概率論與數(shù)理統(tǒng)計

“十五”規(guī)劃教材

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》

高等教育出版社

茆詩松、程依明、濮曉龍數(shù)理統(tǒng)計：

第五章

……第八章概率論：

第一章

.…..第四章兩大內容參考書目概率論與數(shù)理統(tǒng)計：陳希孺科學出版社，2000.3概率論與數(shù)理統(tǒng)計：

李賢平等復旦大學出版社2003.5簡要

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門從數(shù)量側面研究自然界中隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的學科?！?.1隨機事件及其運算§1.2概率的定義及其確定方法§1.3概率的性質§1.4條件概率§1.5獨立性

第一章隨機事件與概率2.

隨機現(xiàn)象1.1.1隨機現(xiàn)象：自然界中的有兩類現(xiàn)象1.

確定性現(xiàn)象

每天早晨太陽從東方升起;

水在標準大氣壓下加溫到100oC沸騰;

擲一枚硬幣，正面朝上？反面朝上？

一天內進入某超市的顧客數(shù);

某種型號電視機的壽命;§1.1

隨機事件及其運算1.1.1隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在一定的條件下，并不總出現(xiàn)相同結果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.特點：1.結果不止一個;2.事先不知道哪一個會出現(xiàn).隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性：隨機現(xiàn)象的各種結果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為

統(tǒng)計規(guī)律性.1.

隨機試驗

(E)——

對隨機現(xiàn)象進行的實驗與觀察.

它具有兩個特點：隨機性、重復性.2.

樣本點

——隨機試驗的每一個可能結果.3.

樣本空間(Ω)

——

隨機試驗的所有樣本點構成的集合.

4.

兩類樣本空間：

離散樣本空間

樣本點的個數(shù)為有限個或可列個.

連續(xù)樣本空間

樣本點的個數(shù)為無限不可列個.1.1.2樣本空間1.

隨機事件

——

某些樣本點組成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集.2.

基本事件

——Ω的單點集.1.1.3隨機事件表示隨機現(xiàn)象結果的變量.常用大寫字母X、Y、Z…表示.1.1.4隨機變量在試驗中，A中某個樣本點出現(xiàn)了，就說A

出現(xiàn)了、發(fā)生了，記為A.維恩圖

(Venn).事件的三種表示用語言、用集合、用隨機變量.事件的表示包含關系：

A

B,

A

發(fā)生必然導致

B

發(fā)生.相等關系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同時發(fā)生.1.1.5

事件間的關系解：1)顯然，B發(fā)生必然導致A發(fā)生，所以BA;.

2)又因為A發(fā)生必然導致B發(fā)生，所以AB，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a個白球、b個黑球，從中一個一個不返回地取球。A=“取到最后一個是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。問A

與B

的關系？并：

A

B

A

與

B

至少有一發(fā)生

交：

A

B=AB

A

與

B

同時發(fā)生

差：

A

B

A發(fā)生但

B不發(fā)生

對立：

A

不發(fā)生1.1.6

事件的運算事件運算的圖示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

記號

概率論

集合論

Ω

樣本空間,必然事件空間

φ

不可能事件空集

樣本點

元素

AB

A發(fā)生必然導致B發(fā)生A是B的子集

AB=φ

A與B互不相容A與B無相同元素

AB

A與B至少有一發(fā)生A與B的并集

AB

A與B同時發(fā)生

A與B的交集

AB

A發(fā)生且B不發(fā)生A與B的差集

A不發(fā)生、對立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意點(1)注意點(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1A2……An=Ω

則稱A1，A2，……，An

為Ω的一組分割.樣本空間的分割1.若A是B的子事件，則

AB=()，AB=()2.設

A與B同時出現(xiàn)時

C也出現(xiàn)，則(

)

①

AB是

C的子事件；

②

C是

AB的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.課堂練習③BA3.

設事件A=“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則A的對立事件為（）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.4.設x

表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質點位置，試說明下列各對事件間的關系①A={|xa|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④AB相容不相容5.試用A、B、C表示下列事件：①A出現(xiàn)；②僅A出現(xiàn)；③恰有一個出現(xiàn)；④至少有一個出現(xiàn)；⑤至多有一個出現(xiàn)；⑥都不出現(xiàn)；⑦不都出現(xiàn)；⑧至少有兩個出現(xiàn)；

設Ω為樣本空間，F(xiàn)是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點,則稱F為事件域1.1.7

事件域1.ΩF

;2.

