數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心-教學(xué)課件

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心—1、合法而穩(wěn)定的權(quán)力在使用得當(dāng)時(shí)很少遇到抵抗?！ぜs翰遜2、權(quán)力會(huì)使人漸漸失去溫厚善良的美德。——伯克3、最大限度地行使權(quán)力總是令人反感；權(quán)力不易確定之處始終存在著危險(xiǎn)?！ぜs翰遜4、權(quán)力會(huì)奴化一切?！髻?、雖然權(quán)力是一頭固執(zhí)的熊，可是金子可以拉著它的鼻子走?！勘葦?shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心—數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心—1、合法而穩(wěn)定的權(quán)力在使用得當(dāng)時(shí)很少遇到抵抗?！ぜs翰遜2、權(quán)力會(huì)使人漸漸失去溫厚善良的美德?！?、最大限度地行使權(quán)力總是令人反感；權(quán)力不易確定之處始終存在著危險(xiǎn)?！ぜs翰遜4、權(quán)力會(huì)奴化一切?！髻?、雖然權(quán)力是一頭固執(zhí)的熊，可是金子可以拉著它的鼻子走?！勘?/p>

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心—

揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張奠宙2007.10.27.上海424第一部分國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育動(dòng)態(tài)434數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)文件發(fā)表：

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2006年9月12日，美國(guó)全國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)發(fā)布〈數(shù)學(xué)課程焦點(diǎn)〉，對(duì)2000年的《數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》做了補(bǔ)充說(shuō)明，力求在保持創(chuàng)造、發(fā)展的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要性。這也是近10年來(lái)美國(guó)“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”的一項(xiàng)重要結(jié)果。464聚焦“基礎(chǔ)”課程焦點(diǎn)是各個(gè)年級(jí)（K-8）的重要數(shù)學(xué)課題。這些教學(xué)領(lǐng)域著重為各個(gè)年級(jí)的課程設(shè)計(jì)和教學(xué)提供組織結(jié)構(gòu)。這些課題處于數(shù)學(xué)的中心地帶：它們所承載的知識(shí)和技能對(duì)受教育的公民是必不可少的，并為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基礎(chǔ)。474強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)：基礎(chǔ)，速度，技能自動(dòng)化回憶基本事實(shí)。在整數(shù)運(yùn)算中，計(jì)算的流暢性（fluency）是關(guān)鍵的。計(jì)算流暢性的重要組成部分是效率和正確性。最終，流暢性需要基本數(shù)字事實(shí)的自動(dòng)化回憶。快速記起(recall)乘法和相應(yīng)的除法的意義，熟練進(jìn)行整數(shù)的乘法和除法。

…………484美國(guó)設(shè)立國(guó)家數(shù)學(xué)咨詢委員會(huì)2006年4月18日，布什總統(tǒng)任命一個(gè)“（NationalMathematicsAdvisoryPanel）”,任務(wù)是幫助總統(tǒng)和部長(zhǎng)在科學(xué)研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建最好的美國(guó)數(shù)學(xué)教育。委員會(huì)的具體目標(biāo)是在2008年2月向總統(tǒng)提出正式的報(bào)告委員會(huì)分成以下5個(gè)工作小組：概念性知識(shí)和技能；學(xué)習(xí)過(guò)程；教學(xué)實(shí)踐；教師；評(píng)價(jià)494委員會(huì)的組成主席佛克納爾（LarryR.Faulkner）是一位化學(xué)博士，在許多大學(xué)化學(xué)系任教授、主任，以及學(xué)院院長(zhǎng)?，F(xiàn)任休斯頓一個(gè)私人設(shè)立的慈善基金會(huì)主席，德州大學(xué)榮休教授。副主席本鮑（C。P。Benbow）是一位教育心理學(xué)家。成員中有心理學(xué)家，數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家，數(shù)學(xué)教師等。包括兩位華裔學(xué)者，一位是前面提到的數(shù)學(xué)家伍鴻熙教授，另一位是馬立平博士。她在華東師范大學(xué)獲得碩士學(xué)位，又在斯坦福大學(xué)獲得博士學(xué)位。一本以博士論文為基礎(chǔ)的著作（KnowingandTeachingElementaryMathematics）指出美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)水平低下，成為美國(guó)教育方面的暢銷書，因而一舉成名。4104公開(kāi)聽(tīng)證，記錄在案委員會(huì)計(jì)劃在2008年2月向總統(tǒng)提交最后報(bào)告之前，在全美各地舉行10次會(huì)議。2006年5月（華盛頓），6月（北卡州），9月（波士頓），11月（洛杉磯），2007年1月（新奧爾良），4月（芝加哥）舉行了6次，6月5-6日在邁阿密。非常詳細(xì)的日程已經(jīng)公布。4114

