結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：第七章《力法》

第七章力法1§7—2超靜定次數(shù)的確定§7—3力法的基本概念§7—4力法的典型方程§7—6對稱性的利用§7—5力法的計算步驟和示例§7—7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算§7—9溫度變化時超靜定結(jié)構(gòu)的計算§7—10

支座移動時超靜定結(jié)構(gòu)的計算§7—11

超靜定結(jié)構(gòu)的特性§7—8最后內(nèi)力圖的校核力法§7—1超靜定結(jié)構(gòu)概述第七章力法2§7—1概述1.靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)：ABCPP全部反力和內(nèi)力只用平衡條件便可確定的結(jié)構(gòu)。僅用平衡條件不能確定全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。ABPHAVARBVAHARBRC外力超靜定問題內(nèi)力超靜定問題力法返回3PABCP↙↗↙↗

2.超靜定結(jié)構(gòu)在幾何組成上的特征多余聯(lián)系與多余未知力的選擇。是幾何不變且具有“多余”聯(lián)系（外部或內(nèi)部）。多余聯(lián)系：這些聯(lián)系僅就保持結(jié)構(gòu)的幾何不變性來說，是不必要的。多余未知力：多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力稱為多余未知力（也稱贅余力）。此超靜定結(jié)構(gòu)有一個多余聯(lián)系，即有一個多余未知力。此超靜定結(jié)構(gòu)有二個多余聯(lián)系，即有二個多余未知力。力法返回43.超靜定結(jié)構(gòu)的類型（1）超靜定梁;（2）超靜定桁架；（3）超靜定拱；⑶⑷⑸4.超靜定結(jié)構(gòu)的解法求解超靜定結(jié)構(gòu)，必須綜合考慮三個方面的條件:（1）平衡條件；（2）幾何條件；（3）物理條件。具體求解時，有兩種基本(經(jīng)典)方法—力法和位移法。（4）超靜定剛架；（5）超靜定組合結(jié)構(gòu)。力法返回5§7—2超靜定次數(shù)的確定

1.超靜定次數(shù)：

2.確定超靜定次數(shù)的方法:解除多余聯(lián)系的方式通常有以下幾種：（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系。↓↑（2）拆開一個單鉸，相當(dāng)于去掉兩個聯(lián)系。用力法解超靜定結(jié)構(gòu)時，首先必須確定多余聯(lián)系或多余未知力的數(shù)目。↓↑←→多余聯(lián)系或多余未知力的個數(shù)。采用解除多余聯(lián)系的方法.力法返回63.在剛結(jié)點處作一切口，或去掉一個固定端，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系。←→??↓↑4.將剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系。應(yīng)用上述解除多余聯(lián)系(約束)的方法，不難確定任何超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。X2X2力法返回7在超靜定結(jié)構(gòu)上去除多余約束，常有以下幾種基本方式：（1）撤去一根支桿或切斷一根鏈桿，等于去除一個約束。8（2）撤去兩桿間的一個單鉸或撤去一個鉸支座，等于去除兩個約束。9（3）撤去一個固定端或切斷一根梁式桿，等于去除三個約束。由此得出一般性結(jié)論：每一個封閉框格為超靜定3次。

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(4)在梁式桿的某一截面插入一個單鉸，等于去除一個約束。

將復(fù)鉸結(jié)點A拆開，在剛結(jié)點B處插入一個單鉸并切斷一個鏈桿，復(fù)鉸A相當(dāng)于兩個單鉸的作用，共去除六個約束，即n

=6。11對于框架，可采用下式計算超靜定次數(shù):

式中c為框格數(shù)，h為單鉸數(shù)

先將結(jié)構(gòu)中每個框格都看作是無鉸的，每個單鉸的存在就減少1次超靜定。

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n=3×4-6=6例1：(a)(b)框格數(shù)c=2單鉸數(shù)h=2n=3×2-2=4框格數(shù)c=4單鉸數(shù)h=613例2：X1X2n=2X1X4X2X3n=414X2X1X3n=3X1X2X3X4n=4+6-2=815思考：是否可將支座A處的水平鏈桿作為多余約束？X1??16例題:確定圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)（n）?！鷑=6←→↓↑←→←n=3×7=21對于具有較多框格的結(jié)構(gòu)，可按框格的數(shù)目確定，因為一個封閉框格，其超靜定次數(shù)等于三。當(dāng)結(jié)構(gòu)的框格數(shù)目為f,則n=3f。力法返回17§7—3力法的基本概念首先以一個簡單的例子，說明力法的思路和基本概念。討論如何在計算靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，進一步尋求計算超靜定結(jié)構(gòu)的方法。ABEIL

1.判斷超靜定次數(shù)：

n=1〓qq↑AB原結(jié)構(gòu)

2.