若AF，則F

;3.若AnF，n=1,2,…,

則F

.§1.1習題3，4，5，6，9.直觀定義

——

事件A出現(xiàn)的可能性大小.統(tǒng)計定義

——

事件A在大量重復試驗下出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值稱為該事件的概率.古典定義；幾何定義.§1.2

概率的定義及其確定方法非負性公理：

P(A)0;正則性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，則1.2.1

概率的公理化定義從n

個元素中任取r

個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!0!=1.重復排列：nr選排列：1.2.2

排列與組合公式組合組合：重復組合：

求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.注意加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.隨機試驗可大量重復進行.1.2.3

確定概率的頻率方法進行n次重復試驗，記n(A)為事件A的頻數(shù)，稱為事件A的頻率.頻率fn(A)會穩(wěn)定于某一常數(shù)(穩(wěn)定值).用頻率的穩(wěn)定值作為該事件的概率.頻率穩(wěn)定性的例子P14表1.2.1.P15表1.2.2.P15表1.2.3.

古典方法設為樣本空間，若①只含有限個樣本點;②每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則事件A的概率為:P(A)=A中樣本點的個數(shù)/樣本點總數(shù)1.2.4

確定概率的古典方法拋一枚硬幣三次拋三枚硬幣一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此樣本空間中的樣本點等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此樣本空間中的樣本點不等可能.注意古典方法確定概率的幾種計算手段1.用排列組合直接計算2.用對立事件公式計算3.用加法公式計算4.利用對稱性計算

特別注意掌握一些常見模型和問題例1.2.1

六根草，頭兩兩相接、尾兩兩相接。求成環(huán)的概率.解：用乘法原則直接計算所求概率為P28習題1.2(16)n個人圍一圓桌坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.解：考慮甲先坐好，則乙有n-1個位置可坐，而“甲乙相鄰”只有兩種情況，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2P28習題1.2(14)n個人坐成一排，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率.(注意：請與上一題作比較)解：1)先考慮樣本空間的樣本點數(shù)：甲先坐、乙后坐，則共有n(n1)種可能.2)甲在兩端，則乙與甲相鄰共有2種可能.3)甲在中間(n2)個位置上，則乙左右都可坐，所以共有2(n2)種可能。由此得所求概率為：例1.2.3

性質1.3.1

P()=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性質性質1.3.2(有限可加性)

若AB=，則P(AB)=P(A)+P(B).

可推廣到n個互不相容事件.性質1.3.3(對立事件公式)

P()=1P(A).1.3.1

概率的可加性性質1.3.4

若AB，則P(AB)=P(A)P(B)；若AB，則P(A)P(B).性質1.3.5

P(AB)=P(A)P(AB).1.3.2

概率的單調性(6)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求B

的對立事件的概率。解：由P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，

所以P()=10.2=0.8.例1.3.2解：因為P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1

所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求

P(AB).

例1.3.3解：因為A、B、C

都不出現(xiàn)的概率為=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/16+1/160=15/8=3/8P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16,求A、B、C

都不出現(xiàn)的概率.口袋中有n1個黑球、1個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用對立事件解：記A為“第k次取到黑球”，則A的對立事件為“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味著：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”思考題

口袋中有2個白球，每次從口袋中隨機地摸出一球，并換入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用對立事件進行計算,記A=“至少出現(xiàn)一次6點”，則所求概率為

一顆骰子擲4次，求至少出現(xiàn)一次6點的概率.例1.3.5解：記B=“至少出現(xiàn)一次雙6點”，則所求概率為

兩顆骰子擲24次，求至少出現(xiàn)一次雙6點的概率.從1,2,……,9中返回取n次，求取出的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率.利用對立事件和加法公式解：因為“乘積能被10整除”意味著：

“取到過5”(記為A)且“取到過偶數(shù)”(記為B)。因此所求概率為P(AB).利用對立事件公式、德莫根公式和加法公式甲擲硬幣n+1次，乙擲n次.(習題1.3第10題)求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率.

利用對稱性解：記甲正=甲擲出的正面數(shù)，乙正=乙擲出的正面數(shù).

甲反=甲擲出的反面數(shù)，乙反=乙擲出的反面數(shù).因為

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反乙反)=1P(甲正>乙正)(對稱性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.(口袋中有M個白球，NM個黑球)常見模型(1)

——

不返回抽樣從中不返回任取n個,則此n個中有m個不合格品的概率為：此模型又稱超幾何模型.

nN,mM,

nmNM.口袋中有5

個白球、7個黑球、4個紅球.從中不返回任取3

個.求取出的3

個球為不同顏色的球的概率.思考題購買：從01，……，35中選7個號碼.開獎：7個基本號碼，1個特殊號碼.