二《9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》即將公布4124修訂之一

修改了三句話：

人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)人人學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)

不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展4134修訂之二重提教師的主導(dǎo)作用，啟發(fā)式講授，明確提出：

好的教學(xué)活動(dòng)，應(yīng)是學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用的和諧統(tǒng)一。4144修訂之三注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的理解和掌握。將“雙基”發(fā)展為四基：

*基本知識(shí)*基本技能*基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)*基本數(shù)學(xué)思想方法4154修訂之四貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)包括：生活現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)4164修訂之五整理、補(bǔ)調(diào)整許多內(nèi)容；例如“幾何”名稱的恢復(fù)；尺規(guī)作圖的補(bǔ)充；推理論證的規(guī)定4174理性的回歸數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的爭(zhēng)論，可以說(shuō)基本結(jié)束。堅(jiān)持了大方向，處理得更符合實(shí)際，得到各方面的認(rèn)可。正常的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論還會(huì)繼續(xù)，例如“數(shù)感”，不同的人得到不同的發(fā)展等4184

三。謹(jǐn)慎地接受西方的教育理論！

4194建構(gòu)主義的定義

(mathforum）建構(gòu)主義是一種科學(xué)理論，不能庸俗化。臺(tái)灣的失敗。（知識(shí)是個(gè)人學(xué)習(xí)的，大白話。）“什么是建構(gòu)主義？如下的解釋能夠同意嗎?

“學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)概念構(gòu)造自己的理解，使得“教”的作用不再是演講、解釋、或者企圖去“傳送”知識(shí)，而是為促使學(xué)生進(jìn)行心智建構(gòu)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境和條件。這種教學(xué)方法的關(guān)鍵，是將每一個(gè)數(shù)學(xué)概念按皮亞杰的知識(shí)理論分解成許多發(fā)展性的步驟，這些步驟的確定要基于對(duì)學(xué)生的觀察和談話4204建構(gòu)主義的某些主張并不新鮮知識(shí)是學(xué)生自己建構(gòu)的學(xué)生不是一張白紙學(xué)生的頭腦不是一張空桶知識(shí)是不能灌輸?shù)摹＝?gòu)主義教育建議：自主、探究、合作。

我們都同意！以前也是這樣提倡的！4214能動(dòng)的反映論教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體。師傅領(lǐng)進(jìn)門，修行在個(gè)人。啟發(fā)式教學(xué)，師生討論，反對(duì)滿堂灌。誰(shuí)說(shuō)“學(xué)生是一張白紙？”“能動(dòng)的反映論”！知識(shí)是不能傳授的？科學(xué)傳授+主動(dòng)接受是好的教育？4224建構(gòu)主義的局限：缺乏效率

教育不等于認(rèn)識(shí)論。

數(shù)學(xué)教學(xué)是要在很短的時(shí)間里，讓學(xué)生把握人類幾千年來(lái)積累的數(shù)學(xué)知識(shí)。掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，精中求簡(jiǎn)，保持核心價(jià)值

一萬(wàn)年以后怎么辦？老是探究，自己發(fā)現(xiàn)，還有效率可談嗎？

沒(méi)有效率的教學(xué)理論是走不遠(yuǎn)的！4234人的知識(shí)多半是主動(dòng)接受而來(lái)

大多是間接經(jīng)驗(yàn)，少量的直接經(jīng)驗(yàn)

書籍、報(bào)刊的閱讀，電視的傳播，世紀(jì)大講堂。領(lǐng)導(dǎo)的講話，聽(tīng)名人報(bào)告。政府頒布的法律，遵守就是了交通規(guī)則的遵守，學(xué)開(kāi)車知道照辦

這些都是“單向傳輸?shù)摹睘槭裁唇處熢谡n堂講授就是錯(cuò)誤的？

西方課堂上教師與學(xué)生講話8：1香港是16：1（TIMSS調(diào)查，1999）4244

數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)；教育數(shù)學(xué)的目標(biāo)是為學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)。4254數(shù)學(xué)教育中的“去數(shù)學(xué)化”傾向

香港科技大學(xué)教授項(xiàng)武義認(rèn)為，大陸的新課程標(biāo)準(zhǔn)有“去數(shù)學(xué)化”的傾向。

“去數(shù)學(xué)化”，指數(shù)學(xué)教育只講“教育學(xué)”“心理學(xué)”規(guī)律，忽視數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的揭示。4264第二部分

關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握與呈現(xiàn)4274數(shù)學(xué)教學(xué)成功的標(biāo)志主要看是否達(dá)到教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生是否理解和掌握了數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)的科學(xué)性），包括：

數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握；數(shù)學(xué)能力的形成。教育方式是手段（現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)：學(xué)生活躍？合作？用計(jì)算機(jī)？探究？……游離于數(shù)學(xué)本身）奇談怪論：

