醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)第一章課件

醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)第一章第一章第一節(jié)函數(shù)7/25/20232設(shè)有兩個變量x和y，一個非空數(shù)集D,如果按照某個對應(yīng)法那么f，對于D中的每個數(shù)x，都有唯一確定的實數(shù)y與之對應(yīng)，那么稱y是定義在D上的x的函數(shù)，記作其中x叫做自變量，y叫做因變量；定義域:D定義域一、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義

值域:自變量因變量7/25/20233函數(shù)的表示方法:解析法、圖象法、列表法如,絕對值函數(shù)定義域值域7/25/202342.函數(shù)的根本性質(zhì)設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱為有界函數(shù).在I上有界.稱為有上界稱為有下界假設(shè)不存在這樣的正整數(shù)M,那么稱f(x)無界.f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.7/25/20235(2)單調(diào)性時,稱為I上的稱為I上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).當(dāng)7/25/20236(3)奇偶性且有假設(shè)那么稱f(x)為偶函數(shù);假設(shè)那么稱f(x)為奇函數(shù).說明:假設(shè)在x=0有定義,為奇函數(shù)時,那么當(dāng)必有例如,偶函數(shù)7/25/20237又如,奇函數(shù)再如,奇函數(shù)7/25/20238(4)周期性且那么稱為周期函數(shù),假設(shè)稱l為周期(一般指最小正周期).周期為周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)7/25/202393.三種特殊的函數(shù)(1)分段函數(shù)注意：分段點7/25/202310(2)反函數(shù)習(xí)慣上,的反函數(shù)記成其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.7/25/202311如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)定義域值域補7/25/202312(3)復(fù)合函數(shù)那么設(shè)有函數(shù)稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合7/25/202313兩個以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):7/25/202314另外，一個復(fù)合函數(shù)，將其“分解〞例如，可以看成是由復(fù)合而成.7/25/2023154.初等函數(shù)六大根本初等函數(shù)(P-6)常量函數(shù)：2.冪函數(shù)：3.指數(shù)函數(shù)：4.對數(shù)函數(shù)：5.三角函數(shù)：6.反三角函數(shù)：為常數(shù)7/25/202316初等函數(shù)由六大根本初等函數(shù)否那么稱為非初等函數(shù).例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四那么運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故不為初等函數(shù).取整函數(shù)當(dāng)7/25/202317第一章第二節(jié)函數(shù)的極限7/25/202318數(shù)列通項an當(dāng)n無限增大時,無限逼近一個有限數(shù)

√×√×一、數(shù)列的極限7/25/202319定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(一般項).假設(shè)數(shù)列及常數(shù)a有以下關(guān)系:當(dāng)n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂,否那么稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或那么稱該數(shù)列的極限為a,7/25/202320例1.證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取那么當(dāng)時,就有故7/25/202321收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時,假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.那么當(dāng)n>N時,故假設(shè)不真!滿足的不等式7/25/202322例2.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,那么有唯一極限a存在.取那么存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N時,有因此該數(shù)列發(fā)散.7/25/2023232.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取那么當(dāng)時,從而有取那么有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列7/25/202324二、函數(shù)的極限定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,假設(shè)那么稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A為曲線的水平漸近線A為函數(shù)1.時函數(shù)的極限7/25/202325例3.

證明證:取因此注:就有故欲使即7/25/202326直線y=A仍是曲線y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時,有當(dāng)時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，7/25/202327定義3.設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,有那么稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時的極限,或即當(dāng)時,有假設(shè)記作幾何解釋:2.時函數(shù)極限的定義7/25/202328例4.證明證:故對任意的當(dāng)時,因此總有7/25/202329例5.證明證:欲使取那么當(dāng)時,必有因此只要7/25/2023303.左極限與右極限左極限:當(dāng)時,有右極限:當(dāng)時,有定理7/25/202331例6.

設(shè)函數(shù)討論時的極限是否存在.解:利用定理3.因為顯然所以不存在.7/25/2023324.函數(shù)極限的性質(zhì)極限值唯一局部有界保號性定理.假設(shè)且A>0,那么存在(A<0)假設(shè)在的某去心鄰域內(nèi)且那么7/25/202333三、無窮小量與無窮大量當(dāng)1、無窮小量定義5.假設(shè)時,函數(shù)那么稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時為無窮小;函數(shù)時為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時的無窮小.時為無窮小.7/25/202334說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小!因為當(dāng)時,顯然C只能是0!CC時,函數(shù)(或)那么稱函數(shù)為定義1.假設(shè)(或)那么時的無窮小.7/25/202335其中為時的無窮小量.定理6.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時,有對自變量的其它變化過程類似可證.7/25/2023362、無窮大量定義6.假設(shè)任給M>0,一切滿足不等式的

x,總有那么稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,

使對假設(shè)在定義中將①式改為①那么記作(正數(shù)X),記作總存在7/25/202337注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,函數(shù)當(dāng)?shù)詴r,不是無窮大!7/25/202338例7.證明證:任給正數(shù)M,要使即只要取那么對滿足的一切x,有所以假設(shè)那么直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:7/25/2023393、無窮小與無窮大的關(guān)系假設(shè)為無窮大,為無窮小;假設(shè)為無窮小,且那么為無窮大.那么據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.在自變量的同一變化過程中,說明:7/25/202340例8.求解:

利用性質(zhì)2可知4、無窮小量性質(zhì)1.有限個無窮小的和、差、積，以及常數(shù)與無窮小的乘積，還是無窮小.2.有界變量與無窮小的乘積，還是無窮小.7/25/2023411、極限的四那么運算法那么那么有定理7.假設(shè)四、函數(shù)極限的運算7/25/202342假設(shè)且B≠0,那么有為無窮小(詳見P44)證:因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,7/25/202343推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))例2.設(shè)

n次多項式那么7/25/202344

x=3時分母為0!例9.例10.求解:7/25/202345例11.求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因7/25/202346例12.求解:時,分子分子分母同除以那么分母原式7/25/202347一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P-14例11)(如P-14例12)(如P-14例13)7/25/202348定理.設(shè)且x滿足時,又那么有說明:假設(shè)定理中那么類似可得2、復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么7/25/202349都是無窮小,引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.3、無窮小量的比較7/25/202350定義.假設(shè)那么稱是比高階的無窮小,假設(shè)假設(shè)假設(shè)假設(shè)或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作那么稱是比低階的無窮小;那么稱是的同階無窮小;那么稱是關(guān)于的k階無窮小;那么稱是的等價無窮小,記作7/25/202351例如,當(dāng)～時～～又如

，故時是關(guān)于x的二階無窮小,～且～7/25/202352定理8.設(shè)且存在,那么證:例如,7/25/202353設(shè)對同一變化過程,,為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)那么:由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)那么.假設(shè)=o(),(2)和差代替規(guī)那么:例如,例如,7/25/202354(3)因式代替規(guī)那么:界,那么例如,例13.求解:原式7/25/202355～～～～常用等價無窮小:～～7/25/202356例14.求解:7/25/202357小結(jié)1.極限運算法那么(1)無窮小〔大〕性質(zhì)(2)極限四那么運算法那么(3)復(fù)合函數(shù)極限運算法那么注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去公因子時,分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法(3)等價無窮小替換定理7/25/202358二、兩個重要極限一、極限存在定理第三節(jié)極限存在定理及兩個重要極限第一章7/25/202359一、極限存在定理1.夾逼定理定理1.且7/25/2023602.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(證明略)7/25/202361圓扇形AOB的面積二、兩個重要極限證:當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注7/25/202362當(dāng)時注7/25/202363例2.求解:例3.求解:令那么因此原式7/25/202364例4.求解:原式=例5.圓內(nèi)接正n邊形面積為證明:證:說明:計算中注意利用7/25/2023652.說明:此極限也可寫為7/25/202366例6.求解:令那么說明：假設(shè)利用那么原式7/25/202367例7.求解:原式=7/25/202368小結(jié)1.極限存在性定理2.兩個重要極限或注:代表相同的表達(dá)式7/25/202369思考與練習(xí)7/25/202370二、函數(shù)的連續(xù)點一、函數(shù)連續(xù)性的定義第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第一章7/25/202371可見,函數(shù)在點一、函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,那么稱函數(shù)(1)在點即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備以下條件:存在;且有定義,存在;7/25/202372continue假設(shè)在某區(qū)間上每一點都連續(xù),那么稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有7/25/202373對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時,有函數(shù)在點連續(xù)有以下等價命題:7/25/202374例.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).7/25/202375在在二、函數(shù)的連續(xù)點(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,那么以下情形這樣的點之一函數(shù)f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為連續(xù)點.在無定義;7/25/202376連續(xù)點分類:第一類連續(xù)點:及均存在,假設(shè)稱假設(shè)稱第二類連續(xù)點:及中至少一個不存在,稱假設(shè)其中有一個為振蕩,稱假設(shè)其中有一個為為可去連續(xù)點.為跳躍連續(xù)點.為無窮連續(xù)點.為振蕩連續(xù)點.7/25/202377為其無窮連續(xù)點.為其振蕩連續(xù)點.為可去連續(xù)點.例如:7/25/202378顯然為其可去連續(xù)點.(4)(5)為其跳躍連續(xù)點.7/25/202379內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類連續(xù)點可去連續(xù)點跳躍連續(xù)點左右極限都存在第二類連續(xù)點無窮連續(xù)點振蕩連續(xù)點左右極限至少有一個不存在在點連續(xù)的類型在點連續(xù)的等價形式7/25/202380思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮連續(xù)點.連續(xù)點的類型.2.設(shè)時提示:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去連續(xù)點,7/25/202381備用題確定函數(shù)連續(xù)點的類型.解:連續(xù)點為無窮連續(xù)點;故為跳躍連續(xù)點.7/25/202382定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四那么運算法那么證明)商(分母不為0)運算,結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證明略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)7/25/202383定理3.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.證:設(shè)函數(shù)于是故復(fù)合函數(shù)又如,