確定(選擇)基本結(jié)構(gòu)。3.寫出變形(位移)條件:〓↑(a)(b)q基本結(jié)構(gòu)根據(jù)疊加原理，式（a）可寫成力法返回18↑L將代入(b)得4.建立力法基本方程(7—1)5.

計算系數(shù)和常數(shù)項6.

將11、?11代入力法方程式(7-1)，可求得ABEILq(b)此方程便為一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程。=EI12L232L?11=11x1=EI12qL243L_(31L)多余未知力x1求出后，其余反力、內(nèi)力的計算都是靜定問題。利用已繪出的M1圖和MP圖按疊加法繪M圖。q力法返回19結(jié)論象上述這樣解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系而得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力作為基本未知量，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)應(yīng)與原結(jié)構(gòu)變形相同而建立的位移條件，首先求出多余未知力，然后再由平衡條件計算其余反力、內(nèi)力的方法，稱為力法。力法整個計算過程自始至終都是在基本結(jié)構(gòu)上進行的，這就把超靜定結(jié)構(gòu)的計算問題，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移的計算問題。力法返回20§7—4力法的典型方程1.三次超靜定問題的力法方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，是根據(jù)位移條件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超靜定結(jié)構(gòu)為例進行推導(dǎo)。AB↓P首先選取基本結(jié)構(gòu)（見圖b）→X1?X2AB↓P↑X3基本結(jié)構(gòu)的位移條件為：△1=0△2=0△3=0設(shè)當(dāng)和荷載P

分別作用在結(jié)構(gòu)上時，A點的位移沿X1方向：沿X2方向：沿X3方向：據(jù)疊加原理，上述位移條件可寫成原結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)△1=（7—2）（a）（b）1121、22、23和△2P；31、32、33和△3P。△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0△3=31X1+32X2+33X3+△3P=011X1+12X2+13X3+△1P=0、12、13和△1P；力法返回212.n次超靜定問題的力法典型(正則)方程對于n次超靜定結(jié)構(gòu),有n個多余未知力，相應(yīng)也有

n個位移條件，可寫出n個方程11X1+12X2+…

+1iXi+…

+1nXn+△1P=0（7—3）

這便是n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型(正則)方程。式中Xi為多余未知力，ii為主系數(shù)，ij(i≠j)為副系數(shù),△iP

為常數(shù)項（又稱自由項）。11X1+12X2+13X3+△1P=0（7—2）21X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=0…………………………i1X1+i2X2+…

