知識講解條件概率事件的相互獨立性理基礎(chǔ)

要點一、條件概率的概念2．P(A|B)、P(AB)、P(B)的區(qū)別P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。P(AB)是事件A與事件B同時發(fā)生的概率，無附加條件。P(B)是事件B發(fā)生的概率，無附加條件．P(A|B)與概率P(A)，它們都以基本事件空間Ω為總樣本，但它們?nèi)「怕实那疤崾遣幌嗤?。概率P(A)是指在整個基本事件空間Ω的條件下事件A發(fā)生的可率P(A|B)是指在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的可能性大小。A“取得籃球”，B=“取得玻璃球”。基本事件空間Ω包含的樣本點總數(shù)為16，事件A包含的樣本點總數(shù)為11，故P(A)=。246375紅藍(lán)如果已知取得玻璃球的條件下取得籃球的概率就是事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，那么在事件B發(fā)生的條件下可能取得的樣本點總數(shù)應(yīng)為“玻璃球的總數(shù)”，即把樣本4263要點二、條件概率的公式①利用定義計算．樣本空間縮小為已知的條件事件B，原來的事件A縮小為事件AB，，此法常應(yīng)用于古典概型PBAPAB與區(qū)別：PBAABA先發(fā)生事件B后發(fā)生；在②基本事件空間不同在P(B|A)中，事件A成為基本事件空間；在P(AB)中，基本事件空一，即要熟練應(yīng)用它的變形公式如，若P(B)＞0，則P(AB)=P(B)·P(A|B)，該式稱為概率的乘法公式．條件概率也是概率，所以條件概率具有概率的性質(zhì)．如：①任何事件的條件概率取值在0到1之間；②必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為0；③條件概率也有加法公式： (B∪|A)=P(B|A)+P(C|A)，其中B和C是兩個互斥事件．定義：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，即P(B|A)=P(B)，這 (1)若A與B是相互獨立事件，則P(A.B)=P(A).P(B)； (2)若事件A,A,,A相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)12n12n12n (1)P(AB)=P(A)P(B)使用的前提是A、B為相互獨立事件，也就是說，只有相 (2)兩個事件A、B相互獨立事件的充要條件是P(A.B)=P(A).P(B)。發(fā)AB們發(fā)生的概率為P(A)，P(B)，將A，B中至少有一個發(fā)生記為P(A+B)P(A·B)P(A)+P(B)0P(A)·P(B) (B)]P(A)+P(B)11－P(A)·P(B)類型一、條件概率： (1)乙地為雨天時，甲地也為雨天的概率為多少？ (2)甲地為雨天時，乙地也為雨天的概率為多少？【思路點撥】(1)在乙地為雨天的事情業(yè)已發(fā)生的情況下，求甲地也下雨的概率，為典型【解析】設(shè)A表示“甲地為雨天”，B表示“乙地為雨天”，則根據(jù)題意有P(A)=，P(B)=，=P(AB)=． 舉一反三：371率分別為和，兩人在一天內(nèi)都賣出一份產(chǎn)品的概率為，問：5102 (1)在一天內(nèi)甲先賣出一份產(chǎn)品乙后賣出一份產(chǎn)品的概率是多少？ (2)在一天內(nèi)乙先賣出一份產(chǎn)品甲后賣出一份產(chǎn)品的概率是多少？AB，37因為兩人在一天內(nèi)賣出一份產(chǎn)品的概率分別為和，兩人在一天內(nèi)都賣出一份產(chǎn)品的51012371所以P(A)=，P(B)=，P(AB)=。102 (1)因為“在一天內(nèi)甲先賣出一份產(chǎn)品乙后賣出一份產(chǎn)品”這一事件是甲在一天內(nèi)賣出一1P(A)36 (2)因為“在一天內(nèi)乙先賣出一份產(chǎn)品甲后賣出一份產(chǎn)品”這一事件是乙在一天內(nèi)賣出一1P(B)77 31【變式2】若P(A)=，P(B|A)=，則P(AB)等于()423838313428一次取后不放回，若第一次取到的是好的，則第二次也取到好的概率為()55539449設(shè)A=“第i次取到好的晶體管”(i=1，2)。i63651因為P(A)==，P(AA)==，10512109321P(A)912道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，求： (1)第1次抽到理科題的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科題的概率； (3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題概率【思路點撥】本題考查古典概型、條件概率．(1)和(2)中利用P=m解決，(3)利n率公式解決．2次都抽到理科題”為事件AB． 5 53 (3)P(B|A)=P(AB)=10=1．P(A)325 (1)求條件概率P(B|A)的關(guān)鍵就是要抓住事件A作為條件和事件A與B同時發(fā)生這 (2)本題第(3)問可用下面的方法求解：用n(A)表示事件A中包含的基本事件個數(shù)，則n(A)=12，n(AB)=6，PBAn(A)122舉一反三：生100名，其中男生60人，女生40人；來自北京的有20AB8名女生，這是一個條件概率問題，即計算P(B|A)．8∴P(B|A)=P(AB)=100=1．P(A)405是次品的條件下，第二次取到正品的概率是()151595次抽取1件，求： (1)取兩次，兩次都取得一等品的概率； (2)取兩次，第二次取得一等品的概率； (3)取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。 (1)取兩次，兩次都取得一等品的概率為323P(AA)=P(A)P(A|A)=.=；121215410 (2)取兩次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到23323可得P(A)=P(AA+AA)=P(AA)+P(AA)=.+.=；21212121254545 (3)取兩次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，2312P(A)3225箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，問從2號箱取出紅球的概率是多從1號箱取出白球時．