結(jié)果不是最重要的，重要的在于參與；知識(shí)不是最重要的，重要的在于過(guò)程。4284

項(xiàng)目因素優(yōu)秀良好待提高

情意過(guò)程教學(xué)環(huán)境

學(xué)習(xí)興趣

自信心

認(rèn)知過(guò)程學(xué)習(xí)方式

思維的發(fā)展

解決問(wèn)題與應(yīng)用意識(shí)

因材施教尊重個(gè)性差異

面向全體學(xué)生

教學(xué)方法與手段

基本功扎實(shí)、有效

總評(píng)

4294數(shù)學(xué)知識(shí)的儲(chǔ)備：一個(gè)比喻

一缸水和一杯水一桶水和一杯水一杯水和一杯水沒(méi)有水可以打井取水

教師的作用：魚，漁

數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握需要數(shù)學(xué)修養(yǎng)

4304“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的內(nèi)涵：

1。

數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；2。數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程；3。數(shù)學(xué)思想方法的提煉；4。數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)。形成數(shù)學(xué)的教育形態(tài)：

“返樸歸真”，“平易近人”，“言之有理”，“感悟真情”4314數(shù)學(xué)本質(zhì)被兩種活動(dòng)所掩蓋：

1。過(guò)度的形式化。“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”。2。教條式的改革。表面熱鬧、缺乏效率的教學(xué)過(guò)程。4324例1。三角形內(nèi)角和問(wèn)題姜伯駒院士在政協(xié)的提案指出“三角形內(nèi)角和等于180度這樣的基本定理，讓學(xué)生用剪刀將三個(gè)角進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)。只知其然不知其所以然，如何培養(yǎng)思辨能力？”

不鼓勵(lì)學(xué)生問(wèn)為什么，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂。

李大潛院士：“老是量，就倒退到尼羅河時(shí)代去了”4334三角形內(nèi)角和定理的價(jià)值沒(méi)有實(shí)際價(jià)值，超越日常經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)初古希臘學(xué)者不是“量”出來(lái)的。價(jià)值在于理性思維，從公理出發(fā)的演繹推理。建議：要么作公理，要么進(jìn)行推理。

《標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》探索并證明三角形內(nèi)角和定理。（基于平行線同位角相等）4344例2。正弦定理的教學(xué)

（一個(gè)忽視數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的設(shè)計(jì)）請(qǐng)同桌同學(xué)任意畫一個(gè)三角形，測(cè)量它的各角大小和各邊的長(zhǎng)，并用計(jì)算器分別計(jì)算c/sinC,b/sinB,a/sinA的值，看看有什么結(jié)果？（學(xué)生一個(gè)人在畫和測(cè)量，另一個(gè)人在記錄和計(jì)算，進(jìn)行合作學(xué)習(xí)）4354

學(xué)生abc∠A∠B∠Cc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA4.13.33.757005006004.3309.6494.3636.3784.308B5.33.1

3.6

107.5033039.50

5.660

-10.301

5.5576.320

5.692

c3336006006002.59862.59862.598根據(jù)你們的計(jì)算結(jié)果和三個(gè)小組的交流情況，你們有什么看法？4364正弦定理是量出來(lái)的嗎？

分組測(cè)量，匯報(bào)結(jié)果，這是敗筆。數(shù)學(xué)不能靠大家意見(jiàn)相同得到結(jié)論。必須證明。正弦定理的證明很簡(jiǎn)單。靠“高”為媒介，比一下立刻推得。正弦定理的本質(zhì)在于找到“三角形的邊與角的關(guān)系”，平面幾何“大邊對(duì)大角”的數(shù)量化。三角是幾何的定量化，溝通代數(shù)和幾何的橋梁。

4374例3。Freudenthal經(jīng)典情景：

巨人的手（通過(guò)“量”掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)）比例只是“照片放大”、“地圖比例尺”？黑板上留下巨人的手印，請(qǐng)你為巨人設(shè)計(jì)巨人使用的書籍、桌子和椅子的尺寸?；顒?dòng)設(shè)計(jì)：1。用自己的手和巨人的手相比。2。定下“比值”3。量自己的書、桌子、椅子尺寸4。用比例放大

（量得有價(jià)值，有意義）

4384例4。坐標(biāo)活動(dòng)（長(zhǎng)寧）

將教室的課桌并攏，用兩根有箭頭的繩子做成坐標(biāo)軸；

坐標(biāo)對(duì)應(yīng)學(xué)生，請(qǐng)學(xué)生自己看坐標(biāo)；

兩坐標(biāo)都是非負(fù)的站起來(lái)；兩坐標(biāo)相等的站起來(lái)；

換一個(gè)同學(xué)做坐標(biāo)原點(diǎn)。

這樣活動(dòng)，抓住了“坐標(biāo)”的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。4394“坐標(biāo)確定位置”：定位太低電影院座位：幾排幾座。電影院位置：某大街和某大路交叉路口教室里座位確定（排、座）經(jīng)度和緯度。