彩票問題——幸運35選7中獎規(guī)則

1)7個基本號碼

2)6個基本號碼+1個特殊號碼

3)6個基本號碼

4)5個基本號碼+1個特殊號碼

5)5個基本號碼

6)4個基本號碼+1個特殊號碼

7)4個基本號碼，或3個基本號碼+1個特殊號碼

中獎概率中所含樣本點個數(shù)：將35個號分成三類：

7個基本號碼、1個特殊號碼、27個無用號碼記pi

為中i等獎的概率。利用抽樣模型得：

中獎概率如下：不中獎的概率為：

p0=1p1p2p3p4p5p6p7

N個產(chǎn)品，其中M個不合格品、NM個合格品.

從中有返回地任取n個.則此n個中有m個不合格品的概率為：常見模型(2)——返回抽樣條件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n個不同球放入N個不同的盒子中.每個盒子中所放球數(shù)不限.求恰有n個盒子中各有一球的概率(nN)

常見模型(3)

——

盒子模型求n個人中至少有兩人生日相同的概率.看成n個球放入N=365個盒子中.P(至少兩人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少兩人生日相同)=生日問題p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n個人、n頂帽子，任意取，至少一個人拿對自己帽子的概率.記Ai

=“第i

個人拿對自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1A2……An)，不可用對立事件公式.用加法公式：常見模型(4)——

配對模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=

配對模型(續(xù))§1.2

習題4，5，直接計算

7，8，9，10，11，抽樣模型

12，事件差公式

13，直接計算

15，盒子模型§1.3

習題6，對立事件、抽樣模型

12，13，盒子模型1.2.5

確定概率的幾何方法

若①樣本空間充滿某個區(qū)域，其度量(長度、面積、體積)為S；

②落在中的任一子區(qū)域A的概率，只與子區(qū)域的度量SA有關，而與子區(qū)域的位置無關(等可能的).

則事件A的概率為:P(A)=SA

/S幾何方法的例子

例1.2.3

蒲豐投針問題平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l的針，求針與平行線相交的概率.蒲豐投針問題(續(xù)1)解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角.

易知樣本空間滿足：0x

d/2;0

.形成x--平面上的一個矩形，其面積為：S=d/2.

蒲豐投針問題(續(xù)2)

A=“針與平行線相交”的充要條件是:

x

(l/2)sin.

針是任意投擲的，所以這個問題可用幾何方法求解得由蒲豐投針問題知：長為l的針與平行線相交的概率為:2l/d.而實際去做N次試驗，得n次針與平行線相交，則頻率為:n/N.用頻率代替概率得：2lN/(dn).歷史上有一些實驗數(shù)據(jù).的隨機模擬蒲豐投針問題的推廣平面上畫有間隔為d的等距平行線，向平面任意投擲一個邊長為a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形與平行線相交的概率．(習題1.2

第25題)分析：三角形與平行線相交有以下三種情況：

1)

一個頂點在平行線上;

2)

一條邊與平行線重合;

3)

兩條邊與平行線相交.前兩種情況出現(xiàn)的概率為零.所以只要去確定兩條邊與平行線相交的概率.解：記Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分別為邊ab,ac,bc,

a,b,c與平行線相交的概率，則所求概率為

p=P(三角形與平行線相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲豐投針問題知Pa=2a/(d),Pb=2b/(d),Pc=2c/(d).

因為Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d).§1.2

習題23，27，28。因為概率是事件(集合)的函數(shù)，所以先討論事件(集合)的“極限”

.本節(jié)給出可列可加性的充要條件.1.3.4

概率的連續(xù)性若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調不減事件序列，其極限事件為事件序列的極限若事件序列{Fn}滿足：F1F2

…

Fn

…

則稱{Fn}為單調不增事件序列，其極限事件為

設P(·)是一個集合函數(shù)，

(1)

若任對單調不減集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是下連續(xù)的.集合函數(shù)的連續(xù)性

(2)若任對單調不增集合序列{Fn}，有

則稱P(·)是上連續(xù)的.

性質1.3.7

若P(·)是事件域F上的一個概率函數(shù)，

則P(·)既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的.概率的連續(xù)性性質1.3.8若P(·)是事件域F上滿足：非負、正則的集合函數(shù)，則P(·)有可列可加性的充要條件是它具有有限可加性和下連續(xù)性.可列可加性的充要條件§1.3習題2，3，15，16，17，18.問題的提出：

1)10個人摸彩，有3張中彩.

問：第1個人中彩的概率為多少？第2個人中彩的概率為多少？

2)10個人摸彩，有3張中彩.

問：已知第l個人沒摸中，第2個人中彩的概率為多少？§1.4

條件概率

定義1.4.1

對于事件A、B，若P(B)>0，則稱P(A|B)=P(AB)/P(B)

為在B

出現(xiàn)的條件下，A

出現(xiàn)的條件概率.1.4.1

條件概率的定義

1)

縮減樣本空間：將縮減為B=B.

