第23講幾何圖形面積中的分類討論-【多題一解一題多解】沖刺中考數(shù)學(xué)滿分應(yīng)對方法與策略（全國通用）

第23講幾何圖形面積中的分類討論【應(yīng)對方法與策略】知識內(nèi)容：固定面積的存在性問題最為簡單，在待求圖形中，往往只有一個是變量，此時只需通過方程將其解出即可．解題思路：根據(jù)題目條件，求出相應(yīng)的固定面積；找到待求圖形合適的底和高；列出方程，解出相應(yīng)變量；根據(jù)題目實(shí)際情況，驗(yàn)證所有可能點(diǎn)是否滿足要求并作答．【多題一解】【一題多解】一、解答題1．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒．(1)求、OB的長；(2)連接，若的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；(3)過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)且(3)3或9【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出m、n的值，即可得出答案；（2）分兩種情況進(jìn)行討論，用t表示出三角形的面積，然后分別求出t的取值范圍即可；（3）根據(jù)時，一定要使，然后分兩種情況：P在線段上時或P在線段的延長線上進(jìn)行討論，求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，解得：，，∴，；（2）解：分為兩種情況：①當(dāng)P在線段上時，如圖所示：，，∴的面積，∵若的面積不大于3且不等于0，∴，解得：；②當(dāng)P在線段的延長線上時，如圖所示：∵，，∴的面積，∵若的面積不大于3且不等于0，∴，解得：；即t的范圍是且；（3）解：∵，∴，分兩種情況：①當(dāng)P在線段上時，如圖所示：∵，∴；②當(dāng)P在線段的延長線上時，如圖所示：∵，∴；即存在這樣的點(diǎn)P，使，t的值是3或9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對值的非負(fù)性和算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形面積的計(jì)算，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的非負(fù)性和算術(shù)平方根的非負(fù)性，注意進(jìn)行分類討論．2．（2022春·廣東湛江·八年級吳川市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．線段平行于x軸，交直線于點(diǎn)D，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿對角線以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，直到點(diǎn)D為止：動點(diǎn)Q同時從點(diǎn)D出發(fā)，沿對角線以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，直到點(diǎn)O為止．設(shè)兩個點(diǎn)的運(yùn)動時間均為1秒，當(dāng)時，求的面積．(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動至四邊形為矩形時，求t的值．【答案】(1)見解析(2)12(3)當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動至四邊形為矩形時的值為或【分析】（1）代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得出值確定直線的解析式，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)，，即可證四邊形是平行四邊形；（2）作于，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出的長度，根據(jù)運(yùn)動時間求出的長度即可確定的面積；（3）根據(jù)對角線相等確定的長度，再根據(jù)、的位置分情況計(jì)算出值即可．【詳解】（1）解：直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，即直線的解析式為，當(dāng)時，，，線段平行于軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)一樣，又點(diǎn)在直線上，當(dāng)時，，即，，，，∵，四邊形是平行四邊形；（2）作于，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，由勾股定理，得，即，整理得或8（舍去），，，當(dāng)時，，；（3），當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動至四邊形為矩形時，，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，綜上，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動至四邊形為矩形時的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級嘉祥縣第四中學(xué)校考期末）已知，如圖拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為，．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形AOCD面積的最大值；(3)若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝x2＋x?3(3)存在P1（?3，?3），P2（，3），P3（,3）【分析】（1）根據(jù)OC＝3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，?3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2＋3ax＋c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)D作DE∥y軸分別交線段AC于點(diǎn)E．設(shè)D（m，m2＋2m?3），然后求出DE的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC＋S△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；（3）①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，由題意可知點(diǎn)P2、P3的縱坐標(biāo)為3，從而可求得其橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：（1）∵B的坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，點(diǎn)C在x軸下方，∴C（0，?3）．∵將B（1，0），C（0，?3）代入拋物線的解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2＋x?3．（2）解：如圖1所示：過點(diǎn)D作DE∥y，交AC于點(diǎn)E．