導(dǎo)與練2017屆高三數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)課件限時訓(xùn)練全國通用專題突破函數(shù)導(dǎo)數(shù)6份打包第3講綜合應(yīng)用

第3講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用熱點突破高考導(dǎo)航高考導(dǎo)航演真題·明備考高考體驗1.(2014·全國Ⅱ卷,文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點

(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2.(1)求a;(1)解:f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線方程為y=ax+2.所以a=1.由題設(shè)得-2=-2,a(2)證明:當(dāng)k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.(2)證明:由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2.設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由題設(shè)知1-k>0,當(dāng)x≤0時,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,

g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一實根.當(dāng)x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)沒有實根.綜上,g(x)=0在R有唯一實根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.2.(2015·全國Ⅰ卷,文21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln

x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);(1)解:f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2e2x-a

(x>0).x當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點;當(dāng)a>0時,因為y=e2x

單調(diào)遞增,y=-a

單調(diào)遞增,x所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f′(a)>0,當(dāng)b滿足0<b<a

且b<

1

時,f′(b)<0,4

4故當(dāng)a>0時,f′(x)存在唯一零點.(2)證明:當(dāng)a>0時,f(x)≥2a+aln

2

.a(2)證明:由(1),可設(shè)f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x000

2

xx0時,f(x)取得最小值,最小值為

f(x

).由于

2e

-

a

=0,0所以f(x)=a2x00a+2ax

+aln

2

≥2a+aln2

.a故當(dāng)a>0時,f(x)≥2a+aln2

.a3.(2016·全國Ⅲ卷,文21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln

x-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(1)解:由題設(shè),f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=

-11,令f′(x)=0解得x=1.當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.x(2)證明當(dāng)x∈(1,+∞)時,1<x

-1

<x;ln

x(2)證明:由(1)知f(x)在x=1處取得最大值,最大值為f(1)=0.所以當(dāng)x≠1時,f(x)<0,即ln

x<x-1.故當(dāng)x∈(1,+∞)時,ln

x<x-1,ln

1

<

1

-1,x

x即1<

x

-1

<x.ln

x(3)設(shè)c>1,證明當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.(3)證明:由題設(shè)c>1,設(shè)g(x)=1+(c-1)x-cx,x0則g′(x)=c-1-c

ln

c,令g′(x)=0,解得x=ln

ln

c

ln

cc

-1.當(dāng)x<x0

時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;0ln

c當(dāng)x>x時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.由(2)知1<

c

-1

<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故當(dāng)0<x<1時,g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0,1)時,1+(c-1)x>cx.高考感悟1.考查角度

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)、冪函數(shù)、分式函數(shù),以e為底的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及求參數(shù)等.

(2)導(dǎo)數(shù)與方程、函數(shù)、不等式等綜合考查單調(diào)性、最值、零點等問題.2.題型及難易度解答題為主,難度較大.熱點突破剖典例·促遷移熱點一

利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題考向1

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例1】(2016·河北邯鄲模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)lnx+b,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+y-2=0.(1)求y=f(x)的解析式;(1)解:因為f′(x)=ln

x+所以f′(1)=1+a=-1,所以a=-2,又點(1,f(1))在切線x+y-2=0上,所以1+b-2=0,所以b=1,所以y=f(x)的解析式為f(x)=(x-2)ln

x+1.xx,+

a(2)證明:令g(x)=x-ex(x>0),因為g′(x)=1-ex,所以當(dāng)x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)<g(0)=-1<0,所以f

(x)-1

<1等價于f(x)-1>g(x).g(x)我們?nèi)绻軌蜃C明f(x)-1≥-1,即f(x)≥0,即可證明目標(biāo)成立.下面證明:對任意x∈(0,+∞),f(x)≥0.由(1)知f′(x)=ln

x+x

-2x(2)證明:f(x)-1

<1.x

-

ex令h(x)=ln

x+x

-2x

xx2(x>0),則

h′(x)=

1

+2

>0,所以h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,又h(1)=-1<0,h(2)=ln2>0,所以存在x0∈(1,2)使得h(x0)=0.當(dāng)0<x<x0

時,h(x)<0,即f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x0

時,h(x)>0,即f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增;所以f(x)≥f(x0)=(x0-2)ln

x0+1.0

00

0

0

0x0

x0由f′(x)=0得ln

x=2

-1,所以f(x)≥f(x)=(x-2)ln

x+1=(x-2)(2

-1)+0x0

x1=5-(x+4

).令r(x)=x+4

(1<x<2),則r′(x)=1-

4

=

(x

+

2)(x

-

2)

<0,所以

r(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x2

x20x0r(x)<r(1)=5,所以f(x)≥5-(x+4

)>5-5=0.綜上,對任意x∈(0,+∞),f

(x)

