自動控制原理課件

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章主要內(nèi)容2.1概述2.2物理系統(tǒng)的微分方程2.3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.4框圖模型2.5信號流圖模型2.6反饋控制系統(tǒng)的特性2.7應(yīng)用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)仿真2.8設(shè)計舉例1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)概述自動控制系統(tǒng)是一種嚴(yán)格定量的動態(tài)運行的信息系統(tǒng)。定量：要求用數(shù)學(xué)方法描述系統(tǒng)及系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)變量間的內(nèi)在關(guān)系及其變化規(guī)律，即數(shù)學(xué)模型?？刂葡到y(tǒng)本質(zhì)上是動態(tài)的。因此描述系統(tǒng)行為的方程通常是微分方程。2第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法：分析法：對系統(tǒng)各部分的運動機理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的運動方程。實驗法：人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。3第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的形式：時間域： 微分方程(連續(xù)系統(tǒng))

差分方程（離散系統(tǒng)） 狀態(tài)方程（多變量系統(tǒng)）復(fù)數(shù)域： 傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖、信號流圖頻率域：頻率特性4第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型的目的：分析和設(shè)計控制系統(tǒng)。研究系統(tǒng)動態(tài)特性的一般步驟：確定系統(tǒng)及其各元件；作出必要的假設(shè)并推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型；寫出描述該模型的微分方程；解方程求出需要的輸出變量；檢查得到的解和假設(shè)條件。5第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)物理系統(tǒng)的微分方程1

建立微分方程機械運動：牛頓定理、能量守恒定理電學(xué)： 歐姆定理、基爾霍夫定律熱學(xué)： 傳熱定理、熱平衡定律

根據(jù)系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，寫出其運動方程。6第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.1彈簧、質(zhì)量塊和阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)受力分析圖7第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型選定外力f為系統(tǒng)輸入量，位移x為系統(tǒng)輸出量。根據(jù)牛頓第二定律，寫出系統(tǒng)運動方程：整理后得到系統(tǒng)運動方程：8第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

建立微分方程的步驟:根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量；分析元件工作中所遵循的機理，列寫相應(yīng)的微分方程；消去中間變量，得到輸入量與輸出量之間的微分方程；寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。9第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊，方程兩邊變量的各導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。

10第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.2列寫出下列RLC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程2.根據(jù)電路理論,列出原始微分方程式：

RLCur(t)uc(t)i(t)解:

1.明確輸入量、輸出量：系統(tǒng)的輸入量為電壓，輸出量為電壓。11第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型而，式中為網(wǎng)絡(luò)電流，是除輸入量、輸出量之外的中間變量。這兩個式子很相似，是兩個相似系統(tǒng)，故可用電子線路來模擬機械平移系統(tǒng)，這也說明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運動規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來描述。3.消去中間變量,整理得：這就是RLC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程數(shù)學(xué)模型。與例2.1的微分方程相比較：12第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2線性定常微分方程的求解這里只研究用LAPLACE變換法求解微分方程的方法，為今后引出傳遞函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)。微分方程求解的方法：經(jīng)典法LAPLACE變換法計算機數(shù)值解法13第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、拉氏變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)滿足：

1）f(t)實函數(shù)；

2）當(dāng)t<0時，f(t)=0；

3）當(dāng)t0時，f(t)的積分在s的某一域內(nèi)收斂則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jω（σ，ω均為實數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。14第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型拉氏反變換的定義其中L－1為拉氏反變換的符號。15第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)二、拉氏變換的計算16第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型三、拉氏變換的主要運算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時定理卷積定理初值定理終值定理17第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換：當(dāng)初始條件：時，則：18第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般，象函數(shù)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式：四、用拉氏變換求解線性定常微分方程由象函數(shù)求原函數(shù)，對于簡單的象函數(shù)，可直接利用拉氏變換對照表查出相應(yīng)的原函數(shù)，對于復(fù)雜的象函數(shù)，通常先用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成簡單函數(shù)的和，再應(yīng)用拉氏變換對照表。19第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型特別當(dāng)A(s)=0無重根時,F(s)可展開為n個簡單的部分分式之和，即：那么可求得原函數(shù)：20第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用拉氏變換求解線性定常微分方程的步驟：將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閟的代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到象函數(shù)的拉氏變換表達(dá)式；應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。21第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.3：求線性微分方程的解，初始條件為：解：1）方程兩邊拉氏變換得：代入初始條件得：2）部分分式展開得：3）拉氏反變換得：22第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