∵x＝?＝，B（1，0），∴A（?4，0）．∴AB＝5．∴S△ABC＝AB?OC＝×5×3＝7.5．設(shè)AC的解析式為y＝kx＋b．∵將A（?4，0）、C（0，?3）代入得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝?x?3．設(shè)D（a，a2＋a?3），則E（a，?a?3）．∵DE＝?a?3?（a2＋a?3）＝?（a＋2）2＋3，∴當(dāng)a＝?2時，DE有最大值，最大值為3．∴△ADC的最大面積＝DE?AO＝×3×4＝6．∴S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ACD=7.5+6=13.5，∴四邊形ABCD的面積的最大值為13.5．（3）解：存在．①如圖2，過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．∵C（0，?3），令x2＋x?3＝?3，∴x1＝0，x2＝?3．∴P1（?3，?3）．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC＝P2E2時，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC＝P3E3時，四邊形ACE3P3為平行四邊形．∵C（0，?3），∴P2，P3的縱坐標(biāo)均為3．令y＝3得：x2＋x?3＝3，解得；x1＝，x2＝．∴P2（，3），P3（,3）．綜上所述，存在3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：P1（?3，?3），P2（，3），P3（,3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論．4．（2022春·重慶開州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a）、C（b，0）滿足+|b-2|=0．(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，P點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)向左以每秒1個單位長度的速度勻速移動，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向上勻速移動，點(diǎn)D（1，2）是線段AC上一點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t>0）秒,當(dāng)S△ODQ＝2S△ODP，此時是否存在點(diǎn)M（m，6）使得S△ODM＝3S△ODQ，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，6）或（7，6）或（-9，6）或（15，6）【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；（2）分兩種情形當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時，當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時，分別求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)S△ODM＝3S△ODQ，構(gòu)建方程即可解決問題．(1)解：∵+|b﹣2|＝0，≥0，|b﹣2|≥0．∴a－2b＝0，b－2＝0，∴a＝4，b＝2，∴C（2，0），A（0，4）；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時，由題意：×2t×1＝2××（2﹣t）×2，解得t＝．當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時，由題意：×2t×1＝2××（t﹣2）×2，解得t＝4．如圖1﹣1中，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時，Q（0，），分別作MN⊥x軸，MJ⊥x軸，DK⊥x軸，∵S△ODM＝3S△ODQ，S△ODM＝S△ODP＋S梯形DPNM－S△MON或S△ODM＝S梯形MJKD－S△MJO－S△ODK，∴或，解得：m＝7或﹣1，∴M（﹣1，6）或（7，6）．當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長線上時，如圖1﹣2中，此時Q（0，8），∵S△ODM＝3S△ODQ，同理可得：或，解得：m＝15或﹣9，∴M（﹣9，6）或（15，6）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，6）或（7，6）或（﹣9，6）或（15，6）．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．5．（2021春·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖（a），直線∶經(jīng)過點(diǎn)A、B，OA=OB=3，直線:交y軸于點(diǎn)C，且與直線交于點(diǎn)D，連接OD．(1)求直線的解析式；(2)求△OCD的面積；(3)如圖（b），點(diǎn)P是直線上的一動點(diǎn)，連接CP交線段OD于點(diǎn)E，當(dāng)△COE與△DEP的面積相等時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以D、C、P、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)(4)、或【分析】（1）由已知可以得到A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）聯(lián)立l1、l2的解析式可以得到D的坐標(biāo)，在l2的解析式中令x=0，可以得到C坐標(biāo)，然后可以得到△OCD的面積；（3）△COE與△DEP的面積相等，則S△CDO＝S△PCD，則點(diǎn)P、O到CD的距離相等，故OP所在的直線與CD平行，即可求解；（4）分別按照PD、PC、DC為對角線三種情況分類討論即可得解．（1）由已知可得A、B的坐標(biāo)分別為：A（3，0）、B（0，3），∴可得，解得：k=-1，b=3，∴直線的解析式為：y=-x+3；（2）聯(lián)立l1、l2的解析式可以得到：，解之可得：，∴D為（2，1），在l2的解析式中令x=0，可以得到y(tǒng)=-2,∴C（0，-2），∴△OCD底邊OC上的高為2，在中令x=0可得y=-2，∴OC=2，∴S△OCD=；（3）∵△COE與△DEP的面積相等，∴S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，∴點(diǎn)P、O到CD的距離相等，故OP所在的直線與CD平行，∴直線OP的表達(dá)式為：y=，∴由可得：，則點(diǎn)P(，)．（4）如圖，可以畫出圖形如下，設(shè)使以D、C、P、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)H坐標(biāo)為（x，y），則：當(dāng)對角線是PD時，由題意可得：，解之可得：，∴此時H為；當(dāng)對角線是PC時，由題意可得：，解之可得：，∴此時H為；當(dāng)對角線是CD時，由題意可得：，解之可得：，∴此時H為；綜上所述，使以D、C、P、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)H坐標(biāo)為、或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等，綜合性強(qiáng)，難度適中．