-1

<1.x

-

ex考向2

利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的恒成立或存在性問題【例2】(2016·福建福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+aln

x(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)在(1,f(1))處的切線方程;解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x2-2x+2ln

x,f′(x)=2x-2+

2,x則f(1)=-1,f′(1)=2,所以切線方程為y+1=2(x-1),即為y=2x-3.解:(2)f′(x)=2x-2+

a

(x>0),令f′(x)=2x-2+

a

=0,x

x則2x2-2x+a=0,當(dāng)Δ=4-8a≤0,a≥1

時,f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+2∞)上單調(diào)遞增,無極值點.當(dāng)Δ=4-8a>0且a>0時,0<a<

1

,2由2x2-2x+a=0得x1,2=

2

–

4

-

8a

=

1

–

1

-

2a

.4

2當(dāng)x變化時,f′(x)與f(x)的變化情況如下表:(2)當(dāng)a>0時,若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),不等式f(x1)≥mx2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增21

2

1

2

1

2當(dāng)0<a<1

時,函數(shù)f(x)有兩個極值點x,x(x<x),且x+x

=1,21

2x

=

1

-

1

-

2a

,x

=

1

+2

2

2

21

21

-2a

,由0<a<1

可得0<x<1

,1

<x

<1,x2x2 1

=

1

1 1

=

1

1

1

1

1x2f

(x

)

x2

-

2x

+

a

ln

x

x2

-

2x

+

(2x

-

2x2

)

ln

xx2

-

2x

+

(2x

-

2x2

)

ln

x=

1

1

1

1 1

=1-x1-1

-

x111

-

x1+2x1ln

x1,令h(x)=1-x-1h′(x)=1-1

-

x1(1

-

x)2+2xln

x(0<x<

1

),2+2ln

x,因為0<x<1

,所以-1<x-1<-1

,2

21

<(x-1)2<1,h′(x)=1-

1

+2ln

x<0,4

(1

-

x)2即h(x)在(0,

1

)上遞減,即有h(x)>h(

1

)=-3

-ln

2,2

2

2所以實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-3

-ln

2].2【方法技巧】(1)利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的恒成立或存在性問題的“兩種”常用方法①分離參數(shù)法:第一步:將原不等式分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題;第二步:利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值;第三步:根據(jù)要求得所求范圍.②函數(shù)思想法:第一步:將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題;第二步:利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值);第三步:構(gòu)建不等式求解.

(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟①作差或變形.②構(gòu)造新的函數(shù)h(x).③利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值.④根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.特別地:當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時,一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題.利用導(dǎo)數(shù)解決與方程根(或函數(shù)零點)有關(guān)的問題熱點二【例3】(2016·全國Ⅰ卷,文21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;解:(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①設(shè)a≥0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.②設(shè)a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).(ⅰ)若a=-e

,則f′(x)=(x-1)(ex-e),2所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.(ⅱ)若a>-e

,則ln(-2a)<1,2故當(dāng)x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(ln(-2a),1)時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)上單調(diào)遞減.(ⅲ)若a<-e

,則ln(-2a)>1,故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,2ln(-2a))時,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a))上單調(diào)遞減.(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.2

2解:(2)①設(shè)a>0,則由(1)知,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<ln

a

,則2f(b)>

a

(b-2)+a(b-1)2=a(b2-3

b)>0,所以f(x)有兩個零點.②設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個零點.③設(shè)a<0,若a≥-e

,則由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時2f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點;若a<-e

,則由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上2單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點.綜上,a的取值范圍為(0,+∞).突破痛點本例中當(dāng)a=0時,若方程f(x)=m有兩個根,試確定m的取值范圍.答案:(-e,0)【方法詮釋】解決有關(guān)函數(shù)的零點、方程的根的個數(shù)問題,一般根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,確定其極值點,利用數(shù)形結(jié)合進行求解.【方法技巧】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的思路①轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y=k)的交點問題.②利用導(dǎo)數(shù)研究出該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì),進而畫出其圖象.③結(jié)合圖象求解.

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)的方法將問題轉(zhuǎn)化為可用導(dǎo)數(shù)研究的某函數(shù)的零點問題或用導(dǎo)數(shù)能研究其圖象的兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題求解.(3)證明復(fù)雜方程在某區(qū)間上有且僅有一解的步驟第一步:利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào).第二步:證明端點值異號.熱點訓(xùn)練:(2016·廣西桂林市、北海市、崇左市聯(lián)合調(diào)研)已知函數(shù)

f(x)=xeax+ln

x-e(a∈R).

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;解:(1)y=f(x)的定義域為(0,+∞),因為a=1,所以f(x)=xex+ln

x-e,f(1)=0.所以f′(x)=(x+1)ex+1.所以f′(1)=2e+1.x所以函數(shù)y=f(x)在點(1,f(1