線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月目錄(1/1)目錄概述4.1線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性4.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性4.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性4.4對偶性原理4.5線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消4.6能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形4.7實(shí)現(xiàn)問題4.8Matlab問題本章小結(jié)第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(1/2)4.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性問題。關(guān)鍵問題:1.基本概念:狀態(tài)能觀性2.基本方法:狀態(tài)能觀性的判別方法3.狀態(tài)能觀性的物理意義和在狀態(tài)空間中的幾何意義重點(diǎn)喔!要理解喔!第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(2/2)本節(jié)首先從物理直觀性來討論狀態(tài)能觀性的基本含義,然后再引出狀態(tài)能觀性的定義。下面將看到,這種從直觀到抽象的討論,對于理解能觀性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。本節(jié)講授順序?yàn)?能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性的定義線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù)第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(1/14)4.2.1能觀性的直觀討論狀態(tài)能觀性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測量的輸出y(t)和輸入u(t)來確定或識別系統(tǒng)狀態(tài)的能力。如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運(yùn)動狀態(tài)變化都可由系統(tǒng)的外部輸出和輸入唯一地確定,那么稱系統(tǒng)是能觀的,或者更確切地說,是狀態(tài)能觀的。否則,就稱系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀的。下面通過幾個例子來說明能觀性的意義。第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(2/14)例

考慮右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問題。當(dāng)電阻R1=R2,電感L1=L2,輸入電壓u(t)=0,以及兩個狀態(tài)變量的初始狀態(tài)x1(t0)=x2(t0)且為任意值時,必定有i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由恒為零的輸出y(t)顯然不能確定通過兩個電感的電流值i1(t)和i2(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值。該電網(wǎng)絡(luò)模型中,u(t)為輸入電壓,y(t)=i3(t)為輸出變量,通過兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。圖4-4電網(wǎng)絡(luò)第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(3/14)但當(dāng)電阻R1R2或電感L1L2時,則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變量值的特性稱為狀態(tài)能觀,若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱為狀態(tài)不能觀。第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(4/14)從狀態(tài)空間模型上看，當(dāng)選擇兩電感的電流i1(t)和i2(t)分別為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)時，狀態(tài)空間模型為第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(5/14)當(dāng)電路中電阻值R1=R2=R,電感值L1=L2=L時,若輸入電壓u(t)突然短路,即u(t)=0,則狀態(tài)方程為顯然,當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為x1(t0)=x2(t0)且為任意值時,上述狀態(tài)方程的解必有x1(t)=x2(t),故有y(t)=i3(t)=0,即輸出變量y(t)恒為零。因此,由觀測到的恒為零的輸出變量y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值,即由輸出i3(t)不能確定通過兩個電感的電流值i1(t)和i2(t)。第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(6/14)但當(dāng)電路中電阻值R1≠R2或電感值L1≠L2時,則上述由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。這種由可測量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱為狀態(tài)能觀,若不能惟一確定則稱為狀態(tài)不能觀。第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(7/14)補(bǔ)充例1

右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中,電源電壓u(t)為輸入,電壓y(t)為輸出,并分別取電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。因此,由輸出變量y(t)顯然不能確定電壓值uC(t),即由輸出y(t)不能確定狀態(tài)變量x1(t)的值。故,該電網(wǎng)絡(luò)在開關(guān)K斷開后,是狀態(tài)不能觀的。當(dāng)開關(guān)K在t0時刻斷開后,顯然電容C和電阻R1構(gòu)成一階衰減電路,電容電壓uC(t)的變化只與初始狀態(tài)uC(t0)有關(guān),與衰減電路外其他信號無關(guān)。第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(8/14)例

