高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題學(xué)案

高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題關(guān)鍵能力·題型突破題型一離散型隨機(jī)變量的均值與方差例1[2023·安徽皖江名校聯(lián)考]國(guó)慶節(jié)期間，某大型服裝團(tuán)購(gòu)會(huì)舉辦了一次“你消費(fèi)我促銷”活動(dòng)，顧客消費(fèi)滿300元(含300元)可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種(顧客只能選擇其中的一種)．方案一：從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出3個(gè)球，每摸出1次紅球，立減100元．方案二：從裝有10個(gè)形狀，大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地摸出3個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出2個(gè)紅球，1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，則打折；其余情況不打折．(1)某顧客恰好消費(fèi)300元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付金額的分布列和期望；(2)若顧客消費(fèi)500元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理？題后師說離散型隨機(jī)變量的均值與方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列再代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率的對(duì)應(yīng)．鞏固訓(xùn)練1[2023·河北邢臺(tái)模擬]全民國(guó)防教育日是每年9月的第三個(gè)星期六，它是國(guó)家設(shè)定的對(duì)全民進(jìn)行大規(guī)模國(guó)防教育的主題活動(dòng)日．目的是弘揚(yáng)愛國(guó)主義精神，普及國(guó)防教育，使全民增強(qiáng)國(guó)防觀念，掌握必要的國(guó)防知識(shí)和軍事技能，自覺履行國(guó)防義務(wù)，關(guān)心、支持、參與國(guó)防建設(shè)．為更好推動(dòng)本次活動(dòng)開展，某市組織了國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽．比賽規(guī)則：每單位一名選手參加，比賽進(jìn)行n輪(n∈N*)，每輪比賽選手從A組題或B組題中抽取一道回答．每選手必須先回答A組題，若答對(duì)則下一輪回答B(yǎng)組題，若答錯(cuò)回答A組題．答對(duì)A組一題得10分，否則得0分，答對(duì)B組一題得20分，否則得0分，n輪結(jié)束累加總分．已知某單位擬選派甲乙中一人參賽，且甲答對(duì)A組題概率為，答對(duì)B組題概率為，乙答對(duì)A組題概率為，答對(duì)B組題概率為，且每人答對(duì)每道題相互獨(dú)立．問：(1)若比賽僅進(jìn)行兩輪，則安排甲乙誰(shuí)參賽更合適？(2)若安排甲選手參賽，求第四輪甲恰好回答B(yǎng)組題的概率．題型二概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合例2[2023·安徽馬鞍山模擬]某廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，對(duì)兩種產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，其指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示：以該項(xiàng)指標(biāo)作為衡量產(chǎn)品質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)，該項(xiàng)指標(biāo)劃分等級(jí)和收益率如下表，其中15<p<1(注：收益率＝利潤(rùn)總投資額等級(jí)一等品二等品三等品指標(biāo)值mm≥140120≤m<140m<120產(chǎn)品收益率p4p2p2(1)求a的值；(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似看作概率，用樣本估計(jì)總體．①?gòu)漠a(chǎn)品B中隨機(jī)抽取3件，求其中一等品件數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②在總投資額相同的情況下，若全部投資產(chǎn)品A或產(chǎn)品B，試分析投資哪種產(chǎn)品收益更大．題后師說概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合主要以頻率分布直方圖、扇形圖、折線圖為載體，考查樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)以及概率的計(jì)算，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．鞏固訓(xùn)練2[2023·河北滄州模擬]2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國(guó)際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：(1)在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求這3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人的概率；(2)“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記X為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為13，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到5次，題型三概率與回歸模型的綜合例3[2023·黑龍江哈爾濱模擬]2022年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)市民接種第三針新冠疫苗．