E2.4,E2.21,E2.18作業(yè)323第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三節(jié)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)微分方程數(shù)學(xué)模型的特點：直觀；借助計算機可以迅速而準(zhǔn)確地求得結(jié)果。優(yōu)點：缺點：如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化時，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計。24第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念，廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的。傳遞函數(shù):是在復(fù)數(shù)域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。25第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。例2.4試求例2.2RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：RLC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為：26第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在零初始條件下對方程各項求拉氏變換，可得：由傳遞函數(shù)定義，可得RLC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：2傳遞函數(shù)的一般形式：設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：27第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型初始條件為零時，對微分方程各項分別求拉氏變換，可得：由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：3傳遞函數(shù)的性質(zhì)：傳遞函數(shù)是s的有理真分式函數(shù)，mn,具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；28第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)與微分方程有相通性，傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式無關(guān)；傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式，系統(tǒng)輸入量與輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來。因此，常用下述方框圖表示具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)：G(s)R(s)C(s)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)，脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖(t)輸入時的輸出響應(yīng)；29第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型適用于線性定常系統(tǒng)只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律一定的傳遞函數(shù)有一定的零極點分布圖對應(yīng)30第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型4傳遞函數(shù)的零點和極點：M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點。零極點分布圖：在復(fù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點和極點的圖形。零極點分布圖完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)?？梢愿蜗蟮乇硎鞠到y(tǒng)的特性。31第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型零點用“o”表示極點用“×”表示32第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5零、極點對輸出的影響:極點是微分方程的特征根，因此決定系統(tǒng)固有運動的模態(tài)。極點的位置決定穩(wěn)定性、快速性零點不形成自由運動的模態(tài)，但影響各模態(tài)響應(yīng)的比重。零點離極點越遠(yuǎn)，離原點越近則零點的作用越明顯。33第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型34第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣，但若考察其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和滯后環(huán)節(jié)。35第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)36第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動方程式：傳遞函數(shù)：Ⅰ、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）：特點：輸出不失真、不延遲、成比例地復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化實例：運算放大器、電位器37單位階躍響應(yīng)：第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型比例環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)曲線38第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動方程式：傳遞函數(shù)：特點：輸出量緩慢地反應(yīng)輸入量的變化規(guī)律實例：RC濾波電路、忽略電樞電感的直流電動機Ⅱ、慣性環(huán)節(jié)：39第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)：40第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)：運動方程式：特點：理想積分環(huán)節(jié)其輸出量是輸入量在時間上的積分實例：電容、積分運算放大器Ⅲ、積分環(huán)節(jié)41第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)：42第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動方程式：傳遞函數(shù)：特點：理想微分環(huán)節(jié)其輸出量是輸入量對時間的微分實例：測速發(fā)電機、RC微分網(wǎng)絡(luò)Ⅳ、微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)：43第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動方程式：傳遞函數(shù)：特點：是二階系統(tǒng)的特例，含有兩個儲能元件，在運動過程中能量相互交換，使環(huán)節(jié)的輸出帶有振蕩的特性實例：質(zhì)量彈簧阻尼器機械位移系統(tǒng)、RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)Ⅴ、振蕩環(huán)節(jié)：44第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線45第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動方程式：傳遞函數(shù)：—時間常數(shù)Ⅵ、延遲環(huán)節(jié)：特點：輸出要隔一定時間后才復(fù)現(xiàn)輸入信號46第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型延遲環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線47第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型上述各典型環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來劃分的。它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)最基本的構(gòu)成因子。在和實際元件相聯(lián)系時，應(yīng)注意以下幾點：⑴系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來劃分的，他與系統(tǒng)中使用的元件并非都是一一對應(yīng)的，一個元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型的組合。而若干個元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是一個典型的數(shù)學(xué)模型。48第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑵同一裝置（元件），如果選取的輸入、輸出量不同，它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。如直流電動機以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時，它是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。但若以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時，它卻是一個積分環(huán)節(jié)。⑶

