高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.2.2事件的相互獨立性學(xué)案新人教A版選修2-

2．2.2事件的相互獨立性，了解兩個事件相互獨立的概念．2．能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題．,1．相互獨立的概念設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．2．相互獨立的性質(zhì)若事件A與B相互獨立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨立．[注意]事件A，B相互獨立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B)．(1)充分性：由定義知P(AB)＝P(A)·P(B)時，事件A，B相互獨立．(2)必要性：由A，B相互獨立得P(B|A)＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立．()(2)必然事件與任何一個事件相互獨立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．()答案：(1)√(2)√(3)√若事件E與F相互獨立，且P(E)＝P(F)＝eq\f(1,4)，則P(EF)的值等于()A．0B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案：B下列事件A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．?dāng)S一枚骰子，A表示“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B表示“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A表示“一個燈泡能用1000小時”，B表示“一個燈泡能用2000小時”答案：A探究點1相互獨立事件的判斷判斷下列各對事件，哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件？(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件N：“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”；(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件B：“出現(xiàn)3點或6點”；(3)袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M：“第一次摸到白球”，事件N：“第二次摸到白球”．【解】(1)二者不可能同時發(fā)生，所以M與N是互斥事件．(2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，故事件A與事件B相互獨立，A，B不是互斥事件．(3)事件M是否發(fā)生對事件N發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件．eq\a\vs4\al()判斷兩個事件是否獨立的兩種方法(1)根據(jù)問題的實質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的概率來判斷，若沒有影響，則兩個事件就是相互獨立事件；(2)定義法：通過式子P(AB)＝P(A)P(B)來判斷兩個事件是否獨立，若上式成立，則事件A，B相互獨立，這是定量判斷.一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A(yù)＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論A與B的獨立性：(1)家庭中有兩個小孩．(2)家庭中有三個小孩．解：(1)有兩個小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4個基本事件，由等可能性知概率都為eq\f(1,4).這時A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互獨立．(2)有三個小孩的家庭，小孩為男孩、女孩的所有可能情形為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知這8個基本事件的概率均為eq\f(1,8)，這時A中含有6個基本事件，B中含有4個基本事件，AB中含有3個基本事件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，顯然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．從而事件A與B是相互獨立的．探究點2相互獨立事件同時發(fā)生的概率甲、乙2個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2個人都譯出密碼的概率；(2)2個人都譯不出密碼的概率；(3)至多1個人譯出密碼的概率．【解】記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼“為事件B，A與B為相互獨立事件，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)“2個人都譯出密碼”的概率為：P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“2個人都譯不出密碼”的概率為：P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,2).(3)“至多1個人譯出密碼”的對立事件為“2個人都譯出密碼”，所以至多1個人譯出密碼的概率為：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,12).[變問法]在本例條件下，求：(1)恰有1個人譯出密碼的概率；(2)至少1個人譯出密碼的概率．解：(1)“恰有1個人譯出密碼”可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有1個人譯出密碼的概率為：P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(2)“至少1個人譯出密碼”的對立事件為“2個人都未譯出密碼”，所以至少1個人譯出密碼的概率為：1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()相互獨立事件概率的求解方法(1)應(yīng)用相互獨立事件同時發(fā)生的概率的乘法公式求概率的解題步驟：①確定各事件是相互獨立的；②確定各事件會同時發(fā)生；③先求每個事件發(fā)生的概率，再求其積．