6．（2022秋·河南安陽·九年級?？计谥校┚C合與實(shí)踐??探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．(1)初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=時，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；(3)再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；(4)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．【答案】(1)60°或15°(2)見解析(3)(4)能，∠α=30°或60°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAM=∠FAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=AN，PE=PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（4）當(dāng)∠CNP=90°時，依據(jù)對頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN=90°時．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．【詳解】（1）當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠C=30°時，△AMC是等腰三角形；∵∠BAC=90°，∴α=90°?30°=60°，當(dāng)AM=CM，即∠CAM=∠CMA時，△AMC是等腰三角形，∵∠C=30°，∴∠CAM=∠AMC=75°，∵∠BAC=90°，∴α=15°，綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°或15°時，△AMC是等腰三角形，故答案為：60°或15°；（2）由題意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，∵現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），∴∠BAM=∠FAN，在△ABM與△AFN中，，∴，∴AM=AN，∵AE=AC，∴EM=CN，在和中，∴，∴PE=PC，∴點(diǎn)P在CE的垂直平分線上，∵AE=AC，∴點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，∴AP所在的直線是線段CE的垂直平分線；（3）∵α=30°，∠B=60°，∴∠AMB=90°，∴△ABM是直角三角形，∵AB=2，∴BM=AB?sin30°=1，AM=AB?cos30°=，∴=AM?MB=1×=，∵AE=AC=AB?tan60°=2，AM=，∴EM=，在和中∴，由（2）可知，∴=，∵AF?AE=×2×2=2，∴△ABC與△AFE重疊的面積2?2×=；（4）如答題圖1所示：當(dāng)∠CNP=90°時．∵∠CNP=90°，∴∠ANF=90°．又∵∠AFN=60°，∴∠FAN=180°?60°?90°=30°．∴∠α=30°．如答題圖2所示：當(dāng)∠CPN=90°時．∵∠C=30°，∠CPN=90°，∴∠CNP=60°．∴∠ANF=60°．又∵∠F=60°，∴∠FAN=60°．∴∠α=60°．綜上所述，∠α=30°或60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)和全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·河北邯鄲·九年級大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)，．(1)求m的值；(2)分別求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)及的面積；(3)將直線AB向上平移后，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，連接，，若，且，求的面積．【答案】(1)(2)(3)的面積為【分析】（1）將代入，求出m的值即可；（2）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，證明，得出，求出，求出點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再求出，即可得出答案；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)N，證明，得出，證明，得出，證明，求出，根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴；（2）解：如圖1，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，又∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，即，當(dāng)時，，∴，∴，∴；（3）解：如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)N，∵，軸，軸，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，，，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴，即的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練正確三角形相似的判定和性質(zhì)．8．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：當(dāng)?shù)闹底畲髸r，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解，由點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，確定、、的坐標(biāo)，再將、、的坐標(biāo)代入，求解即可；（2）用待定系數(shù)法求出直線的解析式，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示，易知取最大值時，最大，再設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）由（2）知，，由勾股定理求出，由等腰三角形的腰長為或求出的長即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，，，，、、的坐標(biāo)代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)取最大值時，有最大值，設(shè)點(diǎn)，，，，當(dāng)，最大，的值最大，此時；（3）存在，如圖，由（2）得，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，，，，軸于點(diǎn)，，點(diǎn)、、、在軸上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，；當(dāng)時，，；綜上所述，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰三角形的判定，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，第3小問注意分類討論，求出所有符號條件的點(diǎn)坐標(biāo)．