這些都是日常生活經(jīng)驗(yàn)，不教也會(huì)。打電話需要寫入課本嗎？數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：坐標(biāo)原點(diǎn)選?。蛔鴺?biāo)架的架設(shè)，象限的形成。表示數(shù)學(xué)對(duì)象，反映量的變化等4404例6：美國(guó)德州(Austin)的一個(gè)

斜率概念教學(xué)設(shè)計(jì)

為了聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際,提出情景:

“早上起床時(shí),你先要從床上起來(lái)(rise),然后走到廚房去做早餐(run)”

由此聯(lián)系到斜率的概念:縱距離與橫距離之比riseoverrun.評(píng)論：教案設(shè)計(jì)者只利用了rise和run這兩個(gè)詞的表面意思,并沒(méi)有突出兩者必須存在關(guān)聯(lián),必須研究二者的比例.難道每個(gè)rise和run都有斜率的問(wèn)題(起床和去廚房這個(gè)過(guò)程的斜率是什么?)4414另一個(gè)美國(guó)數(shù)學(xué)教育故事一組教師引入”二次函數(shù)”的方法是首先介紹”畢達(dá)哥拉斯定理”.Cindy請(qǐng)她們解釋為何要用此定理來(lái)引入二次函數(shù)概念,回答是:

“因?yàn)槟抢镉衅椒健?？！數(shù)學(xué)的本質(zhì)完全被曲解了。Cindy繼續(xù)提問(wèn),希望他們能意識(shí)到問(wèn)題所在,結(jié)果惹得眾人很不愉快.事后,那個(gè)學(xué)區(qū)的教師間接告訴Cindy:“請(qǐng)她以后不要再到我們學(xué)區(qū)來(lái)了.我們不歡迎她!”4424例7。方程概念

外在的邏輯形式：

含有未知數(shù)的等式叫方程。

內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)：

方程是為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等價(jià)關(guān)系?！胺匠獭彼枷氲谋举|(zhì)在于建立關(guān)系為了認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生，必須請(qǐng)已知數(shù)“先生為媒介，找到一種關(guān)系，根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識(shí)“未知數(shù)”先生了。4434方程思想（三根電線的長(zhǎng)度）上海51中學(xué)陳振宣提供:他的一個(gè)學(xué)生在和平飯店做電工。發(fā)現(xiàn)地下室到10樓的三根電線不一樣長(zhǎng)。如何測(cè)知他們的電阻？袁枚（清）：“學(xué)如箭鏃，才如弓弩；識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠”。4444例8。復(fù)數(shù)的定義一對(duì)有序的實(shí)數(shù)（x,y)，稱做復(fù)數(shù)。前者成為實(shí)部，后者成為虛部。（錯(cuò)）但是，向量也是一對(duì)實(shí)數(shù)！

復(fù)數(shù)的本質(zhì)在于它的乘法：(a,b)·(c,d)=(ac–bd,ad+bc)

4454例9。勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）的教學(xué)設(shè)計(jì)

用各種方法發(fā)現(xiàn)：方格紙上3，4，5的計(jì)算等。6張工作單：發(fā)現(xiàn)猜想a2+b2=c2換一種思維：將勾股定理直接告訴學(xué)生，用各種美麗的畫面，講述中外有關(guān)歷史，包括和外星人聯(lián)系使用的信息。把重點(diǎn)放在如何證明上。多種證明。最后聯(lián)系到費(fèi)馬大定理an+bn=cn(n>3)。

哪一種更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)？4464例10。文字代表數(shù)的本質(zhì)：符號(hào)運(yùn)算

（只代表，不運(yùn)算，沒(méi)有價(jià)值）項(xiàng)武義教授：“文字代表數(shù)的本質(zhì)是不定元和數(shù)字進(jìn)行相同的運(yùn)算。如(2x+3x2)=x(2+3x)

（教材上沒(méi)有講為什么可以這樣做）。

解二次方程：因子分解、配方、同解變換根

數(shù)學(xué)家之所以有飯吃，在于能夠運(yùn)用符號(hào)獲得結(jié)果（復(fù)旦張蔭南）4474

例11一個(gè)例子怎能概括出負(fù)負(fù)得正？探究式教學(xué)。例：一列每小時(shí)80公里的火車向西開(kāi)，12時(shí)火車恰在上海。用上海向東向西表示方向的正負(fù)，12點(diǎn)之后之前為時(shí)間的正負(fù)。問(wèn)10點(diǎn)時(shí)火車在什么位置？答案：（-2）x（-80）=160于是概括得出數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律負(fù)負(fù)得正。