(2)解決這類問題的關(guān)鍵是將事件看作若干事件相互獨立的情形，還要注意互斥事件的拆分，以及對立事件概率的求法，即三個公式的聯(lián)用：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)，P(A)＝1－P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)(A，B相互獨立)．某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲、乙、丙三人100m跑(互不影響)的成績在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若對這三名短跑運動員的100m跑的成績進行一次檢測，則(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出現(xiàn)幾人合格的概率最大．解：記“甲、乙、丙三人100m跑成績合格”分別為事件A，B，C，顯然事件A，B，C相互獨立，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).設(shè)恰有k人合格的概率為Pk(k＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有兩人合格的概率：P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).綜合(1)(2)(3)可知P1最大．所以出現(xiàn)恰有1人合格的概率最大．探究點3相互獨立事件的綜合應(yīng)用在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾要彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率．(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列．【解】(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).因為事件A與B相互獨立，所以觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(或P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(4,15))．(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，因為X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P(ABC)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，所以X的分布列為X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)eq\a\vs4\al()概率問題中的數(shù)學(xué)思想(1)正難則反．靈活應(yīng)用對立事件的概率關(guān)系(P(A)＋P(A)＝1)簡化問題，是求解概率問題最常用的方法．(2)化繁為簡．將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率，即尋找所求事件與已知事件之間的關(guān)系．“所求事件”分幾類(考慮加法公式，轉(zhuǎn)化為互斥事件)還是分幾步組成(考慮乘法公式，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件)．(3)方程思想．利用有關(guān)的概率公式和問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程(組)，通過解方程(組)使問題獲解．一個箱子中原來裝有大小相同的5個小球，其中3個紅球，2個白球，規(guī)定：進行一次操作是指“從箱子中隨機取出一個球，如果取出的是紅球，則把它放回箱子中；如果取出的是白球，則該球不放回，并另補一個紅球放到箱子中”．(1)求進行第二次操作后，箱子中紅球個數(shù)為4的概率；(2)求進行第二次操作后，箱子中紅球個數(shù)ξ的分布列．解：(1)進行第二次操作后，箱子中紅球個數(shù)為4的對應(yīng)事件為兩次操作恰好一次白球一次紅球，所以概率為：P＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(14,25).(2)由題意進行第二次操作后，箱子中紅球個數(shù)ξ的可能取值為3，4，5，P(ξ＝3)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，P(ξ＝4)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(14,25)，P(ξ＝5)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,25)，所以箱子中紅球個數(shù)ξ的分布列為：ξ345Peq\f(9,25)eq\f(14,25)eq\f(2,25)1．(2018·云南曲靖一中期中)某人提出一個問題，甲先答，，如果甲答錯，由乙答，答對的概率為0.5，則問題由乙答對的概率為()C．解析：選D.由相互獨立事件同時發(fā)生的概率可知，問題由乙答對的概率為P，故選D.2．甲、乙兩班各有36名同學(xué)，甲班有9名三好學(xué)生，乙班有6名三好學(xué)生，兩班各派1名同學(xué)參加演講活動，派出的恰好都是三好學(xué)生的概率是()A.eq\f(5,24)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,24)D.eq\f(3,8)解析：選C.兩班各自派出代表是相互獨立事件，設(shè)事件A、B分別為甲班、乙班派出的是三好學(xué)生，則事件AB為兩班派出的都是三好學(xué)生，則P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(9,36)×eq\f(6,36)＝eq\f(1,24).3．某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺僭O(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：(1)第3次撥號才接通電話；(2)撥號不超過3次而接通電話．解：設(shè)Ai＝{第i次撥號接通電話}，i＝1，2，3.(1)第3次才接通電話可表示為A1－A2－A3，于是所求概率為P(A1－A2－A3)＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,10).(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為A1＋A1A2＋A1－A2－A3，于是所求概率為P(A1＋A1－A2＋A1－A2－A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1－A2－A3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＋eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(3,10).