考慮間歇化學(xué)反應(yīng)器的由輸出變量的值確定狀態(tài)變量的值的能力問題。設(shè)間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)進(jìn)行如下常見的化學(xué)反應(yīng)式中，k1和k2為反應(yīng)速率常數(shù)。上述化學(xué)反應(yīng)式可代表一大類化工操作,通常希望中間產(chǎn)物B的產(chǎn)量盡可能大,副產(chǎn)品C盡可能小,因而要求防止后面的反應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下去。第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(9/14)設(shè)上述化學(xué)反應(yīng)式中的第1步反應(yīng)是二級反應(yīng),第2步反應(yīng)是一級反應(yīng)。這樣,可得如下間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)的物料平衡方程(狀態(tài)方程)和輸出方程式中，C1(t)、C2(t)和C3(t)分別是A、B和C的濃度。第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(10/14)由上述物料平衡的動態(tài)方程可知,副產(chǎn)品C的濃度C3(t)的值不僅決定于產(chǎn)品B的濃度C2(t),而且還決定于C3(t)在初始時刻t0的值C3(t0)。因此,若在生產(chǎn)過程中,能直接檢測到的輸出量為產(chǎn)品B的濃度C2(t),則副產(chǎn)品C的濃度C3(t)的值是不可知的,即為不能觀的。若選擇C1(t),C2(t)和C3(t)為狀態(tài)變量,則上述化學(xué)反應(yīng)過程為狀態(tài)不完全能觀的。上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說明了能控性的基本含義,能控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個例子說明。第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(11/14)補(bǔ)充例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為本例中,輸出變量y(t)即為狀態(tài)變量x1(t)。因此,由y(t)的測量值可直接得到x1(t)的值,即狀態(tài)變量x1(t)可由輸出唯一確定。1/s-2-21/s第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(12/14)而由狀態(tài)變量x2(t)所滿足的狀態(tài)方程及其運(yùn)動狀態(tài)的解可知,x2(t)的運(yùn)動軌跡由x2(t)的初始狀態(tài)x2(t0),x1(t)和輸入u(t)三者共同決定。因此,由測量到的輸出y(t)和輸入u(t)并不能唯一確定出狀態(tài)變量x2(t)的值,即狀態(tài)x2(t)是狀態(tài)不能觀的。因此,整個系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(13/14)補(bǔ)充例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為由狀態(tài)方程可知:狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)可分別由初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)唯一決定,并可表示為xi(t)=e-txi(0)i=1,2第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月能觀性的直觀討論(14/14)因此,輸出變量y(t)可表示為y(t)=e-t[x1(0)+x2(0)]由y(t)的解可知,由y(t)并不能唯一地分別確定初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0),進(jìn)而唯一地確定狀態(tài)變量x1(t)和x2(t),即x1(t)和x2(t)是狀態(tài)不能觀的,整個系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。前面4個例子,可通過直觀分析來討論系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,但對維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),直觀判斷能觀性是困難的。下面將通過給出狀態(tài)能觀性的嚴(yán)格定義,來導(dǎo)出判定狀態(tài)能觀性的充要條件。第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(1/6)4.2.2狀態(tài)能觀性的定義對線性系統(tǒng)而言,狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)的輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與系統(tǒng)的輸入u(t)和輸入矩陣B無關(guān),即討論狀態(tài)能觀性時,只需考慮系統(tǒng)的自由運(yùn)動即可。上述結(jié)論可證明如下:對線性定常系統(tǒng)(A,B,C),其狀態(tài)和輸出的解分別為簡單否?第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(2/6)因?yàn)榫仃嘇,B,C和輸入u(t)均已知,故上式的右邊第二項(xiàng)可以計(jì)算出來,也是已知項(xiàng)。故可以定義如下輔助輸出:研究狀態(tài)能觀性問題,即為上式對任意的初始狀態(tài)x(t0)能否由輔助輸出y-(t)來唯一確定的問題。所以線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性僅與輸出y(t),以及系統(tǒng)矩陣A和輸出矩陣C有關(guān),與輸入矩陣B和輸入u(t)無關(guān)。也就是說,分析線性系統(tǒng)的能觀性時,只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。因此,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義。對線性連續(xù)系統(tǒng),我們有如下狀態(tài)能觀性定義。第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(3/6)—能觀性定義定義4-3