+iiXi+…

+inXn+△iP=0n1X1+n2X2+…

+niXi+…

+nnXn+△nP=0力法返回223.力法方程及系數(shù)的物理意義（1）力法方程的物理意義為：（2）系數(shù)及其物理意義：下標(biāo)相同的系數(shù)ii稱為主系數(shù)(主位移)，它是單位多余未知力單獨作用時所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒為正。系數(shù)ij(i≠j)稱為副系數(shù)(副位移)，它是單位多余未知力單獨作用時所引起的沿Xi方向上的位移，其值可能為正、為負或為零。據(jù)位移互等定理，有ij=ji△iP稱為常數(shù)項(自由項)它是荷載單獨作用時所引起的沿Xi方向的位移。其值可能為正、為負或為零。上述方程的組成具有規(guī)律性，故稱為力法典型方程?；窘Y(jié)構(gòu)在全部多余未知力和荷載共同作用下，基本結(jié)構(gòu)沿多余未知力方向上的位移，應(yīng)與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。力法返回234.力法典型(正則)方程系數(shù)和自由項的計算典型方程中的各項系數(shù)和自由項，均是基本結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法計算。對于平面結(jié)構(gòu)，這些位移的計算公式為對不同結(jié)構(gòu)選取不同項計算。系數(shù)和自由項求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。力法返回24§7—5力法的計算步驟和示例1.示例PABCI1I2=2I1an=2(二次超靜定)原選擇基本結(jié)構(gòu)如圖示PACB基X1X2力法典型方程為：11X1計算系數(shù)和常數(shù)項，為此作aaa計算結(jié)果如下(a)a21X1+22X2+△2P=0+12X2+△1P=02EI112a232a=6EI1a32EI112a2a=4EI1a3力法返回25aaaP將以上各系數(shù)代入方程(a)并消去(a3/EI1)得解聯(lián)立方程得多余未知力求得后其余反力、內(nèi)力的計算便是靜定問題。例如最后內(nèi)力圖的繪制用疊加法15/88×PaM圖13/88×PaPABC3/88×PaaMAC=a.114P+a(883P)2Pa力法返回262、力法的計算步驟（1）確定原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。（2）選擇靜定的基本結(jié)構(gòu)(去掉多余聯(lián)系，以多余未知力代替)。（3）寫出力法典型方程。（4）作基本結(jié)構(gòu)的各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖，據(jù)此計算典型方程中的系數(shù)和自由項。（5）解算典型方程，求出各多余未知力。（6）按疊加法作內(nèi)力圖。力法返回27例7—1用力法分析兩端固定的梁，繪彎矩圖。EI=常數(shù)。ABLabP解：n=3選取簡支梁為基本結(jié)構(gòu)P?X1?X2X3基本結(jié)構(gòu)典型方程為11X1+12X2+13X3+△1P=021X1+22X2+23X3+△2P=031X1+32X2+33X3+△3P=011MP圖P3=0,故13=31=23=32=△3P=0則典型方程第三式為33X3=033≠0(因X3的解唯一)故作基本結(jié)構(gòu)各和MP圖由于X3=0M圖11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=0由圖乘法求得代入典型方程(消去公因子)得解得代入典型方程解得作彎矩圖。按式力法返回28例7—2用力法計算圖示桁架內(nèi)力，設(shè)各桿EA相同。解：n=1(一次超靜定)。01234PP2a2aa選擇基本結(jié)構(gòu)如圖示。01234PPX1基本結(jié)構(gòu)寫出力法典型方程11X1+△1P=0按下列公式計算系數(shù)和自由項為此，求出基本結(jié)構(gòu)的和NP值01234X1=1-1/2對稱01234PPNP+P/2對稱0列表計算(見書137頁)后得EA11=(3+)aEA△1P=－Pa力法返回2901234X1=1-1/2對稱01234PPNP+P/2對稱001234PPN對稱代入典型方程，解得各桿內(nèi)力按式疊加求得。－0.586P－0.828P+0.414P+0.172P例如N03=0.707×0.172P-0.707Ｐ

=－0.586P=0.172P力法返回30例7—3.力法解圖示結(jié)構(gòu)，作M圖l/2EIEIPl/2lX1PX1=1M1MP31解:PX1MPPM1X1=1另一解法32PX1=1M1X2=1M2M3X3=1PMPPX1X2X3例7—4.力法解圖示結(jié)構(gòu)33X1PX2X3X1=1X2=1X3=1PM1M2M3MP另一解法34例7—5.力法解圖示結(jié)構(gòu)EA=常數(shù).解:PaaPPP00P00NPN111111P-P/2-P/2P/2P/2變形條件仍為:對嗎?35qlllX1X2X2X1(1)worst(2)better

例7—6.選擇恰當(dāng)?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)，作彎矩圖（基本結(jié)構(gòu)的選擇直接影響解題過程的繁簡）

EA=常數(shù)36(3)bestX1X237解：llEIEIqMPM例7—7.選擇恰當(dāng)?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)，作彎矩圖X1138例7—8.選擇恰當(dāng)?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)，作彎矩圖qllEIEIX1llM122qlMPM解：39例7—9.選擇恰當(dāng)?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)，作彎矩圖PlEI2EIABC2l2lP基本結(jié)構(gòu)X1X2PMP4Pl40M解:1)412)求剪力、軸力MQP42QNQ8046PN內(nèi)力圖43例7—10.選擇恰當(dāng)?shù)幕窘Y(jié)構(gòu)，作彎矩圖6m6m基本結(jié)構(gòu)252kN44