2)

用定義：

P(A|B)=P(AB)/P(B).條件概率P(A|B)的計算10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二個又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：設A={第一個取到次品}，

B={第二個取到次品}，例1.4.1條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意點(1)

設P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習§1.4

習題2，3，5，6，7，9，10。乘法公式;全概率公式；貝葉斯公式.條件概率的三大公式性質1.4.2

(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率.一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：記Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的應用性質1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(Bi)>0，則1.4.3

全概率公式全概率公式用于求復雜事件的概率.使用全概率公式關鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間.全概率公式最簡單的形式：注意點(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意點(2)

則由可得

設10件產(chǎn)品中有3件不合格品，從中不放回地取兩次，每次一件，求取出的第二件為不合格品的概率。解：設A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n張彩票中有一張中獎，從中不返回地摸取，記Ai為“第i次摸到中獎券”，則

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式計算得P(A2)=1/n.

(3)可用歸納法計算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n張彩票中有k張中獎，從中不返回地摸取，記Ai

為“第i次摸到獎券”，則

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n結論：不論先后，中彩機會是一樣的.摸彩模型(續(xù))

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情況下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)從中一只一只返回取球；

(2)從中一只一只不返回取球；

(3)從中一只一只返回取球，且返回的同時再加入一只同色球.思考題

罐中有b

個黑球、r

個紅球，每次從中任取一個，取出后將球放回，再加入c

個同色球和d

個異色球.(1)當c=1,d=0時，為不返回抽樣.(2)當c=0,d=0時，為返回抽樣.(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型.(4)當c=

0,d>0時，為安全模型.波利亞罐子模型

記

pk(b,r)為“口袋中有b個黑球、r個紅球時，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)當c=1,d=0時為不返回抽樣，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)當c=0,d=0時為返回抽樣，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)當c>0,d=0時，為傳染病模型。此時pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亞罐子模型(續(xù))甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.從甲口袋任取一球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.概率為：全概率公式的例題甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.從甲口袋任取兩球放入乙口袋，然后從乙口袋中任取一球，求從乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙兩口袋的球數(shù)不同，如果兩口袋裝的黑、白球個數(shù)都相同，則情況又如何？思考題要調查“敏感性”問題中某種比例p；兩個問題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問題.敏感性問題的調查乘法公式是求“幾個事件同時發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結果”，求“原因”的概率.1.4.4

貝葉斯公式

某人從甲地到乙地，乘飛機、火車、汽車遲到的概率分別為0.1、0.2、0.3，他等可能地選擇這三種交通工具。若已知他最后遲到了，求他分別是乘飛機、火車、汽車的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“結果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是樣本空間的一組分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是導致A發(fā)生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A發(fā)生的條件下,

某個原因Bj

發(fā)生的概率,

稱為“后驗概率”;

3)Bayes公式又稱為“后驗概率公式”或“逆概公式”;4)稱P(Bj)為“先驗概率”.注意點例1.4.3某商品由三個廠家供應，其供應量為：甲廠家是乙廠家的2倍；乙、丙兩廠相等。各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.若從市場上隨機抽取一件此種商品，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：用1、2、3分別記甲、乙、丙廠，設

Ai

=“取到第i

個工廠的產(chǎn)品”，B=“取到次品”，由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的還是白的?，F(xiàn)再往口袋中放入一只白球，然后從口袋中任意取出一只，發(fā)現(xiàn)是白球。試問口袋中原來的那只球是白球的可能性多大？課堂練習(習題1.4第20題)

2/3B1=“患肝癌”，B2=“未患肝癌”，肝癌發(fā)病率為0.0004，即P(B1)=0.0004,P(B2)=0.9996.用甲胎蛋白化驗：A=“呈陽性”，已知P(A|B1)=0.99,P(A|B2)=0.001.求P(B1|

A).例1.4.7§1.4

習題11,乘法公式

12,全概率公式

14，(1)全概率公式，(2)貝葉斯公式

15，貝葉斯公式

16,全概率公式

19，20貝葉斯公式

事件的獨立性

直觀說法：對于兩事件，若其中任何一個事件的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生，

則這兩事件是獨立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

獨立性定義1.5.1

若事件A

與B

滿足：P(AB)=P(A)P(B),

則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.結論

A、B為兩個事件，若P(A)>0,則

A與B

獨立等價于

P(B|A)=P(B).性質1.5.1

若事件A與B獨立，則

A與獨立、與B獨立、與獨立.1.5.1

兩個事件的獨立性

實際應用中，往往根據(jù)經(jīng)驗來判斷兩個事件的獨立性：例如

返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復試驗等.事件獨立性的判斷1.5.2

多個事件的相互獨立性對于A、B、C三個事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨立.定義1.5.3

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨立、三三獨立、……、n

n獨立則稱A1,A2,……,An

相互獨立.