在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，將被控對象（或系統(tǒng)）的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán)節(jié)所組成的。因而，掌握典型環(huán)節(jié)的動態(tài)特性將有助于對系統(tǒng)動態(tài)特性的分析研究。49第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7總結(jié)傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性，是系統(tǒng)的一種外部描述方式。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。是頻率法和根軌跡法的基礎(chǔ)。50第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型E2.25，DP2.3作業(yè)451第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第四節(jié)框圖模型控制系統(tǒng)的框圖模型是描述系統(tǒng)信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，表示了各變量之間的因果關(guān)系以及對各變量所進(jìn)行的運算。框圖模型是描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便、直觀方法?？驁D（或結(jié)構(gòu)圖）由信號線、方框、引出點及比較點四種基本單元組成。52第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型比較點方框引出點方框信號線53第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型信號線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，直線旁標(biāo)記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。u(t),U(s)54第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引出點/測量點表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一位置引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。u(t),U(s)u(t),U(s)55第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框(環(huán)節(jié))方框表示對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。且輸出變量等于輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積。u(t),U(s)G(s)c(t),C(s)56第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型比較點（綜合點）表示對兩個以上信號進(jìn)行加減運算。用符號“”（“”）及相應(yīng)的信號箭頭表示。箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號u(t),U(s)r(t),R(s))()()()(sRsUtrtu±±±57第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、結(jié)構(gòu)圖的繪制建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關(guān)系（輸入/輸出）；對微分方程取拉氏變換，繪制各部件的方框圖；按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。58第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.5：繪制下列無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖CR1R2urucii1i2解：根據(jù)基爾霍夫定律列寫出下列方程：59第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按照上述方程分別繪制相應(yīng)的方框圖：I(s)I1(s)I2(s)++R2I(s)Uc(s)I1(s)U1(s)11RCSI2(s)U1(s)60第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型U1(s)Ur(s)Uc(s)+-用信號線按信號流向依次將各方框連接起來，得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如下：U1(s)Ur(s)+-11RCsR2++I1(s)I2(s)I(s)Uc(s)61第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通過結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)輸出量的響應(yīng)。方框間的連接錯綜復(fù)雜，但基本連接只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種。簡化過程遵循的原則：變換前后變量關(guān)系保持等效。即前向通路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。3、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化62第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑴串聯(lián)方框的簡化串聯(lián)運算規(guī)則：幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)63第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑵并聯(lián)方框的簡化并聯(lián)運算規(guī)則：同向環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)R(s)C(s))()(21sGsG±±64第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑶反饋方框的簡化反饋通道傳遞函數(shù)：前向通道傳遞函數(shù)：反饋比較點：65第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型消去B(s)和E(s)得：正反饋的傳遞函數(shù)：負(fù)反饋的傳遞函數(shù)：則簡化后的傳遞函數(shù)為：66第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型67第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑷比較點前移比較點前移的規(guī)則為：若比較點從一個方塊圖輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。68第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑸比較點后移比較點后移的規(guī)則為：若比較點從一個方塊圖輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越方塊圖的傳遞函數(shù)。69第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑹引出點前移引出點前移的規(guī)則為：若引出點從一個方塊圖輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越方塊圖的傳遞函數(shù)。70第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑺引出點后移引出點后移的規(guī)則為：若引出點從一個方塊圖輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。71第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑻比較點合并R(s)C(s)±±X1(s)X2(s)R(s)C(s)±X2(s)X1(s)±R(s)C(s)±X1(s)X2(s)±互換綜合點的位置（或綜合點之間相互移動時），不會影響總的輸入輸出關(guān)系。三者輸出都為：C(s)=R(s)±X1(s)±X2