9．（2022秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學(xué)校?？计谀┤鐖D①，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)在邊上以每秒3個單位長度的速度運(yùn)動，在邊上以每秒5個單位長度的速度運(yùn)動，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)．點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)用含的代數(shù)式表示的長；(2)當(dāng)四邊形是軸對稱圖形時，求出的值；(3)連接，如圖②，當(dāng)將的面積分成兩部分時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)或(3)或或【分析】（1）先利用勾股定理求出，再分點(diǎn)在邊、邊上兩種情況考慮即可；（2）先證明四邊形是平行四邊形，由它是軸對稱圖形時，可證四邊形是菱形，再分點(diǎn)在邊、邊上兩種情況，由菱形的性質(zhì)結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得；（3）由題意可得或，分點(diǎn)在邊上，；點(diǎn)在邊上，；點(diǎn)在邊上，三種情況考慮，即可分別求得此時的時間的值即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，∵點(diǎn)在邊、邊上的速度分別為每秒3個單位長度、每秒5個單位長度運(yùn)動，∴點(diǎn)在邊上的運(yùn)動時間為（秒，在邊上的運(yùn)動時間為（秒，當(dāng)時，點(diǎn)在邊上，則；當(dāng)時，點(diǎn)在邊上，則，綜上所述，；（2）解：如圖①所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時，連接與交于點(diǎn)O，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴又∵四邊形是軸對稱圖形，∴此時平行四邊形是菱形，∴，∴，解得；如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)在邊上，同理可證四邊形是菱形，∴，設(shè)交于點(diǎn)，則，∵，∴，∴，∴，∴，解得，綜上所述，的值為或．（3）解：設(shè)交于點(diǎn)，∵將的面積分成兩部分，或，如圖③所示，點(diǎn)在邊上，時，則，∵，∴，∴，∵，，△，∴，即，解得；如圖④，點(diǎn)在邊上，，則，∵，∴，∴，解得；如圖⑤，點(diǎn)在邊上，，∴，∴，∴，∴，解得，綜上所述，的值為或或．【點(diǎn)睛】本題是動點(diǎn)綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線交y軸于點(diǎn)M，邊交y軸于點(diǎn)H．(1)求直線的函數(shù)解析式及的長；(2)連接，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線方向以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，設(shè)的面積為，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動時，是否存在以為腰的等腰三角形？如存在，直接寫出t的值；如不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)(3)當(dāng)或時，為以為腰的等腰三角形．【分析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理和菱形的性質(zhì)易得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，的坐標(biāo)可得直線的解析式；令，解得，得的長，易得；（2）設(shè)點(diǎn)到的距離為，由的面積易得，利用分類討論的思想，三角形的面積公式①當(dāng)在直線上運(yùn)動；②當(dāng)運(yùn)動到直線上時分別得的面積；（3）分類討論：①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，利用勾股定理可得的長，易得．【詳解】（1）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為：，令得：，即，；（2）解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，由，即，，①當(dāng)在直線上運(yùn)動時的面積為與的運(yùn)動時間為秒關(guān)系為：，即；②當(dāng)運(yùn)動到直線上時的面積為與的運(yùn)動時間為秒關(guān)系為：，即，故；（3）解：存在①當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，即，；②當(dāng)時，即，解得：．綜上所述，當(dāng)或時，為以為腰的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式及待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想求解．11．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖甲，點(diǎn)M是直線BC上的一個動點(diǎn)，連接AM，OM，是否存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)如圖乙，過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，過點(diǎn)C作CD⊥BC，交x軸于點(diǎn)D，連接DP交BC于點(diǎn)E，連接CP．設(shè)△PEF的面積為S1，△PEC的面積為S2，是否存在點(diǎn)P，使得最大，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4）(2)存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，M（，）(3)存在，P（2，4）【分析】（1）將B（4，0）代入，求出函數(shù)解析式即可求解；（2）作O點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，連接A交BC于點(diǎn)M，連接B，當(dāng)A、M、三點(diǎn)共線時，AM＋OM有最小值，分別求出直線A的解析式和直線BC的解析式，兩直線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；（3）連接PB，過P點(diǎn)作PGy軸交CB于點(diǎn)G，設(shè)，則G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得則當(dāng)t＝2時，有最大值，同時可求P的坐標(biāo)．