從圓周角定理的證明體會(huì)化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

精品文檔-下載后可編輯從圓周角定理的證明體會(huì)化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透初中數(shù)學(xué)人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書九年級(jí)上冊有關(guān)于圓周角定理證明的內(nèi)容，它是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內(nèi)部和外部的一般情況都是轉(zhuǎn)化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

已知：在O中，弧BC所對的圓周角是∠BAC，圓心角是∠BOC（如圖一），求證：∠BAC=∠BOC。

分析：圓周角∠BAC與圓心O的位置關(guān)系有三種：（1）圓心O在∠BAC的一條邊AB（或AC）上（如圖二）；（2）圓心O在∠BAC的內(nèi)部（如圖三）；（3）圓心O在∠BAC的外部（如圖四）。

在第一種位置關(guān)系中，圓心角∠BOC恰為AOC的外角，這時(shí)很容易得到結(jié)論；在第二、三兩種位置關(guān)系中，均可作出過點(diǎn)A的直徑，將問題轉(zhuǎn)化為第一種情況，同樣可以證得結(jié)論。這充分體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想——化歸思想。

數(shù)學(xué)問題的解決幾乎都離不開化歸，只是體現(xiàn)的形式有所不同。計(jì)算題是利用規(guī)定的運(yùn)算法則進(jìn)行化歸，證明題是利用公理、定理或已經(jīng)證明了的命題進(jìn)行化歸，應(yīng)用題利用數(shù)學(xué)模型化歸，因此，離開了化歸，數(shù)學(xué)問題將無法解決。通過一定的轉(zhuǎn)化過程，把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題或這類問題的某種組合，這種思想被稱之為化歸思想。從化歸的途徑上來看，大致可以分為下面兩種：

一、新知識(shí)向已有知識(shí)的轉(zhuǎn)化

在初中階段，有許多新知識(shí)的獲得或新問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)或已解決的問題來完成的，也就是將新知識(shí)向已有知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。下面就以解方程為例來進(jìn)行分析。

解一元二次方程時(shí)有以下四種基本解法：

（一）如果方程的一邊是關(guān)于X的完全平方式，另一邊是個(gè)非負(fù)數(shù)，則根據(jù)平方根的意義將形如（x+m）2=n（n≥0）的方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程而得解，此為直接開平方法。

（二）如果將方程通過配方恒等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負(fù)數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。

（三）如果方程一邊能分解成兩個(gè)一次因式之積，另一邊為零，就可以得到兩個(gè)因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。

（四）如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解。

縱觀以上四種方法，不難發(fā)現(xiàn)，方法一是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，完成了由“二次”向“一次”的轉(zhuǎn)化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉(zhuǎn)移到“可開方”上來，并未完成“降次轉(zhuǎn)化”這一實(shí)質(zhì)性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉(zhuǎn)化創(chuàng)造了條件，因而習(xí)慣上稱之為“配方法”，配方法的實(shí)質(zhì)就是通過轉(zhuǎn)化為開平方來解決的。方法三即因式分解法也順利地實(shí)現(xiàn)了由“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程，通過配方，轉(zhuǎn)化為開平方求得一般結(jié)論，即求根公式。公式法實(shí)際上已將解方程轉(zhuǎn)化成為代數(shù)式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)?？v觀整個(gè)初中教材，不難發(fā)現(xiàn)除了解方程問題，還有許多知識(shí)的轉(zhuǎn)化都屬于新知識(shí)向已有知識(shí)的轉(zhuǎn)化。

二、一般情況向特殊情況的轉(zhuǎn)化

本文開頭圓周角定理的證明就是先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當(dāng)?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊情況下的問題來解決，這也是順利解決某些問題的一種重要的化歸途徑，特別是在中考題的最后一題中，往往也有許多時(shí)候是需要先解決特殊條件下的問題，然后再通過化歸把一般情況下的問題轉(zhuǎn)化為特殊條件下的情形來解決。

三、化歸思想方法的教學(xué)策略

從上面的分析中，我們不難發(fā)現(xiàn)化歸思想在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。那么如何在日常教學(xué)中更好的滲透和落實(shí)化歸思想呢？

（一）夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)是落實(shí)化歸思想方法教學(xué)的基礎(chǔ)。教學(xué)過程中，可從以下幾個(gè)方面做起：

1、重視概念、公式、法則等基本數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，為尋求化歸目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。從某種意義上說，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化和程序化，運(yùn)用模型的過程即是轉(zhuǎn)化與化歸的過程。

2、養(yǎng)成整理、總結(jié)數(shù)學(xué)方法的習(xí)慣，為尋求化歸方法奠定基礎(chǔ)。差生之所以拿到基本題沒有思路，其根本原因是其知識(shí)結(jié)構(gòu)殘缺不全。

3、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，為尋求化歸方向奠定基礎(chǔ)。在平時(shí)教學(xué)中幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，例如做好單元小結(jié)，其中畫知識(shí)結(jié)構(gòu)圖或列知識(shí)表是完善知識(shí)結(jié)構(gòu)使知識(shí)系統(tǒng)化、板塊化的有效方法之一。通過表格或網(wǎng)絡(luò)圖，知識(shí)之間的相互聯(lián)系、依存關(guān)系一目了然，為問題的轉(zhuǎn)化提供了準(zhǔn)確的方向。

（二）培養(yǎng)化歸意識(shí)，提高轉(zhuǎn)化能力是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構(gòu)成了縱橫交錯(cuò)的立體空間，我們在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，常需要利用這些聯(lián)系對問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，使之達(dá)到簡單化、熟悉化的目的。要實(shí)施轉(zhuǎn)化，首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習(xí)。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，我們不斷教會(huì)學(xué)生解題，通過仔細(xì)的觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標(biāo)的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到與其有關(guān)的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學(xué)解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關(guān)問題解法，由此不斷轉(zhuǎn)化，建立條件和結(jié)論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。

（三）掌握化歸的一般方法，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化歸思想方法教學(xué)的基本手段

化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問題，因此，可以從變形的成分這個(gè)方面去考慮，也可以從實(shí)現(xiàn)化歸的常用方法直接去考慮。在實(shí)際運(yùn)用中，這兩個(gè)方面又是互相滲透、互相補(bǔ)充的。初中階段常用的化歸方法有恒等變換法，具體包括分解法、配方法、待定系數(shù)法等：其次是映射反演法，具體包括換元法、坐標(biāo)法等。

（四）深入教材，反復(fù)提煉與總結(jié)是實(shí)現(xiàn)化歸思想方法教學(xué)的基本途徑

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想方法，注意不斷總結(jié)化歸法解題的一般原理、提煉蘊(yùn)含其中的思想方法，把化歸思想方法的教學(xué)融于各個(gè)環(huán)節(jié)之中，讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想方法的存在形式及