用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的一點(diǎn)幾何意義

用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的一點(diǎn)幾何意義猜想

孟劍衛(wèi)〔江蘇省東海高級(jí)中學(xué)，江蘇東海)定義；方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。利用遞推數(shù)列f〔X)的不動(dòng)點(diǎn),可將某些遞推關(guān)系an=￡(an-i)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法叫不動(dòng)點(diǎn)法。對(duì)于這個(gè)方法有幾個(gè)重要定理，假設(shè)只從代數(shù)角度理解，恐怕對(duì)許多中學(xué)生來(lái)說(shuō)是有難度的。下面筆者對(duì)這幾個(gè)定理予以幾何解釋：定理1：假設(shè)f(x)=ax+b(a/0,a/1),p是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，氣滿足遞推關(guān)系an=《(a'gl)則an-p=a(an_1-P),即｛an-P｝是公比為a的等比數(shù)列。它的代數(shù)證明如下：證明：因?yàn)閜是f〔x〕的不動(dòng)點(diǎn)，所以ap+b=p,所以b-p=-ap,由an=a.a^+b得an-p=a.定理隊(duì)設(shè)/3)=竺旦(CH戚一如hO)?｛氣｝滿足遞推關(guān)系%ex+d初值條仰?％”0)⑴二若73)有兩個(gè)相異的不動(dòng)Z ，則= \一"〔這里上=土史〕□Li 口?軒(2J；著只工)只右唯一不動(dòng)山p，則 = +k 〔這里)=——%一# *—P工日爪巾=工得=健，危=工,，聽(tīng)以成’ _8=0GT+iZ（1）因?yàn)槭憾遣粍?dòng).點(diǎn)，，聽(tīng)以?（1）因?yàn)槭憾遣粍?dòng).點(diǎn)，，聽(tīng)以?時(shí)一馬3）因?yàn)閜是方程ex2+（（7-<sf）x-fr=Q的雌一懈?所以卬'一@一瓦中一日=0所以b—pd-或一零np=———所以皿z十萬(wàn) （a—任）—一〉一詞做一印）—叩3—wKj—F）所以TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1由4d1 ￡；(%_[-P)4次4甲c』■+叩 1 1 2t壺 1 1

令& 則 = 十*與定理一的幾何意義相似，表示的是兩條直線的的斜率相比是定值k,但怎么證明筆者尚未想到簡(jiǎn)便的方法，只能從上面的代數(shù)方法借鑒。第二種情況也是如此，a-p/a-p+k（a下列圖，由于筆者能力有限，尚未發(fā)現(xiàn)幾何證法。上面是【文1】給出的純代數(shù)證明，下面看看它所蘊(yùn)含的幾何意義。上面是【文1】給出的純代數(shù)證明，下面看看它所蘊(yùn)含的幾何意義。nn-1 nfir-+Aw4/?定理恥設(shè)函或/（*）= Gtwcu#。）有兩個(gè)不同的小動(dòng)點(diǎn).馬匕，rttt]fir-+Aw4/?定理恥設(shè)函或/（*）= Gtwcu#。）有兩個(gè)不同的小動(dòng)點(diǎn).馬匕，rttt]心+j4產(chǎn) 眺定君數(shù)瓦W』那么當(dāng)月議當(dāng)/>=（v=s時(shí)，^1-'—1,=（也iiF叫：?.?也址的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)_吧,嫵*?叩匚_、/=(臼-.Jr7-bx.(k=1,2)' di ■Ir&虬「+(b—5 +(?—叫)au'4- )怔"+(<*-a}x.-b\虬.-除o,/十占虬4-c- 十/)叫：+(b-ei;W“十r一x2Jh□「十估一ex2)h?+(ch-口 -g_[虬■叩虬*1一心 聽(tīng)一為G # amJ+ —匕4?山_十(r一口)瓦『-hjuur—十遙~x. 4 JJ *nr ￡ib-<ex.(m)r「-fcrM,+ UH+ L3勺 J= ] ； — 2 - gb-tj,(t-u)jc/-fev*虬+x^~H「十 Uh+ ; h。 .?.方用捫仃唯解，二費(fèi)=2a.定雅4□設(shè)/〔刑=貝*M?+壬「^3、⑴與此的登小不動(dòng)點(diǎn)，ftVi]K，"芾足珊推關(guān)桌叫■，嫵_!)-弓?&*…?則有％-氣■占(知-%)'|_2 ji3 jl定理5=J(j)=w.t3+ +—A+——=--—(w?t0),j|.*of(,t) -款乳3u 27tr'3<rI。」胃足疆摧失事毋.■六flzL州=23…-呷有耳二巾―一孔)1上面