)身游神戲哥，績起攻初貫它柔還撫和虹神期靈稼聯(lián)被系助在攀一跨起亞，余帶肚有鋒深遲厚策的我迷縱信婚色靠彩蓋。陶傳發(fā)說沙三脈千趙二鄙百惱多衫年丙前裳（占公筒元反前2鉤2稻0紛0年墊）燦，進(jìn)因厭治敬水認(rèn)出羞名肯皇些帝寫大貴禹輸就弓構(gòu)味造淺了激三筆階趨魔想方岔（喉被毒人悄們滅稱腐“免洛臭書運(yùn)”沙）術(shù)，脾至堡今穗還根有朵人兼把滿它貪當(dāng)床作口符仍咒煤用朗于砍某廣些白迷診信邀活磨動(dòng)拒，搭大散約哭在坦十施五個(gè)世般紀(jì)匠時(shí)陽，獅魔貫方掛傳巧到忘了棄西悄方錦，駕著州名敢的央科極尼選利蒜厄芳斯·阿矩格耕里柿帕臨（1壞4盼8劈燕6餓-聚1處5吐3臭5）冷先如后尸構(gòu)奶造濾出旦了3唇~陷9階楚的明魔班方平。如何構(gòu)造魔方奇鄉(xiāng)豐數(shù)潮（宏不白妨n油=壯5）堡階塔的月情鏡況Step1:在第一行中間寫1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個(gè)數(shù)，向上移出界時(shí)填下一列最后一行的小方格；向右移出界時(shí)填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時(shí)，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù)Step2直到填完1234567891任01污11爹21受31魔41而51補(bǔ)61稻71慌81狗92州02遇12陜22走32嶄42莫5偶數(shù)階的情況

偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法，這里不作詳細(xì)介紹五階沒人知道有多少個(gè)！！！三階1個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成8個(gè)四階880個(gè)反射和中心旋轉(zhuǎn)生成7040個(gè)魔殺方謊數(shù)慚量改隨趟階歲數(shù)n增秋長竹的怕速呢度住實(shí)謠在稅是舅太欠驚舊人叨了告！同階魔方的個(gè)數(shù)允繁許森構(gòu)很成霉魔種方伴的柴數(shù)鼠取哥任舅意執(zhí)實(shí)責(zé)數(shù)允釀許棟取沾實(shí)弊數(shù)n階錯(cuò)魔網(wǎng)方A、B，驕任顫意左實(shí)駝數(shù)α、βα苦A臟+謝β狠B是n階喉魔貫方具零有電指驕定鍵性框質(zhì)未的喘魔勤方從全掀體上構(gòu)俊成般一爺個(gè)搏線懶性路空閘間問題已發(fā)生了實(shí)質(zhì)性變化注乳：郊刻獨(dú)畫鑰一蒜個(gè)齊線返性它空樸間伯只瞞需盒指菊出符它范的變維銜數(shù)稱并宣求藏出綱此娘線俯性軟空樓間么的蛋一免組氏基伍底松馳問題的討論1在名第酷一倘行棟中摩共巷有4種茅取禾法鞏，殺為唐保丘持據(jù)上彼述如性豬質(zhì)謠的拾成席立組，仙第者二陣行多中戀的1還柿有乏兩儲(chǔ)種姨取膀法槳。送當(dāng)靜第危二員行捐的1也西取路定柏后散，金第乎三距行桌與羨第桑四巖行失的1就跨完厭全抹定董位倒了翼，俗故笑一草共會(huì)可收作漠出8個(gè)舞不螺同曾的糟最傍簡嗚方倒陣虎，握稱尋之睜為價(jià)基每本爹魔少方土并昂記僑之克為Q1，…，Q8仍稿以4階漏方泥陣狡為洞例神。令R為淡行姓和你，C為建列首和或，D為湖對迅角踐線達(dá)和烤，S為它小前方緞塊帶和定占義0眉-方坡：R禁=驅(qū)C奇=叔D吊=漢S域=束0定棉義1膨-方踏：R膝=償C捧=悟D盈=測S腐=占4R迎=防C蠟=舅D筋=賣S奏=暮1的溜方響陣尊構(gòu)蹤蝶成苦的死線測性桶空雙間唯具好有鳳什幻玉么萄樣施的謎性喜質(zhì)粘？類墳似謎于糞構(gòu)惰造n維棉歐蛾氏免空擾間掘的唇標(biāo)品準(zhǔn)案基略，拆利鑄用0和1我州們鎖來灣構(gòu)傘造說一吳些R睜=篇C復(fù)=題D饑=怎S酬=補(bǔ)1的型最脹簡辰單頌的鋤方意陣牛。顯冰然味，D梅ü吃r餅e熄r空輔間鉆（蒸簡敞稱D空勻間威）董中錫任召何等一味個(gè)印元正素上都啞可只以饅用Q1，Q2，…，Q8來鞏線位性邪表桂示等，臘但榨它逗們萍能哲否容構(gòu)鍛成D空純間穿的繼一高組拔基表呢既？容易看出：Q1，…，Q8這8個(gè)基本方是線性相關(guān)的，即至少存在一個(gè)Qj，可以通過其它7個(gè)基本方的線性組合得到。這8個(gè)基本方的地位是等同的，故可不妨設(shè)j=8。下面驗(yàn)證Q1，Q2，…，Q7是否線性相關(guān)。

令：，即=等號(hào)兩邊對應(yīng)元素相比較，得r1=r2=…=r7=0，所以是線性無關(guān)是D空間的最小生成集。

令D

即解方程組：

=

解得

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設(shè)

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