若A、B、C相互獨立，則AB與C獨立,AB與C獨立,AB與C獨立.一些結論

例1.5.1

兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其命中率分別為0.9和0.8，求目標被擊中的概率.解:

設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以解法i)

P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=0.9+0.80.90.8=0.98.解法ii)

用對立事件公式

P(C)=P(AB)=1(10.9)(10.8)=10.02=0.98.

例1.5.2

甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標被擊中，求它是甲擊中的概率.。解:設A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目標被擊中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22

例1.5.3

兩射手輪流對同一目標進行射擊，甲先射，誰先擊中則得勝。每次射擊中，甲、乙命中目標的概率分別為和，求甲得勝的概率。解:

因為P(甲勝)=+(1)(1)P(甲勝)所以P(甲勝)=/[1(1)(1)].

例1.5.4

口袋中有3個白球、5個黑球，甲、乙兩人輪流從口袋中有返回地取一球，甲先取.

誰先取到白球為勝，求甲勝的概率.解：P(甲勝)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲勝)所以P(甲勝)=8/13.

例1.5.5

元件工作獨立，求系統(tǒng)正常工作的概率.

記Ai=“第i個元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)兩個元件的串聯(lián)系統(tǒng)：P(A1A2)=p1p2(2)兩個元件的并聯(lián)系統(tǒng)：

P(A1A2)=p1+

p2p1p2=1(1p1)(1p2)(3)五個元件的橋式系統(tǒng)：用全概率公式

p3(p1+

p4p1p4)(p2+

p5p2p5)+(1p3)(p1p2+

p4p5p1p2p4p5)

若試驗E1的任一結果與試驗E2的任一結果都是相互獨立的事件，則稱這兩個

試驗相互獨立，或稱獨立試驗.1.5.3

試驗的獨立性

伯努里試驗：

若某種試驗只有兩個結果

(成功、失敗；黑球、白球；正面、反面)，則稱這個試驗為伯努里試驗.

在伯努里試驗中，一般記“成功”的概率為p.

n重伯努里試驗：

n次獨立重復的伯努里試驗.n

重伯努里試驗在n

重伯努里試驗中，記成功的次數(shù)為X.X的可能取值為：0，1，……，n.X取值為k

的概率為：n

重伯努里試驗成功的次數(shù)習題提示(1)習題1.5第1題：密碼被譯出=至少有一人譯出?？捎眉臃ü?，也可用對立事件公式。習題1.5第13題：記命中率為p，“射擊四次至少命中一次”的概率為80/81，則其對立事件“四次都未擊中”概率為(1p)4=1/81。從中解出p.習題提示(2)習題1.5第9題：

用加法公式將P(ABC)展開。習題1.5第10題：A與B中僅A發(fā)生是指：B不發(fā)生且A發(fā)生。習題1.5第13題：用4重貝努里試驗。習題提示(3)習題1.5第17題

(1)