某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的疫苗接種人數(shù)與第三針接種人數(shù)(單位：萬(wàn))，得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)疫苗接種人數(shù)x/萬(wàn)681012第三針接種人數(shù)y/萬(wàn)2356(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝a+bx(若|r|≥，則線性相關(guān)程度很高，可用直線擬合(2)若A區(qū)市民甲、乙均在某日接種疫苗，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，上午和下午接種疫苗分別需等待20分鐘和30分鐘，已知甲、乙在上午接種疫苗的概率分別為p、3p－2(23<p<1)，且甲、乙兩人需要等待時(shí)間的總和的期望不超過50分鐘，求實(shí)數(shù)p的取值范圍題后師說求解概率與回歸模型的綜合問題時(shí)，一要正確運(yùn)用回歸模型有關(guān)的公式和數(shù)據(jù)計(jì)算，二要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練3[2023·廣東東莞模擬]《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興加快農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化的意見》，這是21世紀(jì)以來第18個(gè)指導(dǎo)“三農(nóng)”工作的中央一號(hào)文件．文件指出，民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興．為助力鄉(xiāng)村振興，某電商平臺(tái)為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場(chǎng)．為了對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，用不同的單價(jià)在平臺(tái)試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元/件)89銷量y(萬(wàn)件)908483807568(1)(ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(ⅱ)若該產(chǎn)品成本是7元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測(cè)把單價(jià)定為多少時(shí)，工廠獲得最大利潤(rùn)．(2)為了解該產(chǎn)品的價(jià)格是否合理，在試銷平臺(tái)上購(gòu)買了該產(chǎn)品的顧客中隨機(jī)抽了400人，閱讀“購(gòu)買后的評(píng)價(jià)”得知：對(duì)價(jià)格滿意的有300人，基本滿意的有50人，不滿意的有50人．為進(jìn)一步了解顧客對(duì)該產(chǎn)品價(jià)格滿意度形成的原因，在購(gòu)買該產(chǎn)品的顧客中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行電話回訪，記抽取的4人中對(duì)價(jià)格滿意的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(視頻率為相應(yīng)事件發(fā)生的概率)題型四概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合例4[2023·重慶八中模擬]2022年卡塔爾世界杯于11月20日開賽，某國(guó)家隊(duì)為了考察甲球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：球隊(duì)勝球隊(duì)負(fù)總計(jì)甲參加30b60甲未參加c10f總計(jì)60en(1)根據(jù)小概率值α＝的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)？(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員能夠勝任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為：，，；在甲出任前鋒、中場(chǎng)、后衛(wèi)的條件下，球隊(duì)輸球的概率依次為：，，，則；①當(dāng)甲參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率；②當(dāng)甲參加比賽時(shí)，在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)的概率；③如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí)，該如何使用甲球員？附表及公式：αxαχ2＝n題后師說求解概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題時(shí)，一要根據(jù)公式計(jì)算準(zhǔn)確，二要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練4[2023·河北石家莊模擬]我國(guó)政府加大了對(duì)全民閱讀的重視程度，推行全民閱讀工作，全民閱讀活動(dòng)在全國(guó)各地蓬勃發(fā)展，活動(dòng)規(guī)模不斷擴(kuò)大，內(nèi)容不斷充實(shí)，方式不斷創(chuàng)新，影響日益擴(kuò)大，使我國(guó)國(guó)民素質(zhì)得到了大幅度提高．