若線性連續(xù)系統(tǒng)對初始時刻t0(t0T,T為時間定義域)和初始狀態(tài)x(t0),存在另一有限時刻t1(t1>t0,t1T),根據(jù)在有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)量測到的輸出y(t),能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0),則稱在t0時刻的狀態(tài)x(t0)能觀;若對t0時刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,則稱系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)完全能觀;第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(4/6)—能觀性定義若系統(tǒng)在所有時刻狀態(tài)完全能觀,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀,簡稱為系統(tǒng)能觀。即,若邏輯關(guān)系式為真,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。若存在某個狀態(tài)x(t0)不滿足上述條件,稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀?！醯?2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(5/6)對上述狀態(tài)能觀性的定義有如下注記。1.對于線性定常系統(tǒng),由于系統(tǒng)矩陣A(t)和輸出矩陣C(t)都為常數(shù)矩陣,與時間無關(guān),因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時刻狀態(tài)完全能觀”,而為“某一時刻狀態(tài)完全能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀”。即,若邏輯關(guān)系式為真,則稱線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全能觀。第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)能觀性的定義(6/6)2.上述定義中的輸出觀測時間為[t0,t1],并要求t0>t0。這是因?yàn)?輸出變量y(t)的維數(shù)m一般總是小于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù)n。否則,若m=n且輸出矩陣C(t)可逆,則x(t)=C-1(t)y(t)即狀態(tài)變量x(t)可直接由輸出y(t)確定。由于m<n,為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值,不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。3.在定義中把能觀性定義為對初始狀態(tài)的確定,這是因?yàn)?一旦確定初始狀態(tài),便可根據(jù)狀態(tài)方程的解表達(dá)式,由初始狀態(tài)和輸入,計(jì)算出系統(tǒng)各時刻的狀態(tài)值。第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù)(1/1)4.2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù)有許多不同形式,下面分別討論代數(shù)判據(jù)和模態(tài)判據(jù)。第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(1/13)1.代數(shù)判據(jù)定理4-7(線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù))

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立:1.矩陣函數(shù)CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立,即不存在非零常數(shù)向量fRn,使得CeAtf02.如下定義的能觀性矩陣滿秩,即比較一下能控性矩陣第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(2/13)--代數(shù)判據(jù)定理證明rankQo=n□證明