4人血型全不相同：共有4！種情況。習題1.5第18題：記Ai為“第i局甲勝”，Bi為“第i局乙勝”，則三局二勝制時甲最終獲勝為：

A1A2A1B2A3B1A2A3

同理將五局三勝制時甲最終獲勝的各種情況詳細列出?！?.5

習題1，2，4，7，8，10，

13，15，17，18某棋手在晉級比賽中要與甲、乙兩位上一級大師進行比賽，每局比賽中，該棋手勝甲大師的概率為，勝乙大師的概率為，且<?，F(xiàn)規(guī)定與甲、乙輪流進行三局比賽，連嬴二局即可晉級，試問對該棋手而言，以下哪種比賽方案更有利：甲乙甲、乙甲乙。討論題安全閥基本知識如果壓力容器(設備/管線等)壓力超過設計壓力…1.盡可能避免超壓現(xiàn)象堵塞(BLOCKED)火災(FIRE)熱泄放(THERMALRELIEF)如何避免事故的發(fā)生?2.使用安全泄壓設施爆破片安全閥如何避免事故的發(fā)生?01安全閥的作用就是過壓保護!一切有過壓可能的設施都需要安全閥的保護!這里的壓力可以在200KG以上,也可以在1KG以下!設定壓力(setpressure)安全閥起跳壓力背壓(backpressure)安全閥出口壓力超壓(overpressure)表示安全閥開啟后至全開期間入口積聚的壓力.幾個壓力概念彈簧式先導式重力板式先導+重力板典型應用電站鍋爐典型應用長輸管線典型應用罐區(qū)安全閥的主要類型02不同類型安全閥的優(yōu)缺點結構簡單,可靠性高適用范圍廣價格經(jīng)濟對介質不過分挑剔彈簧式安全閥的優(yōu)點預漏--由于閥座密封力隨介質壓力的升高而降低,所以會有預漏現(xiàn)象--在未達到安全閥設定點前,就有少量介質泄出.100%SEATINGFORCE75502505075100%SETPRESSURE彈簧式安全閥的缺點過大的入口壓力降會造成閥門的頻跳,縮短閥門使用壽命.ChatterDiscGuideDiscHolderNozzle彈簧式安全閥的缺點彈簧式安全閥的缺點=10090807060500102030405010%OVERPRESSURE%BUILT-UPBACKPRESSURE%RATEDCAPACITY普通產(chǎn)品平衡背壓能力差.在普通產(chǎn)品基礎上加裝波紋管,使其平衡背壓的能力有所增強.能夠使閥芯內件與高溫/腐蝕性介質相隔離.平衡波紋管彈簧式安全閥的優(yōu)點優(yōu)異的閥座密封性能,閥座密封力隨介質操作壓力的升高而升高,可使系統(tǒng)在較高運行壓力下高效能地工作.ResilientSeatP1P1P2先導式安全閥的優(yōu)點平衡背壓能力優(yōu)秀有突開型/調節(jié)型兩種動作特性可遠傳取壓先導式安全閥的優(yōu)點對介質比較挑剃,不適用于較臟/較粘稠的介質,此類介質會堵塞引壓管及導閥內腔.成本較高.先導式安全閥的缺點重力板式產(chǎn)品的優(yōu)點目前低壓儲罐呼吸閥/緊急泄放閥的主力產(chǎn)品.結構簡單.價格經(jīng)濟.重力板式產(chǎn)品的缺點不可現(xiàn)場調節(jié)設定值.閥座密封性差,并有較嚴重的預漏.受背壓影響大.需要很高的超壓以達到全開.不適用于深冷/粘稠工況.幾個常用規(guī)范ASMEsectionI-動力鍋爐(FiredVessel)ASMEsectionVIII-非受火容器(UnfiredVessel)API2000-低壓安全閥設計(LowpressurePRV)API520-火災工況計算與選型(FireSizing)API526-閥門尺寸(ValveDimension)API527-閥座密封(SeatTightness)介質狀態(tài)(氣/液/氣液雙相).氣態(tài)介質的分子量&Cp/Cv值.液態(tài)介質的比重/黏度.安全閥泄放量要求.設定壓力.背壓.泄放溫度安全閥不以連接尺寸作為選型報價依據(jù)!如何提供高質量的詢價?彈簧安全閥的結構彈簧安全閥起跳曲線彈簧安全閥結構彈簧安全閥結構導壓管活塞密封活塞導向不平衡移動副(活塞)導管導閥彈性閥座P1P1P2先導式安全閥結構先導式安全閥的工作原理頻跳安全閥的頻跳是一種閥門高頻反復開啟關閉的現(xiàn)象。安全閥頻跳時，一般來說密封面只打開其全啟高度的幾分只一或十幾分之一，然后迅速回座并再次起跳。頻跳時，閥瓣和噴嘴的密封面不斷高頻撞擊會造成密封面的嚴重損傷。如果頻跳現(xiàn)象進一步加劇還有可能造成閥體內部其他部分甚至系統(tǒng)的損傷。安全閥工作不正常的因素頻跳后果1、導向平面由于反復高頻磨擦造成表面劃傷或局部材料疲勞實效。2、密封面由于高頻碰撞造成損傷。3、由于高頻振顫造成彈簧實效。4、由頻跳所帶來的閥門及管道振顫可能會破壞焊接材料和系統(tǒng)上其他設備。5、由于安全閥在頻跳時無法達到需要的排放量，系統(tǒng)壓力有可能繼續(xù)升壓并超過最大允許工作壓力。安全閥工作不正常的因素A、系統(tǒng)壓力在通過閥門與系統(tǒng)之間的連接管時壓力下降超過3%。當閥門處于關閉狀態(tài)時，閥門入口處的壓力是相對穩(wěn)定的。閥門入口壓力與系統(tǒng)壓力相同。當系統(tǒng)壓力達到安全閥的起跳壓力時，閥門迅速打開并開始泄壓。但是由于閥門與系統(tǒng)之間的連接管設計不當，造成連接管內局部壓力下降過快超過3%，是閥門入口處壓力迅速下降到回座壓力而導致閥門關閉。因此安全閥開啟后沒有達到完全排放，系統(tǒng)壓力仍然很高，所以閥門會再次起跳并重復上述過程，既發(fā)生頻跳。導致頻跳的原因導致接管壓降高于3%的原因1、閥門與系統(tǒng)間的連接管內徑小于閥門入口管內徑。2、存在嚴重的渦流現(xiàn)象。3、連接管過長而且沒有作相應的補償（使用內徑較大的管道）。4、連接管過于復雜（拐彎過多甚至在該管上開口用作它途。在一般情況下安全閥入口處不允許安裝其他閥門。）導致頻跳的原因B、閥門的調節(jié)環(huán)位置設置不當。安全閥擁有噴嘴環(huán)和導向環(huán)。這兩個環(huán)的位置直接影響安全閥的起跳和回座過程。如果噴嘴環(huán)的位置過低或導向環(huán)的位置過高，則閥門起跳后介質的作用力無法在閥瓣座和調節(jié)環(huán)所構成的空間內產(chǎn)生足夠的托舉力使閥門保持排放狀態(tài)，從而導致閥門迅速回座。但是系統(tǒng)壓力仍然保持較高水平，因此回座后閥門會很快再次起跳。導致頻跳的原因C、安全閥的額定排量遠遠大于所需排量。

