湖南省懷化市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

懷化市2023年上期高一年級期末考試試題數(shù)學(xué)1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號和科目.2.考生作答時，選擇題和非選擇題均須做在答題卡上，在本試題卷上答題無效.考生在答題卡上按答題卡中注意事項的要求答題.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.4.本試題卷共4頁，如缺頁，考生須聲明，否則后果自負(fù).第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算化簡已知條件，由此求得.【詳解】由得.故選：A2.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由且，可得，所以.故選：D.3.若圓錐母線長為2，底面圓的半徑為1，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出圓錐的側(cè)面積和底面積，即可求出圓錐的表面積.【詳解】因為圓錐母線長為2，底面圓的半徑為1，所以該圓錐的側(cè)面積為：.該圓錐的底面積為，所以該圓錐的表面積為.故選：A.4.在一次羽毛球比賽中，甲乙兩人進入決賽（比賽采用三局兩勝制）.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率均為60%，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率：先由計算機產(chǎn)生出[0,9]之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3，4，5表示一局比賽中甲勝，6，7，8，9表示一局比賽中乙勝.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：192907966925271932812458569682267393127556488730113537989431據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所得隨機數(shù)判斷甲獲勝的局?jǐn)?shù)，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.【詳解】所得隨機數(shù)中甲獲勝有192925271932812458393127556730113537431，共13局；所以甲獲得冠軍概率為.故選：D5.已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】在A中，與相交或平行；在B中，與相交或平行；在C中，與相交或平行；在D中，由線面垂直，線線平行的性質(zhì)得．【詳解】，是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，知：在A中，若，，，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，，則與相交或平行，故B錯誤；在C中，若，，，則與相交或平行，故C錯誤；在D中，若，，，則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得，故D正確．故選：D．6.已知事件與事件互斥，記事件為事件對立事件.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，從而，利用對立事件概率公式即可求解.【詳解】因為事件與事件互斥，所以，所以.故選：B7.四名同學(xué)各投擲質(zhì)地均勻的骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）A.眾數(shù)為3，極差為3 B.平均數(shù)為2，中位數(shù)為2C.平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2 D.中位數(shù)為3，眾數(shù)為3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各項的數(shù)據(jù)特征分析投擲5次對應(yīng)數(shù)據(jù)是否可能出現(xiàn)點數(shù)6即可.【詳解】A：若眾數(shù)為數(shù)據(jù)中的最小值，結(jié)合極差為3，則數(shù)據(jù)中最大值為6，故可能出現(xiàn)點數(shù)6；B：由平均數(shù)為2，則所有數(shù)據(jù)之和為，又中位數(shù)為2，將數(shù)據(jù)從小到大排列，則前3個數(shù)據(jù)之和最小的情況為，故后2個數(shù)據(jù)之和最大為，所以不可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)6；C：若出現(xiàn)點數(shù)6，平均數(shù)為2，滿足條件的情況有，則方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為2，故可能出現(xiàn)點數(shù)6；D：如滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，故可能出現(xiàn)點數(shù)6；故選：B8.已知向量與向量均為單位向量，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件求出，再由投影向量公式計算即可求出答案．【詳解】因為，，，所以，，故向量在向量上的投影向量為，故選：A.二、多項選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則下列各選項正確的是（）A.B.的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點在三象限C.的虛部是D.是方程的復(fù)數(shù)根【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)及虛部定義判斷ABC，將復(fù)數(shù)z代入方程判斷是否成立判斷D.【詳解】A：，正確；B：對應(yīng)點為，在第三象限，正確；C：的虛部是4，錯誤；D：將代入得，錯誤.故選：AB10.隨著國民經(jīng)濟的快速發(fā)展和人民生活水平的不斷提高，我國社會物流需求不斷增加，物流行業(yè)前景廣闊．社會物流總費用與GDP的比率是反映地區(qū)物流發(fā)展水平的指標(biāo)，下面是2017-2022年我國社會物流總費用與GDP的比率統(tǒng)計，則（）A.2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長．且2021年增長的最多B.2017-2022這6年我國社會物流總費用的第分位數(shù)為萬億元C.2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為D.2022年我國的GDP超過了121萬億元【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由圖表即可判斷AC，由百分位數(shù)的計算公式即可判斷B，由2022年社會物流總費用與GDP的比率即可得到2022年我國的GDP，即可判斷D.【詳解】由圖表可知，2018-2022這5年我國社會物流總費用逐年增長，2021年增長的最多，且增長萬億元，故A正確；因為，則第分位數(shù)為第5個，即為，所以這6年我國社會物流總費用的第分位數(shù)為萬億元，故B錯誤；由圖表可知，2017-2022這6年我國社會物流總費用與GDP的比率的極差為，故C正確；由圖表可知，2022年我國的GDP為萬億元，故D正確.故選：ACD11.分別拋擲兩枚硬幣，設(shè)A表示事件“第1枚正面向上”，B表示事件“第2枚反面向上”，C表示事件“恰有1枚正面向上”，D表示事件“兩枚都正面向上”，則（）A.B與C互斥B.B與D互斥C.A與C相互獨立D.A與D相互獨立【答案】BC【解析】【分析】列舉出拋擲兩枚硬幣樣本空間，判斷各事件所含樣本點判斷AB；古典概率求法求相關(guān)事件的概率，結(jié)合獨立事件的判定判斷CD.【詳解】分別表示第1枚正面向下、向上，分別表示第2枚正面向下、向上，拋擲兩枚硬幣樣本空間為，共4種，所以，事件A含；事件B含；事件C含；事件D含；由上知：B與C不互斥，B與D互斥，A錯，B對；，，故，，C對，D錯.故選：BC12.在棱長為3的正方體中，P在線段上運動，則（）A.面B.C.三棱錐體積不變D.