知識結(jié)構(gòu)深化拓展1.互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作：AB互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作：A∪B(或A＋B)計算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2．與相互獨立事件A，B有關(guān)的概率計算公式事件A，B的各種情形概率計算公式A，B同時發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個不發(fā)生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個發(fā)生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰好有一個發(fā)生P＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B),[A基礎(chǔ)達標(biāo)]1．(2018·廣州綜合測試)投擲一枚均勻硬幣和一顆均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：選C.因為P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(5,6).又A，B為相互獨立事件，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12).所以A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).2．把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意地擲一次，下列各組事件是獨立事件的組數(shù)為()①A＝{擲出偶數(shù)點}，B＝{擲出奇數(shù)點}；②A＝{擲出偶數(shù)點}，B＝{擲出3點}；③A＝{擲出偶數(shù)點}，B＝{擲出3的倍數(shù)點}；④A＝{擲出偶數(shù)點}，B＝{擲出的點數(shù)小于4}；A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.①P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝0，所以A與B不獨立．②P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝0，A與B不獨立．③P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝P(A)P(B)，所以A與B獨立．④P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(A)P(B)≠P(AB)，所以A與B不獨立．3．某種開關(guān)在電路中閉合的概率為p，現(xiàn)將4只這種開關(guān)并聯(lián)在某電路中(如圖所示)，若該電路為通路的概率為eq\f(65,81)，則p＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B.因為該電路為通路的概率為eq\f(65,81)，所以該電路為不通路的概率為1－eq\f(65,81)，只有當(dāng)并聯(lián)的4只開關(guān)同時不閉合時該電路不通路，所以1－eq\f(65,81)＝(1－p)4，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)．故選B.4．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，則eq\f(2,3)等于()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率解析：選C.分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事件A、B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互獨立，所以1－P(A)P(B)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).根據(jù)互斥事件可知C正確．5．(2018·重慶外國語學(xué)校高二期末)已知A，B是相互獨立事件，若P(A，P(AB＋AB＋AB，則P(B)＝()解析：選A.因為A，B是相互獨立事件，所以A，B和A，B均相互獨立．因為P(A，P(AB＋AB＋AB)＝，所以P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝，P(BP(B)＋0.2[1－P(B，解得P(B)＝0.3.6．某自助銀行設(shè)有兩臺ATM機．在某一時刻這兩臺ATM機被占用的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，則客戶此刻到達需要等待的概率為________．解析：客戶需要等待意味著這兩臺ATM機同時被占用，故所求概率為P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．事件A，B，C相互獨立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(BC)＝eq\f(1,8)，P(ABC)＝eq\f(1,8)，則P(B)＝________，P(AB)＝________．解析：因為P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(AB)P(C)＝eq\f(1,6)P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(C)＝eq\f(3,4)，即P(C)＝eq\f(1,4).又P(BC)＝P(B)·P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(B)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2).又P(AB)＝eq\f(1,6)，則P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,3)8．有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，按包裝可分精裝、平裝兩種，精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，則這一事件的概率是________．解析：設(shè)“任取一本書是文科書”為事件A，“任取一本書是精裝書”為事件B，則A，B是相互獨立事件，所求概率為P(AB)．據(jù)題意可知P(A)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)9．某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考三門課程，至少有兩門及格為考試通過．方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別為0.5，0.6，0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．求：(1)該應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率；(2)該應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率．解：記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，則P(A，P(B，P(C)＝0.9.(1)應(yīng)聘者用方案一考試通過的概率為p1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋××＝0.75.(2)應(yīng)聘者用方案二考試通過的概率為p2＝eq\f(1,3)P(AB)＋eq\f(1,3)P(BC)＋eq\f(1,3)P(AC)＝eq\f(1,3)×0.5×0.6＋eq\f(1,3)×0.6×0.9＋eq\f(1,3)＝0.43.10．如圖所示的正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一點(每次都能投中)，記“投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域”為事件A，“投中最上面3個小正方形區(qū)域”為事件B.(1)求P(AB)，P(B|A)；(2)試判斷事件A與事件B是否相互獨立.解：(1)根據(jù)幾何概型，得P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,9),\f(1,3))＝eq\f(1,3).(2)根據(jù)幾何概型，得P(B)＝eq\f(1,3)，所以有P(B|A)＝P(B)，即P(B)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，因而P(A)P(B)＝P(AB)．由獨立事件的定義，得事件A與事件B相互獨立．[B能力提升]11．設(shè)兩個相互獨立事件A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，則A與B都發(fā)生的概率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8,9))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(5,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,9))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9)))解析：選D.設(shè)事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，則P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－x)·(1－y)＝eq\f(1,9)，即1＋xy＝eq\f(1,9)＋x＋y≥eq\f(1,9)＋2eq\r(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取“＝”，所以eq\r(xy)≤eq\f(2,3)或eq\r(xy)≥eq\f(4,3)(舍去)，所以0≤xy≤eq\f(4,9).所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9))).12．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機任意取出兩瓶，若取出的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率是________．解析：設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C，且B與C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),