（先乘除后加減、顛倒相乘、分?jǐn)?shù)的交換律……）數(shù)學(xué)不允許這樣的概括。有意義的接受（先做后說(shuō)）先有規(guī)則，后有解釋。先執(zhí)行，然后舉例說(shuō)明其合理性。反思也是創(chuàng)新的必要步驟。先舉例是探究，后舉例說(shuō)明是有意義接受。4484例12“代數(shù)式引例（某數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)）：一隧道長(zhǎng)l米，一列火車長(zhǎng)180米，如果該列火車穿過(guò)隧道所花的時(shí)間為t分，則列車的速度怎么表示”導(dǎo)入新課，指出：象“(l+180)/t”這類表達(dá)式稱為代數(shù)式。創(chuàng)設(shè)的情景看起來(lái)聯(lián)系生活實(shí)際，實(shí)際上離開(kāi)學(xué)生的實(shí)際很遠(yuǎn)。隧道不是學(xué)生熟悉的場(chǎng)景。情景創(chuàng)設(shè)遠(yuǎn)離教學(xué)主題，只求包裝靚麗，不管學(xué)生需要，是一種時(shí)髦的、但不好的傾向。我們認(rèn)為，引例應(yīng)該十分簡(jiǎn)單。例如矩形的長(zhǎng)a，寬為b,求矩形的周長(zhǎng)和面積：M=a·b4494數(shù)學(xué)符號(hào)是一種語(yǔ)言語(yǔ)文靠想象，將符號(hào)（方塊字）用語(yǔ)法表示出來(lái)。說(shuō)話寫下來(lái)就是文章。數(shù)學(xué)靠理性，將數(shù)學(xué)符號(hào)通過(guò)運(yùn)算、演繹得到結(jié)論。這是人為構(gòu)造的語(yǔ)言。

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、詩(shī)詞、定理，都是符號(hào)運(yùn)作

語(yǔ)文是“飯”，不吃要死，容易煮熟。便宜

數(shù)學(xué)是“菜”，不吃菜也可以活，但身體弱。比較貴。燒菜很難。吃菜必須合理。

詩(shī)詞是“酒”，酒可以不喝，釀酒更難。有人喜歡，閑時(shí)享受才喝。定理也是酒。4504例13。函數(shù)的兩個(gè)定義：宏觀與微觀

人們需要宏觀與微觀兩種觀點(diǎn)。政治上的全局與局部；物理學(xué)上的宇宙與原子；藝術(shù)上的寫意與工筆…初中的函數(shù)從大局發(fā)展著眼，宏觀地觀察數(shù)量之間彼此依存的關(guān)系，看總體發(fā)展趨勢(shì)。宏觀函數(shù)概念的本質(zhì)是變量之間的依賴性。高中函數(shù)定義講究微觀地、靜態(tài)地觀察，用兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)來(lái)描述。微觀函數(shù)概念的本質(zhì)在于精確化的對(duì)應(yīng)。

兩種定義互有短長(zhǎng)，并非高級(jí)與低級(jí)之分

。4514函數(shù)定義中“唯一”重要嗎？唯一不是本質(zhì)。不唯一成多值函數(shù)而已。多值函數(shù)單值化即可。描寫圓的函數(shù)，上半圓和下半圓。反三角函數(shù)4524例14。函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)難點(diǎn)是“無(wú)限”。單調(diào)性的本質(zhì)是描述函數(shù)的變化趨勢(shì)。這可以直觀地觀察，畫圖，數(shù)列等但是，單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)在于處理無(wú)限變化的趨勢(shì)；呈現(xiàn)的方式對(duì)“任意”兩個(gè)自變量x1<x2,都有f(x1)<f(x2)將直觀的自然語(yǔ)言表述為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，才能獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)4534例15數(shù)學(xué)歸納法的比喻1。通常借喻多米諾骨牌效應(yīng)2?；疖囶^帶火車。第一節(jié)重要（火車頭），然后，各節(jié)車廂一節(jié)節(jié)地連接好。3。排隊(duì)。第一個(gè)是X學(xué)校學(xué)生，然后保證后面一個(gè)和我同校，X學(xué)校學(xué)生的隊(duì)伍排好。數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是從有限過(guò)渡到無(wú)限。以上的比喻都必須注意這個(gè)特征。

相比之下，多米諾骨牌好些。4544例16。糖水濃度a--溶液（糖水）；b–溶質(zhì)（糖）b/a--濃度（甜度）現(xiàn)在向糖水中再放糖m>0，糖水變甜；

b/a<(b+m)/(a+m)如果b/a<d/c是兩杯不一樣甜的糖水倒再一起，甜度會(huì)怎樣？

b/a<(b+d)/(a+c)<d/c這不是證明，卻把握了數(shù)學(xué)過(guò)程的本質(zhì)455417。放煙火（InteractiveMathematicsProject)主題教學(xué)一元二次函數(shù)的單元模型。高樓上放煙火，形成的曲線。頂點(diǎn)落地點(diǎn)與物理的關(guān)系：拋物線。