最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由可判斷；對于B，當(dāng)點與點重合時，求得與所成角為可判斷；對于C，由平面可得在運動過程中點到平面的距離不變，從而可判斷；對于D，利用三角形的三邊關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，連接，因為，所以四點共面，則平面與平面重合，因為，平面，平面，所以平面，A對；對于B，連接，所以是等邊三角形，即，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以與所成角為，所以當(dāng)點與點重合時，與不垂直，B錯；對于C，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，因為P在線段上運動，所以在運動過程中點到平面的距離不變，因為，所以三棱錐體積不變，C對；對于D，在中，，當(dāng)點與點重合時等號成立，所以最小值為，D對.故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)橫線上.13.為了了解某高中學(xué)校的學(xué)生學(xué)業(yè)水平情況，教育部門按年級分層抽樣從該學(xué)校的2400名學(xué)生中抽取100名學(xué)生.若該校高一年級有840人，則高一年級應(yīng)被抽取的學(xué)生人數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可求出高一年級應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】抽樣比為：，高一年級應(yīng)被抽取的學(xué)生人數(shù)為：人.故答案為：14.已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別是，，，則頂點的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】由平行四邊形有，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)表示求坐標(biāo)即可.【詳解】由為平行四邊形，則，令，則，所以，可得，故.故答案為：15.已知正四棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，棱柱的各個頂點都在球面上，則球的半徑為________.【答案】##【解析】【分析】由正四棱柱外接球球心為體對角線，結(jié)合已知即可求半徑.【詳解】由正四棱柱外接球的球心為體對角線的中點，且底面為正方形的直棱柱，故外接球半徑為.故答案為：16.在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為___________【答案】##【解析】【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【詳解】由已知得即為向量與的夾角.因為M、N分別是，邊上的中點，所以，.又因為，所以，,,所以.故答案為：四、解答題:共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，求證：三點共線【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用余弦定理求即可；（2）根據(jù)向量加法法則，結(jié)合已知及向量共線定理即可證結(jié)論；【小問1詳解】由，則.【小問2詳解】，又、有公共點，故三點共線.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP=OC，PA⊥PD.求證：（1）直線平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線定理，可得答案；（2）利用平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案.小問1詳解】如圖，連接OE，因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以O(shè)為AC的中點.又E為PC的中點，所以.因為平面BDE，平面BDE，所以直線平面BDE.【小問2詳解】因為，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因為OP=OC，E為PC的中點，所以O(shè)E⊥PC.又平面PCD，平面PCD，，所以O(shè)E⊥平面PCD.因為平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.19.某校高三年級舉行了高校強基計劃模擬考試（滿分100分），將不低于50分的考生的成績分為5組，即，并繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中在內(nèi)的人數(shù)為2.（1）求的值，并估計不低于50分考生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）現(xiàn)把和內(nèi)的所有學(xué)生的考號貼在質(zhì)地、形狀和大小均相同的小球上，并放在盒子內(nèi)，現(xiàn)從盒中隨機抽取2個小球，若取出的兩人成績差不小于30，則稱這兩人為“黃金搭檔組”.現(xiàn)隨機抽取3次，每次取出2個小球，記下考號后再放回盒內(nèi)，記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為2的概率.【答案】（1）；分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為即可求解，利用平均數(shù)公式可得平均成績；（2）依題意先求得抽取出‘黃金搭檔組”的概率，再根據(jù)事件的獨立與互斥求解即可.【小問1詳解】由題意，得，解得，不低于50分考生的平均成績估計為（分）；【小問2詳解】在上的頻率為，由條件得總?cè)藬?shù)為，所以在內(nèi)的人數(shù)為，記內(nèi)的所有學(xué)生的考號所在小球分別為，內(nèi)的所有學(xué)生的考號所在小球分別為，則從這6個球中抽取2個球的結(jié)果有：，，，共15種，其中為“黃金搭檔組”有，，，共8種，所以抽取出‘黃金搭檔組”的概率.記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為2為事件A，事件表示第次取出“黃金搭檔組”，所以，故取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為2的概率為.20.在中，角的對邊分別為，.（1）若，求的面積；（2）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把邊化為角，結(jié)合三角變換與同角基本關(guān)系可求得，結(jié)合已知與面積公式即可求解；（2）用正弦定理把邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡，利用三角函數(shù)的值域求解，即可得到答案.【小問1詳解】因為，由正弦定理，可得，又由，可得，所以，所以，即，因為，可得，所以，即，又因為，所以，所以的面積為.【小問2詳解】由（1）可知，由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以，所以，故周長的取值范圍為.21.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，，且三棱錐的體積為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件證得平面即可得解；（2）根據(jù)三棱錐的體積求得，可得，作輔助線作于，作于，連，利用定義法找到二面角的平面角，再求得相關(guān)線段長，解三角形可得答案.【小問1詳解】在三棱錐中，因為為的中點，且，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以.【小問2詳解】因是邊長為的等邊三角形，所以，則，因平面，所以為三棱錐的高，設(shè)為，所以，，所以，即有，所以，作于，作于，連，則，因為平面，所以平面，平面，則，因為，平面，所以平面，而平面，故，則為二面角的平面角.又，所以，在中，，，所以，由知，故，所以，即,∴，從而，又因為在中，，所以為等腰直角三角形，所以，即二面角的大小為.22.近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的