【詳解】（1）將B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，解得m＝2，∴y＝﹣＋x＋4，令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則﹣＋x＋4＝0，解得x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；（2）存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，理由如下：作O點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，連接A交BC于點(diǎn)M，連接B，由對稱性可知，OM＝M，∴AM＋OM＝AM＋MA，當(dāng)A、M、三點(diǎn)共線時，AM＋OM有最小值，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由對稱性可知∠BM＝45°，∴B⊥BO，∴（4，4），設(shè)直線A的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x＋，設(shè)直線BC的解析式為，∴4＋4＝0，∴＝﹣1，∴y＝﹣x＋4，聯(lián)立方程組，解得，∴M（）；（3）在點(diǎn)P，使得最大，理由如下：連接PB，過P點(diǎn)作PGy軸交CB于點(diǎn)G，設(shè)P（t，﹣＋t＋4），則G（t，﹣t＋4），∴PG＝﹣＋2t，∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，∴PF＝﹣＋t，∵CD⊥BC，PF⊥BC，∴PFCD，∴＝，∵＝，∴＝，∵B、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，∴CD＝4，∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，∵P點(diǎn)在第一象限內(nèi)，∴0＜t＜4，∴當(dāng)t＝2時，有最大值，此時P（2，4）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，軸對稱求最短距離的方法，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形PDCB的周長最小時，求四邊形PDCB的面積；(3)把直線沿y軸向上平移9個單位長度，得到新直線與直線交于點(diǎn)E，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F使得以點(diǎn)D，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（含正方形）？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，，，【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，然后聯(lián)立直線與直線，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，連接DP，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，四邊形PDCB的周長最小，求出直線的解析式為，則可求，進(jìn)而由求解即可；（3）由題意可知直線的解析式為，聯(lián)立線與直線，求出，設(shè)，分三種情況，①當(dāng)ED為菱形對角線時，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；②當(dāng)EQ為菱形對角線時，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)；③當(dāng)EF為菱形對角線時，利用可得點(diǎn)Q坐標(biāo)．(1)解：設(shè)直線的解析式為，由直線經(jīng)過、兩點(diǎn)可得：，解得，直線的解析式為，又直線與直線交于點(diǎn)C，，解得，當(dāng)時，則，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)P，連接DP，根據(jù)兩點(diǎn)之間“線段最短”可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，四邊形PDCB的周長最小，直線與x軸的交點(diǎn)為，又點(diǎn)D和點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)，，設(shè)直線的解析式為，可得，解得，直線的解析式為，令，則，得點(diǎn)，，又，，，，；(3)解：由題意可得直線的解析式為，聯(lián)立線與直線，即，解得，，設(shè)，①當(dāng)ED為菱形對角線時，，即，解得，；②當(dāng)EQ為菱形對角線時，，，，解得或，，；③當(dāng)EF為菱形對角線時，，即，解得，，綜上：存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·湖北恩施·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=a，AB=2a（a為常數(shù)，且a＞0）．動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動，速度為m個單位/秒；動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸向上運(yùn)動，速度為n個單位/秒．兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為ｔ秒．(1)用含a的式子表示點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)：A（，）；B（，）．(2)連接BQ，BP．已知無論t為何值，四邊形BPOQ與四邊形OABC的面積始終相等，求m：n的值．(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OC的中點(diǎn)時，①求此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（用含a的式子表示）②連接PQ，交邊AB于點(diǎn)D．計(jì)算四邊形BCPD與四邊形DPOA的面積之比．【答案】(1)0，a；－2a，a(2)m：n=2：1(3)①Q(mào)（0，）；②2：1【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求解即可；（2）由已知可得S△BCP=S△ABQ，由三角形的面積公式解答即可；（3）①根據(jù)（2）中結(jié)論求得AQ=即可求解；②證明△QAD∽△QOP得到AD=，BD=，利用梯形的面積公式求解即可．