大模型，不是一節(jié)課的引入問(wèn)題4564例18。三角函數(shù)。單擺，電磁波y=ASin(ωt+φ)周期性。這是基本概念。舉例（波動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，課程表，潮汐……

和諧性。這是三角函數(shù)的特征。音樂(lè)，單擺，電磁波。

相位性。理解三角函數(shù)變換的難點(diǎn)。

原始性。不定元X可以構(gòu)造多項(xiàng)式，分式、無(wú)理式；sinx可以構(gòu)造各種三角函數(shù)，用來(lái)逼近其他函數(shù)。三角恒等變換只是工具而已4574例19.余弦定理與三點(diǎn)距離問(wèn)題

--表示培養(yǎng)能力（荷蘭）甲離學(xué)校10公里，乙離甲3公里，問(wèn)乙離學(xué)校幾公里？訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)表示能力。甲、乙、學(xué)校在一條直線上？沒(méi)有說(shuō)。

校乙甲乙‘坐標(biāo)。參數(shù)。復(fù)數(shù)?？臻g

4584例20。微積分的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)（1）全局的問(wèn)題。拋物線y=x2,可以用許多方法研究，試觀察它的切線。（2）關(guān)鍵的問(wèn)題。割線的極限位置（3）增量的重要性微積分是增量分析（4）增量比的極限克服極限4594例21增量分析：微積分的本質(zhì)。y=f(x),y隨x的變化而變化。銷量隨價(jià)格的變化而變化。太普通增量的提法：價(jià)格變一元，銷量變多少？很重要。所以我們要研究

y的增量和x的增量之比的極限。

4604例22。瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度是出發(fā)點(diǎn)？還是微積分的應(yīng)用？瞬時(shí)速度是原始概念，快車趕上慢車的一剎那。小學(xué)里沒(méi)有面積的概念，就可以求面積。道理是一樣的。4614例23。概率的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)傳統(tǒng)：擲骰子等可能性排列組合

理論概率計(jì)算概率（考試）現(xiàn)代：擲骰子實(shí)驗(yàn)頻率經(jīng)驗(yàn)概率理論概率排列組合理論概率計(jì)算統(tǒng)計(jì)方法。4624理論概率和經(jīng)驗(yàn)概率等可能性出發(fā)定義概率（北師大版）傳統(tǒng)。形式化處理。但是片面。不能解釋降水概率、次品率、事故率等等用實(shí)驗(yàn)方法以頻率取代概率（華東師大版）可能比較難以捉摸。但是符合實(shí)際。兩種不同的思想體系。怎樣呈現(xiàn)概率的“教育形態(tài)”，是一個(gè)理論問(wèn)題，也是實(shí)踐問(wèn)題。4634例24。四維空間的4-方體

（蘇聯(lián)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的一道空間想象題）四維空間單位方體的頂點(diǎn)數(shù).棱數(shù),面數(shù),三維面數(shù),四維體數(shù)?解：頂點(diǎn)數(shù)：23=16。棱數(shù)：（16·4）/2=32二維面：（16·C42）/4=24三維面：（16C43）/8=8四維面：1一般地（2+1）n=2n+n2n-1+…+1

愛(ài)因斯坦的四維時(shí)空可以進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)4644例25。用迭代方法解決問(wèn)題

（錄自美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，2000）一位女生在打排球時(shí)膝蓋受傷。她的醫(yī)生要她在10天內(nèi)每8小時(shí)服用兩粒220毫克的藥片，以減輕傷痛。

如果她的身體每8小時(shí)吸收60%的藥物，那么10天后，她身體中還有多少毫克的藥物？654654迭代進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)66下時(shí)段=0.4(現(xiàn)在)+440,startat440a1=440andan+1=0.4an+440for1≤

n≤314664信息時(shí)代的數(shù)學(xué)新課題：算法算法并不陌生。先乘除，后加減；分?jǐn)?shù)通分；高斯消去法；求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法；珠算口訣……算法是人和計(jì)算機(jī)相通的語(yǔ)言。算法成為公民科學(xué)素質(zhì)的一部分。印度的經(jīng)驗(yàn)。賦值語(yǔ)句，條件語(yǔ)句，循環(huán)語(yǔ)句。