對于線性定常系統(tǒng),由能觀性定義可知,其狀態(tài)能觀性與初始時刻無關(guān)。因此,不失一般性,可設(shè)初始時刻t0為0。根據(jù)第3章中輸出方程解的表達(dá)式,有y(t)=CeAtx(0)由能觀性的定義可知,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全能觀,等價于上述方程是否有x(0)的唯一解問題。下面將利用上述方程分別證明判別狀態(tài)能觀性的上述兩個充要條件。第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(3/13)(1)證明條件1。先證充分性(條件結(jié)論)。即證明,若CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立,則系統(tǒng)狀態(tài)能觀。用反證法證明:設(shè)狀態(tài)不能觀,但CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立。充分性反證法證明的思路狀態(tài)不能觀存在兩個不同的初始狀態(tài)x1(0)和x2(0)所對應(yīng)的輸出完全一致由輸出的解的表達(dá)可得:CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)與假設(shè)矛盾,充分性得證證明過程:第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(4/13)狀態(tài)不能觀,則意味著存在某一初始狀態(tài)x(0),由有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)觀測到的輸出y(t),由方程y(t)=CeAtx(0)得不到x(0)的唯一解。設(shè)x1(0)和x2(0)分別是由方程y(t)=CeAtx(0)確定出的兩個不同初始狀態(tài),即x1(0)和x2(0)分別滿足y(t)=CeAtx1(0)t0y(t)=CeAtx2(0)t0將上述兩式相減,可得0=CeAt[x1(0)-x2(0)]t0而x1(0)-x2(0)為非零向量,因此上式恒成立的條件為CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)。這與前面的推論產(chǎn)生矛盾,故原假定系統(tǒng)狀態(tài)不能觀,但CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立是不成立的。第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(5/13)因此,充分性得證。再證必要性(結(jié)論條件)。即證明,若系統(tǒng)狀態(tài)能觀,則CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立。用反證法證明。設(shè)CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能觀。必要性的反證法證明思路:CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)存在某非零初始狀態(tài)f與零初始狀態(tài)的輸出均為0由0輸出不能確定初始狀態(tài)是為零或者為f狀態(tài)不完全能觀與假設(shè)矛盾,必要性得證第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(6/13)證明過程:CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),即存在非零向量fRn,使得CeAtf0因此,若x(0)=f,則有y(t)=CeAtx(0)=0t0而當(dāng)x(0)=0時,系統(tǒng)輸出亦恒為零。因此,當(dāng)系統(tǒng)輸出恒為零時,由方程y(t)=CeAtx(0)不能確定出初始狀態(tài)x(0)=f或0,即有部分狀態(tài)不能觀。這與前面的假設(shè)矛盾,故原假定CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),但狀態(tài)能觀是不成立的。因此,必要性得證。第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(7/13)(2)下面通過證明CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)等價于能觀性矩陣Qo非滿秩來證明定理中的條件(2)。即證明(結(jié)論A)若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣Qo非滿秩,以及(結(jié)論B)若能觀性矩陣Qo非滿秩,則CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)。下面分別加以證明。第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(8/13)先證結(jié)論A。即需證明:若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣Qo非滿秩。若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),則存在非零向量f使得CeAtf0由于CeAt連續(xù)并有無窮階導(dǎo)數(shù),因此,若上式對任意時間t恒成立,則對該方程的兩邊求任意階導(dǎo)數(shù)方程依然成立,即CAeAtf0CA2eAtf0……CAn-1eAtf0第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(9/13)令上述兩式的t=0,則有因此,若CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān),則能觀性矩陣Qo非滿秩,即結(jié)論A成立。第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(10/13)再證結(jié)論B。即需證明:若則能觀性矩陣Qo非滿秩,CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)。若能觀性矩陣Qo非滿秩,即式(4-26)式成立,則存在非零向量f使得成立。由凱萊-哈密頓定理,有第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(11/13)因此有即,若能觀性矩陣Qo非滿秩,則CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)。因此結(jié)論B得證。綜合上述過程,則證明了CeAt的各列函數(shù)線性相關(guān)等價于能觀性矩陣Qo非滿秩。故由定理的條件(1)可知,能觀性矩陣Qo滿秩亦為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀的充要條件。第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(12/13)定理4-7給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性充要的兩個判據(jù),可直接用于能觀性判定。由于檢驗(yàn)CeAt的各列是否函數(shù)線性獨(dú)立相對困難一些,因此實(shí)際應(yīng)用中通常用定理4-7的條件(2)。條件(2)我們亦稱為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)。第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)判據(jù)(13/13)—例7例4-7

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性解

由狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)有而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)n=2,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(1/12)2.模態(tài)判據(jù)在給出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)之前,先討論狀態(tài)能觀性的如下性質(zhì):線性定常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能觀性保持不變。下面對該結(jié)論作簡單證明。設(shè)線性變換陣為P,則系統(tǒng)(A,C)經(jīng)線性變換后為

,并有第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(2/12)因此系統(tǒng)

的狀態(tài)能觀性等價于(A,C)的狀態(tài)能觀性,即線性變換不改變狀態(tài)能觀性?；谏鲜鼋Y(jié)論,可利用線性變換將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形(對角線規(guī)范形為其特例),通過分析約旦規(guī)范形的能觀性來分析原狀態(tài)空間模型的能觀性。下面討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)約旦規(guī)范形的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)。第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2.模態(tài)判據(jù)(3/12)定理4-8

對為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C),有:1.若A為每個特征值都只有一個約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對應(yīng)A的每個約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零;2.

若A為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則系統(tǒng)能觀的充要條件為對應(yīng)A的每個特征值的所有約旦塊的C的分塊的第一列線性無關(guān)。第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2.模態(tài)判據(jù)(4/12)定理4-8的證明可直接由定理4-7而得。對定理4-8作兩點(diǎn)說明:狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)討論的是約旦規(guī)范形。若系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為約旦規(guī)范形,則可根據(jù)線性變換不改變狀態(tài)能觀性的性質(zhì),先將狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,然后再利用定理4-8來判別狀態(tài)能觀性;定理4-8不僅可判別出狀態(tài)能觀性,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不能觀。這對于進(jìn)行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測器和反饋校正是非常有幫助的。第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2.模態(tài)判據(jù)(5/12)—例8例4-8