3+14318+198+13從而P(A)=P(AB)+P(AB)421111933327舉一反三： (1)先摸出一個白球不放回，再摸出—個白球的概率是多少？ (2)先摸出一個白球后放回，再摸出一個白球的概率是多少？ (1)設(shè)“先摸出一個白球不放回”為事件A，“再摸出一個白球”為事件B，則“先后兩次摸到22361PA132 (2)設(shè)“先摸出一個白球放回”為事件A1，“再摸出一個白球”為事件B1，則“兩次都摸到白1121141∴P(B|A)=P(A1B1)=4=1．11P(A)122綜合(1)(2)所述，先摸出一個白球不放回，再摸出一個白球的概率為；先摸出一個31白球后放回，再摸出一個白球的概率為．2例4.容器中盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球． (1)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取 (2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“把取出的1個白球放回容器，再從容器中任意取出1個，取出的是黃球”這兩個事件是否相互獨立為什么【解析】(1)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為，若這一事件發(fā)生84了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒有發(fā)75生，則后一事件發(fā)生的概率為．可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影7響，所以二者不是相互獨立事件． (2)由于把取出的白球放回容器，故對“從中任意取出1個，取出的是黃球”的概率沒有以二者是相互獨立事件． (1)通過計算P(B|A)=P(B)可以判斷兩個事件相互獨立： (2)通過驗證P(AB)=P(A)P(B)也可以判斷兩個事件相互獨立．舉一反三： (1)運動員甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”； 1次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”： (3)甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”； (4)甲、乙兩運動員各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中 (1)甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”這兩個事件不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件． (2)甲、乙各射擊1次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響，二者 擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”不可能同時發(fā)件． (4)甲、乙各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中目標(biāo)”可互斥事件，但也不可能是相互獨立事件．、乙擊中目標(biāo)的概率分別為、．求下列事件的概率： (1)兩人都擊中目標(biāo)； (2)至少有一人擊中目標(biāo)； (3)恰有一人擊中目標(biāo)．由已知P(A)=，P(B)=， (1)兩人都擊中目標(biāo)的概率 (AB)P=P(A)·P(B)=×=． (2)至少有一人擊中目標(biāo)的概率P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) (3)恰有一人擊中目標(biāo)的概率P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=求解．舉一反三：41因從甲袋中取一球為紅球的概率為，從乙袋中取一球為紅球的概率為，66411669兩地是否下雨之間沒有影響，則在這段時間內(nèi)，甲、乙兩地都不下雨的概率為()．．品可以獲得一張獎券．獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動．如果兩次兌獎活動的中獎概=；AB碼的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×=.(2)兩次“抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(AB)U(AB)表示．由于事件AB與AB互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為PB(A)十P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.05×)+)×=0.095.(3兩)次“抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用(AB)UB)(UA(AB)表示．由于ABBPPAB+0.095=0.09743例6．甲、乙、丙三位同學(xué)完成6道數(shù)學(xué)自測題，已知他們及格的概率依次為，，57 (1)三人中有且只有兩人及格的概率； (2)三人中至少有一人不及格的概率。【思路點撥】三件(或三件以上)相互獨立的事同時發(fā)生，和兩個相互獨立的事同時發(fā)生 (1)三人中有且只有兩人及格的概率為1551055105510 (2)三人中至少有一人不及格的概率為43783PPABCPAPB.P(C)=1=。例1．4378325510125【總結(jié)升華】①明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義。②在求事件的概率時，有時會遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率問題，它們是諸多事件的和或積，可以從正面或?qū)α⒚娼鉀Q問題。如果從正面考慮這些問題，求解過程繁瑣，但“至少……”或“至多……”這些事件的對立事件卻相對簡單，其概率也易求出，此時，可逆向思維，運用“正難則反”的原則求解。舉一反三：35253565A.B.C.D.19257619225535