4674第三部分?jǐn)?shù)學(xué)文化的孕育與體現(xiàn)4684揭示數(shù)學(xué)背后隱藏的文化價(jià)值

數(shù)學(xué)通過(guò)了考試，是否獲得了理性思維的訓(xùn)練。豬八戒吃人參果？數(shù)學(xué)教學(xué)要把數(shù)學(xué)的文化價(jià)值展現(xiàn)，幫助學(xué)生體會(huì)。4694例1.“對(duì)頂角相等”是否要證明？數(shù)學(xué)與民主古希臘城邦實(shí)行奴隸主的民主政治。民主要求說(shuō)服、說(shuō)服需要證明、公理化方法得到應(yīng)用。幾何原本。命題15：對(duì)頂角相等。用公理3：等量減等量，其差相等。ABC4704中國(guó)古代數(shù)學(xué)是官方管理數(shù)學(xué)春秋戰(zhàn)國(guó)，百家爭(zhēng)鳴。實(shí)行謀士向君王建議治國(guó)之道。與古希臘統(tǒng)治階級(jí)實(shí)行民主政治不同。中國(guó)數(shù)學(xué)為帝王的統(tǒng)治服務(wù)。九章算術(shù)：丈量田畝、計(jì)算稅收、分?jǐn)傖嬉邸⒂?jì)算土方、運(yùn)輸計(jì)費(fèi)…沒(méi)有“對(duì)頂角相等”。勾股定理古希臘與中國(guó)都有古希臘重證明；中國(guó)重算法。

理性思維--數(shù)學(xué)的德育教育功能。4714例2對(duì)稱和對(duì)仗對(duì)稱是幾何變換。變換之后有不變的量。軸對(duì)稱、中心對(duì)稱后圖形不變、長(zhǎng)度角度都不變。中國(guó)的對(duì)仗：“明月松間照，清泉石上流”（王維詩(shī)句）?！懊髟隆睂?duì)“清泉”，變中有不變。形容詞對(duì)形容詞，名詞對(duì)名詞，自然景物仍然是自然景物。

文化上看，二者異曲同工。只是數(shù)學(xué)更加準(zhǔn)確、比較抽象而已。4724例3。時(shí)間和空間

初唐詩(shī)人陳子昂詩(shī)云：“前不見(jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者，念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下。”這是古人乃只今天人們對(duì)時(shí)間與空間的認(rèn)識(shí)。時(shí)間的模型是一條兩端無(wú)限的直線：詩(shī)人處在原點(diǎn)。天地各為兩個(gè)平面，悠悠地、無(wú)限地伸展著。我們的幾何就是在這樣的空間里展開(kāi)的。實(shí)際上，地球上的幾何就超出了這個(gè)范圍：非歐幾何。揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵4734例5。變化中的不變量

與時(shí)俱進(jìn)，但是主要民族傳統(tǒng)不變。物理學(xué)的能量守恒、動(dòng)量守恒數(shù)學(xué)中的不變規(guī)律：對(duì)稱；分?jǐn)?shù)的不同表示，交換率，方程的同解；恒等式sin2x+cos2x=1;

（數(shù)學(xué)思想方法之一）

幾何不變量，代數(shù)不變量。拓?fù)洳蛔兞浚憾嗝骟w歐拉定理，七橋問(wèn)題。陳類4744例6數(shù)學(xué)意境

孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，惟見(jiàn)長(zhǎng)江天際流。（徐利治：極限意境）眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。（王國(guó)維《人間詞話》）

（解題意境）4754例7。丘成桐談《史記》2002年8月20日早上中央電視臺(tái)東方時(shí)空的“東方之子”欄目（方靜采訪）“我讀《史記》象欣賞歌劇，一幕幕地展開(kāi)?！?/p>

華彩樂(lè)章如：高山仰止，景行景止。。

歷史是宏觀的。學(xué)習(xí)歷史會(huì)使人用宏觀觀點(diǎn)考察事物。我提出的數(shù)學(xué)想法往往和別人的不一樣，就是得力于《史記》4764例8。微積分中的中國(guó)史料李善蘭、偉列亞力譯：《代微積拾級(jí)》（1859）日本學(xué)者學(xué)習(xí)微積分的唯一通道（1870年以前）京師同文館，除“經(jīng)學(xué)”和“數(shù)學(xué)”外，物理、化學(xué)、博物等全聘外國(guó)人。數(shù)學(xué)教習(xí)就是李善蘭。4774

中國(guó)最早的微積分譯作李善蘭（1811–1882）禾彳天意思是∫dx4784清末中國(guó)數(shù)學(xué)的亮點(diǎn)李善蘭恒等式:戴煦數(shù)tanx=Σ(Dn/(2n-1)!)x2n-1.歐拉數(shù)secx=Σ(En/2n!)x2n