(s)72第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)圖簡化步驟：先求出并聯(lián)環(huán)節(jié)和具有局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。把幾個回路共用的線路及環(huán)節(jié)分開，使每一個局部回路、及主反饋都有自己專用線路和環(huán)節(jié)；確定系統(tǒng)中的輸入輸出量，把輸入量到輸出量的一條線路列成方塊圖中的前向通道；通過比較點和引出點的移動消除交錯回路；73第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.6簡化下列結(jié)構(gòu)圖：74第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：⑴比較點前移75第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑵引出點后移76第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑶求出局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)⑷求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)77第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.7簡化下列結(jié)構(gòu)圖：78第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：⑴比較點后移79第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑵求出局部反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)80第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑶求出局部串聯(lián)環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)⑷求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)81第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作業(yè)5E2.23,E2.26,E2.28,E2.29,P2.37,P2.50,P2.5182第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第五節(jié)信號流圖模型信號流圖的定義：是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。a1bcdfeg1其中表示節(jié)點，表示支路。83第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。節(jié)點：表示變量或信號，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點的信號之和。84第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）節(jié)點標(biāo)志了系統(tǒng)的變量信號流圖的基本性質(zhì)：（2）支路相當(dāng)于乘法器（3）信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞（4）對于給定的系統(tǒng)，節(jié)點變量的設(shè)置是任意的。因此，信號流圖不唯一。85第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型源節(jié)點（或輸入節(jié)點）：只有輸出的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量名詞術(shù)語：阱節(jié)點（或輸出節(jié)點）：只有輸入的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量輸出節(jié)點輸入節(jié)點a1bcdfeg186第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型混合節(jié)點：既有輸入又有輸出的節(jié)點。若從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，可變?yōu)檩敵龉?jié)點。a1bcdfeg1如：x2、x3、x4、x5為混合節(jié)點87第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用pk表示。a1bcdfeg1有兩條前向通路，一條是：x1x2

x3

x4

x5，其前向通路總增益p1=abc;另一條是：

x1x2

x5，其前向通路總增益p1=d88第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型回路：起點與終點重合且通過任何節(jié)點不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆娉朔e稱為回路增益，用La表示。a1bcdfeg1有三條回路，一條是：x2

x3

x2，其回路增益L1=ae;另一條是：

x3x4

x3，其回路增益L2=bf;第三條是：x5x5的自回路，其回路增益L3=g89第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不接觸回路：相互間沒有任何公共節(jié)點的回路a1bcdfeg1有兩對不接觸回路，一對是：x2

x3

x2和x5x5;另一對是：

x3x4

x3和x5x590第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型信號流圖的繪制信號流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對應(yīng)關(guān)系得到。

由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖通過拉氏變換，將微分方程變換為s的代數(shù)方程，再畫信號流圖。

首先對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列。標(biāo)明支路的增益，根據(jù)數(shù)學(xué)方程式將各節(jié)點正確連接。

91第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.8根據(jù)微分方程繪制下圖的信號流圖，不計初始條件解：⑴列出微分方程，并變換為s的代數(shù)方程92第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑵根據(jù)s的代數(shù)方程繪制信號流圖93第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型⑶按照系統(tǒng)中變量的因果關(guān)系，從左向右順序排列，畫出信號流圖94第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖信號流圖與結(jié)構(gòu)圖有類似的布局，等效對應(yīng)關(guān)系如下所示：結(jié)構(gòu)圖：輸入端比較點引出點信號線方框輸出端信號流圖：輸入節(jié)點混合節(jié)點支路輸出節(jié)點95第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用標(biāo)有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路。從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖的步驟：在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號，便得到節(jié)點；96第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.9將下述結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換為信號流圖97第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2.10試?yán)L制下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖G2G1G3G4HRC123456解：1）選取節(jié)點如圖所示；2）支路中的傳遞函數(shù)即為支路增益；98第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3）注意符號并整理得到系統(tǒng)信號流圖如下：G2G11G31－HG41123456G2G1G3G4HRC12345699第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6、梅森公式梅森（Mason)公式能直接求取從源節(jié)點到阱節(jié)點的傳遞函數(shù)，而不需簡化信號流圖。由于信號流圖與結(jié)構(gòu)圖之間有對應(yīng)關(guān)系，因此，梅森公式也可直接用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。梅森公式：式中：P—系統(tǒng)總傳遞函數(shù)；n—前向通路總數(shù)；Pk—第k條前向通路的傳遞函數(shù)；Δ—流圖特征式100第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是所有單獨回路的傳遞函數(shù)之和；其中：所有互不接觸的單獨回路中，每次取兩個回路的回路傳遞函數(shù)乘積之和；所有互不接觸的單獨回路中，每次取三個回路的回路傳遞函數(shù)乘積之和；101第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與第k條前向通路對應(yīng)的余因子式，等于流圖特征式中去掉與第k條前向通路接觸的所有回路的回路增益后的余項式。例2.11試求下圖所示信號流圖的傳遞函數(shù)123456102第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：有4條回路，分別是：454