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。解

由定理4-8可知,A為特征值互異的對角線矩陣,但C中的第2列全為零,故該系統(tǒng)的狀態(tài)x2不能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。狀態(tài)空間x1-x2不完全能觀狀態(tài)變量x1完全能觀狀態(tài)變量x2完全不能觀第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(6/12)—例15解

由于A為每個特征值都只有一個約旦塊,且對應(yīng)于各約旦塊的C的分塊的第一列都不全為零,故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(7/12)—例15解

由于A中特征值-4的兩個約旦塊所對應(yīng)的C的分塊的第一列線性相關(guān),該系統(tǒng)的狀態(tài)x1,x2和x3不完全能觀,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。狀態(tài)空間x1-x2-x3-x4不完全能觀狀態(tài)變量x1-x2-x4不完全能觀狀態(tài)變量x3完全能觀還能再分解否？第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(8/12)由定理4-8的結(jié)論(2),對單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,有如下推論。推論4-2

若單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)的約旦規(guī)范形的系統(tǒng)矩陣為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣,則該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。定理4-8所給出的狀態(tài)能觀性的模態(tài)判據(jù)在應(yīng)用時需將一般的狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,屬于一種間接方法。下面我們給出另一種形式的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù),稱為PBH秩判據(jù)。該判據(jù)屬于一種直接法。第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(9/12)—推論4-2與定理4-9定理4-9

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A,C)狀態(tài)完全能觀的充要條件為:對于所有的,下式成立:該定理的證明可由定理4-8直接得到。對于所有的,直接檢驗(yàn)定理4-9的條件較困難?？梢宰C明,定理4-9的條件式對于所有的成立等價于其對A的所有特征值成立。因此,應(yīng)用定理4-9時,只需將A的所有特征值代入定理4-9的條件式,檢驗(yàn)其成立與否即可。第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(10/12)—例9例4-9

試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。解由方程|I-A|=0,可解得矩陣A的特征值分別為-1,-2和-3。對特征值1=-1,有列3=列2-列1第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(11/12)—例16由定理4-9知,因?yàn)閷?yīng)于特征值-1,定理4-9的條件不成立,故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。第49頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月模態(tài)判據(jù)(12/12)能觀性判據(jù)小結(jié)判定方法特點(diǎn)判據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)模態(tài)判據(jù)1模態(tài)判據(jù)2矩陣函數(shù)CeAt的各列函數(shù)線性獨(dú)立能觀性矩陣Qo滿秩約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對應(yīng)的C矩陣分塊的第一列線性無關(guān)對于所有特征值

,rank[I-A

C]=n需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān),計(jì)算復(fù)雜計(jì)算簡便可行。缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀。缺點(diǎn)為需變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)形易于分析哪些特征值(極點(diǎn))能觀。缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值清楚了嗎?第50頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(1/11)4.2.4線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性以上討論的狀態(tài)能觀性的判據(jù)是針對線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言的,對時變系統(tǒng)不成立。下面討論線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性的判據(jù)。第51頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(2/11)定理4-10

線性時變連續(xù)系統(tǒng)Σ(A(t),C(t)),即在初始時刻t0上狀態(tài)完全能觀的充分必要條件為:存在t1(t1>t0),使得如下能觀格拉姆矩陣為非奇異的比較一下能控格拉姆矩陣判據(jù)第52頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(3/11)證明1)

證明條件的充分性，即證明若存在t1(t1>t0),使得能觀格拉姆矩陣是非奇異的,即存在,則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的。設(shè)x0為初始時刻t0的任意給定的非零初始狀態(tài),則狀態(tài)空間模型Σ(A(t),C(t))的解為將上述輸出的解表達(dá)式兩邊左乘(t0,t)C(t),并在[t0,t1]區(qū)間內(nèi)積分,得第53頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(4/11)若存在,即有因?yàn)橄到y(tǒng)輸出y(t)可測且A(t)和C(t)已知,故上式右邊是已知的。因此,上式表明,如果存在t1(t1>t0),使得能觀格拉姆矩陣是非奇異的,那么通過在時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)測量到的y(t)可惟一地計(jì)算出系統(tǒng)任意的初始狀態(tài)x0。于是狀態(tài)能觀性得以證明。第54頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性(5/11)2)證明條件的必要性，即證明若系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的,則一定存在t1(t1>t0