（1）解：∵在長方形OABC中，OA=a，AB=2a，∴BC=OA=a，OC=AB=2a，∴A（0，a），B（-2a，a），故答案為：0，a；－2a，a；（2）解：如圖，∵四邊形BPOQ與四邊形OABC的面積始終相等，∴S△BCP=S△ABQ，∴CP·BC=AQ·AB，∵CP=mt，AQ=nt，∴mt·a=nt·2a，∴m=2n，即m：n=2：1；（3）解：①由（2）知m=2n，∵點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，∴mt=CP=OC=a，則AQ=nt=mt=，∴OQ=OA+AQ=，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，）；②如圖，CP=OP=a，AQ=，OQ=∵AD∥OP，∴△QAD∽△QOP，∴，即，∴AD=，則BD=AB-AD=，∵，∴四邊形BCPD與四邊形DPOA的面積之比為2：1．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、梯形的面積公式、比例性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．14．（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）已知，點(diǎn)A，B分別在射線上運(yùn)動，．(1)如圖①，若，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動時，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動，點(diǎn)A，B，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為，連接．判斷OD與有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到什么位置時，的面積最大?請說明理由，并求出面積的最大值．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)當(dāng)時，的面積最大；理由見解析，面積的最大值為【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）作△AOB的外接圓I，連接CI并延長，分別交⊙I于O′和D，當(dāng)O運(yùn)動到O′時，OC最大，求出CD和等邊三角形AO′B上的高O′D，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，由(2）可知∶當(dāng)OC⊥AB時，OC最大，BT=3，當(dāng)OA=OB時，∠BOC=22.5°，此時OT最大，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性質(zhì)可得∠BET=45°，則ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：，證明如下：，AB中點(diǎn)為D，，為的中點(diǎn)，，，，；（2）解：如圖1，作△AOB的外接圓I，連接CI并延長，分別交⊙I于O′和D，當(dāng)O運(yùn)動到O′時，OC最大，此時△AOB是等邊三角形，∴BO′=AB=6，OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；（3）解∶如圖，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到OA=OB時，△AOB的面積最大，證明如下∶以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，連接OC交AB于點(diǎn)T，在OT上取點(diǎn)E，使OE=BE，連接BE，由（2）可知，當(dāng)OC⊥AB時，OC最大，∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，又OC⊥AB于T，∴TC=AT=BT=AB=3，∵OC=OT+CT=OT+3，∴當(dāng)OA=OB時，此時OT最大，即OC最大，∴△AOB的面積最大，∴∠BOT=∠AOB=22.5°，∵OE=BE，∴∠OBE=∠BOC=22.5°，綜上，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到OA=OB時，△AOB的面積最大，△AOB面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對定角”的模型．15．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，直線與軸，軸交于，兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，是射線上一動點(diǎn)，軸交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，，點(diǎn)在線段上，若，求此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以每秒5個單位長度的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒，當(dāng)為何值時，，請直接寫出所有符合條件的值．【答案】(1)(2)的坐標(biāo)為或(3)或【分析】（1）先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求得即可；（2）延長交軸于點(diǎn)，設(shè)設(shè)點(diǎn)，則，再由割補(bǔ)法用表示三角形的面積，利用函數(shù)解析式可得；（3）當(dāng)在點(diǎn)上方或下方兩種情況表示出和點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)位置不同分別表示出，由列方程求解即可．(1)∵直線與軸，軸交于，兩點(diǎn)，∴當(dāng)時，，∴，∴．∴當(dāng)時，，∴．∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴，∴，∴．(2)如圖1，延長交軸于點(diǎn)，∵，，∴，，∴．設(shè)點(diǎn)，則，∴，∴∵，∴，∴，，的坐標(biāo)為或．(3)如圖2，當(dāng)在點(diǎn)上方時，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則有，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，，∴，，∴．當(dāng)時，有，解得，，∴；如圖3，當(dāng)在點(diǎn)下方時，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，∴，，∴，當(dāng)時，，∴，，綜上所述，符合條件的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，割補(bǔ)法求三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)及解一元二次方程的能力是解本題的關(guān)鍵．16．（2022春·九年級課時練習(xí)）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E為AB延長線上一點(diǎn)，連接EC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)F，則的度數(shù)為______°；【問題探究】（2）如圖2，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D、E在直線BC上，連接AD、AE，若，，求△ADE面積的最小值；【問題解決】（3）近日，教育部印發(fā)了《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，此次修訂中增加的跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，突破學(xué)科邊界，鼓勵教師開展跨學(xué)科教研，設(shè)計(jì)出主題鮮明、問題真實(shí)的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動．