，236

2，24562，234562，其回路增益分別是：一對互不接觸回路：L1L2=G2G4G7H1H2有3條前向通路，分別是：123456，12456，

1236，其前向通路增益分別是：103第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型根據(jù)梅森公式，系統(tǒng)傳遞函數(shù)（或總增益）為：流圖特征式：流圖余因子式分別是：104第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作業(yè)6E2.8，E2.15，E2.22，DP2.1105第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第六節(jié)反饋控制系統(tǒng)的特性開環(huán)系統(tǒng)不帶有反饋，輸入信號直接產(chǎn)生輸出響應(yīng)。自動控制系統(tǒng)的目的就是：使誤差盡可能的小，最好為0。閉環(huán)控制系統(tǒng)將輸出的測量值與預(yù)期的輸出值相比較，產(chǎn)生偏差信號并將偏差信號作用于執(zhí)行機構(gòu)。106第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為了減小偏差，1+G(s)H(s)的幅值應(yīng)大于1。單位反饋的誤差信號：誤差信號：107第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一個典型的反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：圖中R(s)是輸入信號，N(s)是擾動作用，C(s)是輸出信號。108第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型但是，對于線性定常系統(tǒng)，卻可以通過分別計算它們單獨作用時的輸出，然后利用疊加原理，就可以得到既考慮給定輸入又考慮擾動輸入的輸出響應(yīng)。反饋控制系統(tǒng)在工作過程中通常會受到希望輸入（或給定輸入）和非希望輸入（或擾動輸入）的作用，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是由這兩類輸入共同作用的結(jié)果。由傳遞函數(shù)的定義可知，我們得不出一個既考慮給定輸入又考慮干擾輸入的傳遞函數(shù)。109第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型輸入量與擾動量同時作用下的輸出110第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型上式表明，在一定條件下，系統(tǒng)輸出只取決于反饋通路傳遞函數(shù)H(s)和輸入信號R(s)，與前向通路傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)無關(guān),也不受擾動作用影響。特別是當(dāng)反饋通路傳遞函數(shù)H(s)=1時，C(s)R(s)，從而近似實現(xiàn)了對輸入信號的復(fù)現(xiàn)，且對擾動具有較強的抑制作用。111第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型反饋的代價首先是明顯地增加了元件的數(shù)目和系統(tǒng)的復(fù)雜性。第二個代價是增益損失，例如在一個單回路系統(tǒng)中，開環(huán)增益是G(s)H(s),而在負(fù)反饋系統(tǒng)中減小到G(s)/(1+G(s)H(s))。閉環(huán)增益減小了1/（1+G(s)H(s)）倍。第三個代價是可能帶來系統(tǒng)不穩(wěn)定性。112第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型MATLAB是矩陣實驗室（MatrixLaboratory）的簡稱，主要應(yīng)用領(lǐng)域是工程計算、控制設(shè)計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設(shè)計與分析等。第七節(jié)應(yīng)用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)仿真MATLAB是美國MathWorks公司出品的軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言簡捷得多。

113第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型114第二章控制系統(tǒng)的數(shù)