線性代數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置對稱矩陣

線性代數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置對稱矩陣第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例由定義可知,如果記則.第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月注:由于維列向量可看作矩陣,所以可以記維列向量為:矩陣的轉(zhuǎn)置性質(zhì):證明:僅證性質(zhì)(4),其余留給同學們自證..第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月設矩陣,且這就證明了注:性質(zhì)(4)可推廣多個矩陣相乘的情形,即于是所以.第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例已知解法1解法2.第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì).第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱陣與伴隨矩陣定義設為階方陣，如果滿足，即則稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.說明.第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣..第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例1設是一個矩陣,則和都是對稱矩陣.證明是n階矩陣,且有所以是n階對稱矩陣.同理是m階對稱矩陣.例2設A是階n反對稱矩陣,B是n階對稱矩陣,則AB+BA是n階反對稱矩陣.證明.第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月注意兩個對稱矩陣的乘積不一定是對稱矩陣例且若A與B均為對稱矩陣,則AB對稱的充要條件是

AB=BA.第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月P56例4同理可證兩個下三角形矩陣的乘積仍為下三角形矩陣兩個上三角形矩陣的乘積仍為上三角形矩陣故C上三角形矩陣.由于A是上三角形矩陣,設當時,所以,因此,第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明所以C為對稱矩陣.所以B為反對稱矩陣.命題得證.第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月4、共軛矩陣定義當為復矩陣時，用表示的共軛復數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

故同理可得第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月運算性質(zhì)（設為復矩陣，為復數(shù),且運算都是可行的）:第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設列矩陣滿足證明第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解例4第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月由此歸納出第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月所以對于任意的都有第21頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月用數(shù)學歸納法證明當