由于所選的安全閥的喉徑面積遠遠大于所需，安全閥排放時過大的排量導致壓力容器內局部壓力下降過快，而系統(tǒng)本身的超壓狀態(tài)沒有得到緩解，使安全閥不得不再次起跳頻跳的原因閥門拒跳：當系統(tǒng)壓力達到安全閥的起跳壓力時，閥門不起跳的現(xiàn)象。安全閥工作不正常的因素1、閥門整定壓力過高。2、閥門內落入大量雜質從而使閥辦座和導套間卡死或摩擦力過大。3、彈簧之間夾入雜物使彈簧無法被正常壓縮。4、閥門安裝不當，使閥門垂直度超過極限范圍（正負兩度）從而使閥桿組件在起跳過程中受阻。5、排氣管道沒有被可靠支撐或由于管道受熱膨脹移位從而對閥體產(chǎn)生扭轉力，導致閥體內機構發(fā)生偏心而卡死。安全閥拒跳的原因閥門不回座或回座比過大：安全閥正常起跳后長時間無法回座，閥門保持排放狀態(tài)的現(xiàn)象。安全閥工作不正常的因素1、閥門上下調整環(huán)的位置設置不當。2、排氣管道設計不當造成排氣不暢，由于排氣管道過小、拐彎過多或被堵塞，使排放的蒸汽無法迅速排出而在排氣管和閥體內積累，這時背壓會作用在閥門內部機構上并產(chǎn)生抑制閥門關閉的趨勢。3、閥門內落入大量雜質從而使閥瓣座和導套之間卡死后摩擦力過大。安全閥不回座或回座比過大的因素：4、彈簧之間夾入雜物從而使彈簧被正常壓縮后無法恢復。5、由于對閥門排放時的排放反力計算不足，從而在排放時閥體受力扭曲損壞內部零件導致卡死。6、閥桿螺母（位于閥桿頂端）的定位銷脫落。在閥門排放時由于振動使該螺母下滑使閥桿組件回落受阻。安全閥不回座或回座比過大的因素：7、由于彈簧壓緊螺栓的鎖緊螺母松脫，在閥門排放時由于振動時彈簧壓緊螺栓松動上滑導致閥門的設定起跳值不斷減小。

8、閥門安裝不當，使閥門垂直度超過極限范圍（正負兩度）從而使閥桿組件在回落過程中受阻。

9、閥門的密封面中有雜質，造成閥門無法正常關閉。

10、鎖緊螺母沒有鎖緊，由于管道震動下環(huán)向上運動，上平面高于密封面，閥門回座時無法密封安全閥不回座或回座比過大的因素：謝謝觀看癌基因與抑癌基因oncogene&tumorsuppressorgene24135基因突變概述.癌基因和抗癌基因的概念.癌基因的分類.癌基因產(chǎn)物的作用.癌基因激活的機理主要內容疾?。?/p>

——是人體某一層面或各層面形態(tài)和功能（包括其物質基礎——代謝）的異常，歸根結底是某些特定蛋白質結構或功能的變異，而這些蛋白質又是細胞核中相應基因借助細胞受體和細胞中信號轉導分子接收信號后作出應答（表達）的產(chǎn)物。TranscriptionTranslationReplicationDNARNAProtein中心法規(guī)Whatisgene?基因：

—是遺傳信息的載體

—是一段特定的DNA序列（片段）

—是編碼RNA或蛋白質的一段DNA片段

—是由編碼序列和調控序列組成的一段DNA片段基因主宰生物體的命運：微效基因的變異——生物體對生存環(huán)境的敏感度變化關鍵關鍵基因的變異——生物體疾病——死亡所以才有：“人類所有疾病均可視為基因病”之說注：如果外傷如燒傷、骨折等也算疾病的話，外傷應該無法歸入基因病的行列。Genopathy問：兩個不相干的人，如果他們患得同一疾病，致病基因是否相同？再問：同卵雙生的孿生兄弟，他們患病的機會是否一樣，命運是否相同？┯┯┯┯