某高中為響應(yīng)政府號(hào)召，在寒假中對(duì)本校高三800名學(xué)生(其中男生480名)按性別采用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解他們每天的閱讀情況．每天閱讀時(shí)間低于1h每天閱讀時(shí)間不低于1h總計(jì)男生60女生20總計(jì)200(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表，判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為該高中高三學(xué)生“每天閱讀時(shí)間低于1h”與“性別”有關(guān)？(3)若從抽出的200名學(xué)生中按“每天閱讀時(shí)間是否低于1h”采用分層抽樣抽取10名學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)行讀寫測(cè)試，在這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記這3名學(xué)生每天閱讀時(shí)間不低于1h的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝aαxα題型五概率與函數(shù)、不等式、數(shù)列的綜合例5[2023·遼寧大連模擬]某網(wǎng)絡(luò)科技公司在年終總結(jié)大會(huì)上，為增添喜悅、和諧的氣氛，設(shè)計(jì)了闖關(guān)游戲這一環(huán)節(jié)，闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功．其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識(shí)題”“生活常識(shí)題”“影視藝術(shù)常識(shí)題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有兩道答對(duì)；方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對(duì)．方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過第一關(guān)．假設(shè)程序員甲和程序員乙答對(duì)這3道題中每一道題的概率都是p(p∈(0，1))，且這3道題是否答對(duì)相互之間沒有影響．程序員甲選擇了方案一，程序員乙選擇了方案二．(1)求甲和乙各自通過第一關(guān)的概率；(2)設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為ξ，是否存在唯一的p的值p0，使得E(ξ)＝1？并說明理由．題后師說在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實(shí)現(xiàn)．鞏固訓(xùn)練5[2023·福建廈門模擬]某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)經(jīng)計(jì)算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差S的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(用樣本平均數(shù)x和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為μ、σ的近似值)，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程X∈[250，400]的概率；(參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈3)(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上(方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0、1、2、3、…、20)移動(dòng)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”(第19格)，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬(wàn)元；若遙控車最終停在“微笑大本營(yíng)”(第20格)，則沒有任何優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次：若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格(從k到k＋1)；若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格(從k到k＋2)，直到遙控車移到“勝利大本營(yíng)”或“微笑大本營(yíng)”時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第n(1≤n≤19)格的概率為Pn，試證明{Pn－Pn－1}是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值(精確到萬(wàn)元)1.[2022·新高考Ⅱ卷]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率．(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到1)．2．[2021·新高考Ⅱ卷]一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝，p1＝，p2＝，p3＝，求E(X)；(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義．