Dn1，2，16，272，7936，353792，……(可惜不懂微積分，沒(méi)有用泰勒公式）4794例7。線性組合與通解（項(xiàng)武義）《孫子算經(jīng)》中國(guó)剩余定理同余式組：x=b1(modm1),x=b2(modm2)x=b3(modm3)可以歸結(jié)為b1b2b3為（1，0，0），（0，1，0）（0，0，1）時(shí)的特解，然后可以用系數(shù)乘特解的線性組合得到通解。4804例8。偉大的期望值中國(guó)的麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？概率是一定會(huì)有的。數(shù)學(xué)期望才是催生理性思考的問(wèn)題有一筆賭金，甲、乙兩人競(jìng)賭，輸贏的概率各為1/2，以先累計(jì)達(dá)到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進(jìn)行過(guò)程中，因故突然終止。此時(shí)，甲贏了4局，乙贏了3局。問(wèn)這筆賭金該如何分配才合理？

4/7和3/7比較合理？4814例9戰(zhàn)后：1948年的數(shù)學(xué)地圖1948：美國(guó)仙農(nóng)發(fā)表《信息的數(shù)學(xué)理論》1948：維納發(fā)表《控制論》。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？1948：vonNeuman計(jì)算機(jī)方案形成

中國(guó)缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像4824

例10。1970年走出布爾巴基的光環(huán)布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義沖破“函數(shù)論”王國(guó)用“代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”統(tǒng)一數(shù)學(xué)。集合論、測(cè)度論、李群論、抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分析……融為一體。不能包括微分幾何、數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué)……1950年。吳文俊在《科學(xué)通報(bào)》介紹布爾巴基。無(wú)人喝彩。1970年。年輕數(shù)學(xué)家走出布爾巴基的影響1980年。中國(guó)大規(guī)模介紹布爾巴基學(xué)派。4834

函數(shù)內(nèi)容的文化點(diǎn)設(shè)計(jì)4844

1。函數(shù)的本質(zhì)函數(shù)從其本質(zhì)屬性來(lái)看，是一種變量之間的對(duì)應(yīng)的依賴關(guān)系。數(shù)學(xué)是關(guān)系學(xué)，相等、不等、大小、全等、相似、對(duì)稱和等價(jià)等等都是關(guān)系。最重要的兩個(gè)關(guān)系是：方程是未知數(shù)與已知數(shù)之間的等式關(guān)系，函數(shù)是變量間的依賴關(guān)系。世界靠關(guān)系維持著，國(guó)際關(guān)系，國(guó)內(nèi)各階層的關(guān)系，上下級(jí)關(guān)系，同學(xué)關(guān)系，師生關(guān)系，社會(huì)關(guān)系，公共關(guān)系，……，而數(shù)學(xué)主要研究的是數(shù)量關(guān)系。事物間都彼此聯(lián)系著，看問(wèn)題不要割裂關(guān)系。48542。函數(shù)的定義初中定義和高中定義的比較，各有所長(zhǎng)，不是傳統(tǒng)與現(xiàn)代、高級(jí)與低級(jí)之分。變量說(shuō)(初中)，是原始定義，強(qiáng)調(diào)變量的依賴關(guān)系，生動(dòng)直觀，是宏觀的、動(dòng)態(tài)的。對(duì)應(yīng)說(shuō)(高中)，是近代定義，強(qiáng)調(diào)具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，細(xì)致入微，是微觀的、靜態(tài)的?？磫?wèn)題的兩種視角：從政治看，全局與局部；從哲學(xué)看，唯物與唯心；從邏輯學(xué)看，歸納與演繹；從繪畫看，潑墨與工筆；從物理學(xué)看，原子與天體；從光學(xué)看，顯微與放大。4864

3。函數(shù)的名稱函數(shù)function一語(yǔ)，起用于公元1692年，最早見(jiàn)自德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作。記號(hào)f（x）則是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1724年首次使用的。英文function一詞，譯為函數(shù)，始于1859年，意為“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)?！笔滓?jiàn)于清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811～1882)與英國(guó)人偉列亞力合譯的美國(guó)數(shù)學(xué)家羅密士﹝E.Loomis，1811-1899﹞的《代微積拾級(jí)》(1859)。此書傳至日本，成為當(dāng)時(shí)日本了解微積分的主要著作。函數(shù)一詞隨為日本沿用。日本后來(lái)限制使用漢字的數(shù)量。“函”的日本發(fā)音與“關(guān)”類似，所以現(xiàn)在日本使用“關(guān)數(shù)”一詞。十九世紀(jì)七十年代，日本還在向中國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但是1892年甲午戰(zhàn)爭(zhēng)之后，中國(guó)派留學(xué)生到日本學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。數(shù)學(xué)的盛衰與國(guó)力的強(qiáng)弱有關(guān)。48744。函數(shù)的表示y=f(x),x∈D.這是一串符號(hào)，清晰地表示了函數(shù)的意義。這是數(shù)學(xué)使用的符號(hào)語(yǔ)言，比較它和自然語(yǔ)言的差別。仔細(xì)分析函數(shù)符號(hào)的意義，理解它們分