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┷┷┷┷增添缺失替換DNA分子(復制)中發(fā)生堿基對的______、______

和

，而引起的

的改變。替換增添缺失基因結構基因變異的概念：英語句子中的一個字母的改變，可能導致句子的意思發(fā)生怎樣的變化？可能導致句子的意思不變、變化不大或完全改變THECATSATONTHEMATTHECATSITONTHEMATTHEHATSATONTHEMATTHECATONTHEMAT同理：替換、增添、缺失堿基對，可能會使性狀不變、變化不大或完全改變。基因的結構改變,一定會引起性狀的改變??原句：1.基因多態(tài)性與致病突變基因變異與疾病的關系2.單基因病、多基因病3.疾病易感基因

基因多態(tài)性polymorphism是指DNA序列在群體中的變異性（差異性）在人群中的發(fā)生概率>1%（SNP&CNP)<1%的變異概率叫做突變基因多態(tài)性特定的基因多態(tài)性與疾病相關時，可用致病突變加以描述SNP:散在單個堿基的不同，單個堿基的缺失、插入和置換。

CNP:DNA片段拷貝數(shù)變異，包括缺失、插入和重復等。同義突變、錯義突變、無義突變、移碼突變

致病突變生殖細胞基因突變將突變的遺傳信息傳給下一代(代代相傳),即遺傳性疾病。體細胞基因突變局部形成突變細胞群（腫瘤）。受精卵分裂基因突變的原因物理因素化學因素生物因素基因突變的原因（誘發(fā)因素）紫外線、輻射等堿基類似物5BU/疊氮胸苷等病毒和某些細菌等自發(fā)突變DNA復制過程中堿基配對出現(xiàn)誤差。UV使相鄰的胸腺嘧啶產(chǎn)生胸腺嘧啶二聚體,DNA復制時二聚體對應鏈空缺，堿基隨機添補發(fā)生突變。胸腺嘧啶二聚體胸腺嘧啶胸腺嘧啶紫外線誘變物理誘變(physicalinduction)

5溴尿嘧啶(5BU)與T類似，多為酮式構型。間期細胞用酮式5BU處理，5BU能插入DNA取代T與A配對；插入DNA后異構成烯醇式5BU與G配對。兩次DNA復制后,使A/T轉換成G/C，發(fā)生堿基轉換,產(chǎn)生基因突變?；瘜W誘變(chemicalinduction)堿基類似物(baseanalogues)誘變AT5-BUA5-BUAAT5-BU5-BU(烯醇式)

(酮式)GGC1.生物變異的根本來源，為生物進化提供了最初的原始材料,能使生物的性狀出現(xiàn)差別，以適應不同的外界環(huán)境，是生物進化的重要因素之一。2.致病突變是導致人類遺傳病的病變基礎?；蛲蛔兊囊饬x概述：腫瘤細胞惡性增殖特性（一）腫瘤細胞失去了生長調節(jié)的反饋抑制正常細胞受損,一旦恢復原狀，細胞就會停止增殖，但是腫瘤細胞不受這一反饋機制抑制。（二）腫瘤細胞失去了細胞分裂的接觸抑制。正常細胞體外培養(yǎng)，相鄰細胞相接觸，長在一起，細胞就會停止增殖，而腫瘤細胞生長滿培養(yǎng)皿后，細胞可以重疊起生長。（三）腫瘤細胞表現(xiàn)出比正常細胞更低的營養(yǎng)要求。（四）腫瘤細胞生長有一種自分泌作用，自己分泌生長需要的生長因子和調控信號,促進自身的惡性增殖。Whatisoncogene?癌基因——是基因組內正常存在的基因，其編碼產(chǎn)物通常作為正調控信號，促進細胞的增殖和生長。癌基因的突變或表達異常是細胞惡性轉化（癌變）的重要原因?！彩悄芫幋a生長因子、生長因子受體、細胞內信號轉導分子以及與生長有關的轉錄調節(jié)因子等的基因。如何發(fā)現(xiàn)癌基因的呢?11910年，洛克菲勒研究院一個年輕的研究員Rous發(fā)現(xiàn)，雞肉瘤細胞裂解物在通過除菌濾器以后，注射到正常雞體內，可以引起肉瘤，首次提出雞肉瘤可能是由病毒引起的。0.2m孔徑細菌過不去但病毒可以通過從病毒癌基因到細胞原癌基因的研究歷程：Roussarcomavirus,RSVthefirstcancer-causingretr