高考大題研究課十一概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題關(guān)鍵能力·題型突破例1解析：(1)設(shè)實(shí)付金額為X元，X可能的取值為0，100，200，300，則P(X＝0)＝153＝P(X＝100)＝C32P(X＝200)＝C31P(X＝300)＝453＝故X的分布列為X0100200300P1124864所以E(X)＝0×1125＋100×12125＋200×48125＋300×64125＝240(2)若選擇方案一，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為Y，實(shí)付金額為φ，則φ＝500－100Y，由題意可得Y～B(3，15)，故E(Y)＝3×15＝所以E(φ)＝E(500－100Y)＝500－100E(Y)＝500－60＝440(元)；若選擇方案二，設(shè)實(shí)付金額為η元，η可能的取值為0，250，375，500，則P(η＝0)＝C22CP(η＝250)＝C22CP(η＝375)＝C21CP(η＝500)＝1－1120-7故η的分布列為η0250375500P17749所以E(η)＝0×1120＋250×7120＋375×760＋500×4960≈因?yàn)镋(φ)<E(η)，故從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇方案一更合理．鞏固訓(xùn)練1解析：(1)依題意，總分x的所有可能取值為0，10，30，若甲參賽，記“甲在第i輪答題且答對(duì)”為事件Ai(i＝1，2)，P(x＝0)＝P(A1A2)＝P(x＝10)＝P(A1A2＋A1A2)＝×＋×P(x＝30)＝P(A1A2)＝×＝，所以x的分布列為x01030P∴E(x)＝0×＋10×＋30×＝，同理可得，若乙參賽，記“乙在第i輪答題且答對(duì)”分別為事件Bi(i＝1，2)，P(x＝0)＝P(B1B2)＝P(x＝10)＝P(B1B2＋B1B2)＝×＋×P(x＝30)＝P(B1B2)＝×＝，所以x的分布列為x01030PE(x)＝0×＋10×＋30×＝，∵，∴安排甲參賽得分期望高于乙參賽得分期望，安排甲參賽更合適．(2)設(shè)“甲在第i輪回答B(yǎng)組題”的事件為Ai，i＝2，3，4.則事件A4發(fā)生包括“甲在第三輪回答A組題且回答正確”和“甲在第三輪回答B(yǎng)組題且回答正確”．∴P(A4)＝(1－P(A3))＋P(A3)×＝－P(A3)，同理：P(A3)＝－P(A2)，而P(A2)＝，∴P(A3)＝－×＝，P(A4)＝－×＝，∴甲參賽且第四輪正好回答B(yǎng)組題概率為0.632.例2解析：(1)由題可得(＋＋＋＋a)×10＝1，解得a＝0.030.(2)①由直方圖知：產(chǎn)品B為一等品的概率是35，二等品概率是310，三等品概率是由題知隨機(jī)抽取3件是一等品的件數(shù)X可能的取值是0，1，2，3，且X～B(3，35)，P(X＝0)＝C30253350＝8125，P(X＝2)＝C32P(X＝3)＝C33則X的分布列為：X0123P8365427∴E(X)＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27②由題可得，產(chǎn)品A為一等品的概率為710，二等品的概率為14，三等品的概率為產(chǎn)品B為一等品的概率為35，二等品的概率為310，三等品的概率為產(chǎn)品A的收益：E1＝710p＋14×4p2＋120p2＝2120p2產(chǎn)品B的收益：E2＝35p＋310×4p2＋110p2＝1310p2∴E2－E1＝520p2－110p＝120p(5p－因?yàn)?5<p<1所以E2－E1<0，即E2<E1，故投資產(chǎn)品A的收益更大．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)記“從10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人”為事件A，參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇3所學(xué)校共C43＝4，所以P(A)＝C43(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，參與“單板滑雪”人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所，所以P(X＝0)＝C40·C6P(X＝1)＝C41·C6P(X＝2)＝C42·C6P(X＝3)＝C43·C6所以X的分布列如下表：X0123P1131所以E(X)＝12＋2×310＋3×130(3)記“小明同學(xué)在一輪測(cè)試中要想獲得優(yōu)秀”為事件B，則P(B)＝C32由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B(n，727)由題意列式727n≥5，得n≥135因?yàn)閚∈N*，所以n的最小值為20，故至少要進(jìn)行20輪測(cè)試．例3解析：(1)由題：x＝6+8+10+124＝9，y＝2+3+5+64＝i=14xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，i=14xi2＝62＋82＋102＋所以相關(guān)系數(shù)r＝158-4×9×4說明y與x之間的線性相關(guān)程度很高，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系．b＝158-4×9×4344-4×92＝1420＝，a故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝－2.3.(2)設(shè)甲、乙兩人排隊(duì)總時(shí)間為X，則X的所有可能取值為40，50，60，P(X＝40)＝p(3p－2)＝3p2－2p，P(X＝50)＝(1－p)(3p－2)＋p(3－3p)＝－6p2＋8p－2，P(X＝60)＝(1－p)(3－3p)＝3p2－6p＋3.所以E(X)＝(3p2－2p)×40＋(－6p2＋8p－2)×50＋(3p2－6p＋3)×60＝－40p＋80，由－40p＋80≤50，得p≥34又23<p<1，所以34≤故p的取值范圍為[34，1)鞏固訓(xùn)練3解析：(1)(ⅰ)x＝8+8.2+8.4+8.6+8.8+96＝y(tǒng)＝90+84+83+80+75+686＝80∴b＝i=16xiyi-6∴a＝y(tǒng)-bx＝80＋20×∴經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝－20x＋250.(ⅱ)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)萬(wàn)元，則L＝(x－7)(－20x＋250)＝－20(x－)2＋，∴該產(chǎn)品的單價(jià)定為元時(shí)，工廠獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．