為此，某校欲將校園內(nèi)一片三角形空地ABC（如圖3所示）進(jìn)行擴(kuò)建后作為跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動中心，在AB的延長線上取一點(diǎn)D，連接DC并延長到點(diǎn)E，連接AE，已知，米，，為節(jié)約修建成本，需使修建后△ADE的面積盡可能小，問△ADE的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小面積；若不存在，請說明理由．【答案】（1）60；（2），詳見解析；（3）3200m2，詳見解析．【分析】（1）由四邊形內(nèi)角和360°得到答案；（2）分析得出三角形ADE面積數(shù)值為3DE，只需求出CE最小值即可；作出三角形ADE外接圓，圓心為O，過O作OH⊥DE，可得AO+OH≥AB，由∠ODH=30°知AO=2OH，求出OH最小值，借助三角函數(shù)得DH最小值；最后由垂徑定理得DE=2DH的最小值，代入求解；（3）過C作CH⊥AE，證明出四邊形ABCF為正方形，設(shè)BD=x，EF=y，利用三角函數(shù)得到xy=1600，利用不等式得到x+y的最小值，代入三角形ADE面積1600+20（x+y），求值即可．【詳解】（1）解：在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，∴∠BCD=360°－∠A－∠ABC－∠ADC=120°，∴=180°－∠BCD=60°，故答案為：60．（2）解：S△ADE=DE·AB=3DE，∴當(dāng)DE取最小值時，△ADE面積取最小值．作△ADE的外接圓，圓心為O，連接OD、OE、OA，過O作OH⊥DE于H，則∠DOE=2∠DAE=120°，由OD=OE知，∠ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂徑定理得：DE=2DH=2OH≥，此時，A、O、H共線，AD=AE，∴△ADE面積的最小值為：3×=．（3）解：過C作CH⊥AE于H，如圖所示，設(shè)BD=x，EF=y，∵∠ABC=90°，AE∥BC，∴四邊形ABCF為矩形，∵AB=BC=40∴四邊形ABCF為正方形，由tan∠E=tan∠BCD知，，即，∴y=，即xy=1600，∵，∴=80，當(dāng)x=y時取等號，即x+y的最小值為80，又△ADE的面積=正方形ABCF面積+三角形BCD面積+三角形CEF面積，即△ADE的面積=1600+20（x+y）≥1600+20×80=3200，綜上所述，△ADE的面積的最小值為3200m2．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和、圓心角與圓周角關(guān)系、垂徑定理、三角函數(shù)、正方形判定、不等式性質(zhì)等知識，綜合性很強(qiáng)，對定高定角圖形的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題及靈活利用不等式是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D，拋物線（）交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若為拋物線上一點(diǎn)，連接、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），的面積為，求與函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)是第二象限拋物線上一點(diǎn)，，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出一次函數(shù)解析式，再將E點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m即可；（2）利用梯形的面積減去兩個直角三角形的面積即可；（3）先求出直線AQ的解析式，再設(shè)出M、N的坐標(biāo)，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴，將代入中得，∴∵，將代入得，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）∵，∴，，∴如圖，過Q點(diǎn)作于B，∵，∴，，∵，∴，∴，即．（3）當(dāng)時，，∴（正值舍去）當(dāng)時，，∴，設(shè)直線AQ的解析式為：，∴，∴，∴，如圖，分別過Q點(diǎn)、N點(diǎn)作x軸的垂線，分別與過A點(diǎn)、M點(diǎn)作的x軸的平行線分別交于點(diǎn)K、點(diǎn)H，過M點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴,∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，，∴，，，，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一次函數(shù)、三角形面積問題等知識，設(shè)計(jì)到了全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、二元一次方程組等知識，解題關(guān)鍵是理解圖形、能構(gòu)造全等三角形．18．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D,在中,，是邊上的高，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動，連結(jié)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)線段的長為_______；(2)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)到的距離；(3)連結(jié)，當(dāng)線段最長時，求的面積；(4)當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)線段最長時，的面積為24(4)【分析】（1）由是邊上的高得，由得，再由勾股定理得，又因?yàn)?，所以，即可得到答案；?）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動和點(diǎn)在上運(yùn)動時，根據(jù)等面積法，分別可以求出和的關(guān)系，從而即可得到答案；（3）當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，線段最長，畫出圖如圖所示，此時，求出答案即可；（4）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可以直接寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求出直線的解析式，由點(diǎn)在直線上，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以得