且即7/25/202384例如,是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,7/25/202385根本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四那么運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域為因此它無連續(xù)點而7/25/202386例2.求解:原式例3.求解:令那么原式說明:當(dāng)時,有7/25/202387例4.求解:原式說明:假設(shè)那么有7/25/202388例5.設(shè)解:討論復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.故此時連續(xù);而故x=1為第一類連續(xù)點.在點x=1

不連續(xù),7/25/202389注意:假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.〔最值定理〕定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)那么使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有連續(xù)在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點,四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7/25/202390例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

7/25/202391推論.由定理1可知有證:設(shè)上有界.定理2.

(零點定理)至少有一點且使(證明略)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.7/25/202392定理3.(介值定理)設(shè)且那么對A與B之間的任一數(shù)C,一點證:作輔助函數(shù)那么且故由零點定理知,至少有一點使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.7/25/202393例1.證明方程一個根.證:顯然又故據(jù)零點定理,至少存在一點使即在區(qū)間內(nèi)至少有7/25/202394上連續(xù),且恒為正,例2.設(shè)在對任意的必存在一點證:使令,那么使故由零點定理知,存在即當(dāng)時,取或,那么有證明:7/25/202395備用題至少有一個不超過4的證：證明令且根據(jù)零點定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點在開區(qū)間顯然正根.7/25/202396二、連續(xù)與連續(xù)一、函數(shù)三、極限習(xí)題課函數(shù)與極限第一章7/25/202397一、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義:定義域值域圖形:(一般為曲線)設(shè)函數(shù)為特殊的映射:其中7/25/2023982.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性3.反函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射,反函數(shù)為其逆映射4.復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈那么復(fù)合函數(shù)為5.初等函數(shù)有限個常數(shù)及根本初等函數(shù)經(jīng)有限次四那么運算與復(fù)復(fù)合而成的一個表達(dá)式的函數(shù).7/25/202399例1.設(shè)函數(shù)求解:7/25/2023100解:利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性.代入原方程得代入上式得設(shè)其中求令即即令即畫線三式聯(lián)立即例2.7/25/2023101思考與練習(xí)1.以下各組函數(shù)是否一樣?為什么?一樣一樣一樣7/25/20231022.以下各種關(guān)系式表示的y是否為x的函數(shù)?為什么?不是是不是提示:(2)7/25/2023103⑶⑵3.以下函數(shù)是否為初等函數(shù)?為什么?⑷以上各函數(shù)都是初等函數(shù).7/25/20231044.設(shè)求及其定義域.5.,求6.設(shè)求由得4.解:7/25/20231055.,求解:6.設(shè)求解:7/25/2023106二、連續(xù)與連續(xù)1.函數(shù)連續(xù)的等價形式有2.函數(shù)連續(xù)點第一類連續(xù)點第二類連續(xù)點可去連續(xù)點跳躍連續(xù)點無窮連續(xù)點振蕩連續(xù)點7/25/2023107有界定理;最值定理;零點定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),那么a=,b=.提示:7/25/2023108有無窮連續(xù)點及可去連續(xù)點解:為無窮連續(xù)點,所以為可去連續(xù)點,極限存在例4.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.7/25/2023109例5.設(shè)f(x)定義在區(qū)間上,,假設(shè)f(x)在連續(xù),提示:閱讀與練習(xí)且對任意實數(shù)證明f(x)

對一切

x

都連續(xù).P64題2(2),4;P73題57/25/2023110證:P73題5.證明:假設(shè)令那么給定當(dāng)時,有又根據(jù)有界性定理,,使取那么在內(nèi)連續(xù),存在,那么必在內(nèi)有界.7/25/2023111三、極限1.極限定義的等價形式(以為例)(即為無窮小)有2.極限存在準(zhǔn)那么及極限運算法那么7/25/20231123.無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:

4.兩個重要極限6.判斷極限不存在的方法～～～～～～～～～5.求極限的根本方法7/25/2023113例6.求以下極限：提示:無窮小有界7/25/2023114令7/25/2023115～那么有復(fù)習(xí):若7/25/2023116例7.確定常數(shù)a,b,使解:原式故于是而7/25/2023117例8.當(dāng)時,是的幾階無窮小?解:設(shè)其為的階無窮小,那么因故7/25/2023118閱讀與練習(xí)1.求的連續(xù)點,并判別其類型.解:x=–1為第一類可去連續(xù)點x=1為第二類無窮連續(xù)點x=0為第一類跳躍連續(xù)點7/25/20231192.求解:原式=1(2000考研)7/25/2023120作業(yè)P743(1),(4);4;7;8(2),(3),(6);9;10;11;123.求解:

令那么利用夾逼準(zhǔn)那么可知7/25/2023121內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)7/25/2023122有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P11題2;4;5(3),(5)(畫圖);8P72題3;4思考與練習(xí)7/25/2023123解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.