(2)由題設(shè)可知對(duì)價(jià)格滿意的頻率為34，基本滿意和不滿意的頻率為1隨機(jī)變量X～B(4，34)，P(X＝k)＝C4k34k144－k(k隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01234P13272781隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝4×34＝例4解析：(1)依題意，b＝30，c＝30，e＝40，f＝40，n＝100，零假設(shè)為H0：球隊(duì)勝利與甲球員參賽無(wú)關(guān)，χ2＝100×30根據(jù)小概率值α＝的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025.(2)①設(shè)A1表示“甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒”；A2表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)”；A3表示“甲球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”；B表示“球隊(duì)輸?shù)裟硤?chǎng)比賽”，有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，則P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，所以該球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率是0.4.②由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)中場(chǎng)的概率P(A2|B)＝PA2BP③由①知，球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率P(A1|B)＝PA1BP球隊(duì)輸?shù)臈l件下，甲球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)的概率P(A3|B)＝PA3BP由②知，P(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B)＝∶∶＝1∶5∶14，所以，應(yīng)該多讓甲球員擔(dān)任前鋒，來擴(kuò)大贏球場(chǎng)次．鞏固訓(xùn)練4解析：(1)200名學(xué)生中，男生人數(shù)為200×480800＝120，女生人數(shù)為200－120＝80，每天閱讀時(shí)間低于1h每天閱讀時(shí)間不低于1h總計(jì)男生6060120女生206080總計(jì)80120200(2)根據(jù)列聯(lián)表可得：χ2＝200×60×60-20×602120×80×120×80＝252＝，所以有(3)200名學(xué)生中“每天閱讀時(shí)間不低于1h”的人數(shù)為120人，因此抽取10名學(xué)生“每天閱讀時(shí)間不低于1h”的人數(shù)為6人，而X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝C43C103＝130，P(X＝1)＝C61C42C103＝310，P(X所以X的分布列為：X0123P1311E(X)＝0×13＋1×310＋2×12＋3×1例5解析：(1)設(shè)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，由題意，得X～B(3，p)．甲通過第一關(guān)的概率為P1＝C32p21－p＋C33乙通過第一關(guān)的概率為P2＝p2.(2)ξ的可能取值為0，1，2，則P(ξ＝0)＝(1－P1)(1－P2)，P(ξ＝1)＝P1(1－P2)＋(1－P1)P2，P(ξ＝2)＝P1P2，所以E(ξ)＝0×(1－P1)(1－P2)＋1×[P1(1－P2)＋(1－P1)P2]＋2×P1P2＝P1＋P2＝3p2－2p3＋p2＝4p2－2p3.設(shè)f(p)＝4p2－2p3－1(0<p<1)，則f′(p)＝8p－6p2＝2p(4－3p)>0，從而當(dāng)0<p<1時(shí)，f(p)為增函數(shù)，又f(0)＝－1，f(1)＝1，所以存在唯一的p的值p0，使得f(p)＝0，即E(ξ)＝1.鞏固訓(xùn)練5解析：(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：x＝205×＋255×＋305×＋355×＋405×＝300；(2)∵X～N(300，502)，∴P(250≤X≤400)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)≈0.68272+0.9545(3)由題可知P0＝1，P1＝12遙控車移到第n(2≤n≤19)格有兩種可能：①遙控車先到第n－2格，又?jǐn)S出反面，其概率為12Pn－2②遙控車先到第n－1格，又?jǐn)S出正面，其概率為12Pn－1∴Pn＝12Pn－2＋12Pn－∴2≤n≤19時(shí)，Pn－Pn－1＝－12(Pn－1－Pn－2)，又∵P1－P0＝－12≠∴當(dāng)1≤n≤19時(shí)，數(shù)列{Pn－Pn－1}首項(xiàng)為－12，公比為－12∴P1－P0＝－12，P2－P1＝-122，P3－P2＝-123，…，Pn－以上各式相加，得Pn－1＝-12+-122＋-123＋…＋∴1≤n≤19時(shí)，Pn＝23∴到達(dá)“勝利大本營(yíng)”的概率P19＝23-1∴設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為Y萬(wàn)元，則Y＝3或0，∴Y的期望E(Y)＝3·P19＋0·(1－P19)＝3·(23-13·1219)∴參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為萬(wàn)元．真題展臺(tái)——知道高考考什么？1．解析：(1)平均年齡x＝(5×＋15×＋25×＋35×＋45×＋55×＋65×＋75×