解：１）方程：２）根據(jù)對稱性：66331145解得：46§7—6對稱性的利用用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，計算工作量就愈大，主要工作量是組成(計算系數(shù)、常數(shù)項)和解算典型方程。利用結(jié)構(gòu)的對稱性可使計算得到簡化。簡化的原則是使盡可能多的副系數(shù)、自由項等于零。結(jié)構(gòu)的對稱性：例如：EI1EI1EI2aa對稱EI1EI1對稱指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束、剛度和荷載具有對稱性(正對稱或反對稱)。正對稱簡稱對稱。力法返回471.選取對稱的基本結(jié)構(gòu)EI1EI1EI2對稱軸基本結(jié)構(gòu)X1X2X3多余未知力X1、X2是正對稱，X3是反對稱的?；窘Y(jié)構(gòu)的各單位彎矩圖(見圖)。←→、是正對稱，是反對稱。則13=31=23=32=0于是，力法典型方程簡化為11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=033X3+△3P=0下面就對稱結(jié)構(gòu)作進一步討論。力法返回48（1）對稱結(jié)構(gòu)作用對稱荷載↓↓aaPP↓↓PPMP圖MP圖是正對稱的，故△3P=0。11X1+12X2+△1P=021X1+22X2+△2P=033X3+△3P=0則X3=0。這表明：對稱的超靜定結(jié)構(gòu)，在對稱的荷載作用下，只有對稱的多余未知力，反對稱的多余未知力必為零?！齛aPP↓↓PPMP圖（2）對稱結(jié)構(gòu)作用反對稱荷載MP圖是反對稱的，故△1P=△2P=0則得X1=X2=0這表明：對稱的超靜定結(jié)構(gòu)，在反對稱的荷載作用下，只有反對稱的多余未知力，對稱的多余未知力必為零。力法返回49例7—4分析圖示剛架。10kN10kN6m6m6m解：這是一個對稱結(jié)構(gòu)，為四次超靜定。選取對稱的基本結(jié)構(gòu)如圖示，X1只有反對稱多余未知力X1基為計算系數(shù)和自由項分別作和MP圖(見圖)。EI=常數(shù)33圖(m)10kN

MP圖(kN·m)6060120由圖乘法可得EI11=(1/2×3×3×2)×4+（3×6×3）×2=144EI△1P=(3×6×30+1/2×3×3×80)×2=1800代入力法方程11X1+△1P=0X1=－彎矩圖由作出。解得力法返回50這樣，求解兩個多余未知力的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庑碌膬蓪Χ嘤辔粗Φ膯栴}。當(dāng)選基本結(jié)構(gòu)為時，2.未知力分組及荷載分組（1）未知力分組ABPX1X2P為使副系數(shù)等于零，可采取未知力分組的方法。PY1Y1Y2Y2有X1=Y1+Y2，X2=Y1－Y2作、M2圖。圖M2圖正對稱反對稱故12=21=0典型方程化簡為11Y1+△1P=022Y2+△2P=0力法返回51（2）荷載分組當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)承受一般非對稱荷載時，可以將荷載分解為正、反對稱的兩組，分別求解然后疊加。若取對稱的基本結(jié)構(gòu)計算，在正對稱荷載作用下將只有對稱的多余未知力。若取對稱的基本結(jié)構(gòu)計算，在反對稱荷載作用下將只有反對稱的多余未知力。PP2P2P2P2X1X1X2X22P2P2P2P力法返回523.取一半結(jié)構(gòu)計算當(dāng)結(jié)構(gòu)承受正對稱或反對稱荷載時，也可以只截取結(jié)構(gòu)的一半進行計算，又稱為半剛架法。下面分別就奇數(shù)跨和偶數(shù)跨兩種對稱剛架進行討論。（1）奇數(shù)跨對稱剛架↓↓pp對稱↓p二次超靜定對稱荷載反對稱荷載↓p↑p反對稱↓p。一次超靜定力法返回53（2）偶數(shù)跨對稱剛架對稱荷載↓↓pp對稱↓p三次超靜定反對稱荷載↓↑ppI↓pI/2三次超靜定↓p↑pI/2I/2↓p↑pI/2I/2CQCQC力法返回54例7—13例7—14對稱性的利用無彎矩，不需求解5556例7—165758練習(xí):596061

根據(jù)對稱性桁架桿件的內(nèi)力為零。62例7—1563例7—17求作圖示圓環(huán)的彎矩圖。

EI=常數(shù)。解：取結(jié)構(gòu)的1/4分析單位彎矩（圖）和荷載彎矩（圖）為：(b)（a)64若只考慮彎矩對位移的影響，有：彎矩為：65例7—18試用對稱性對結(jié)構(gòu)進行簡化。EI為常數(shù)。FP/2FP

/2FP

/2FP

/2I/2I/2FP

/2FP

/2I/2方法1FPFP

/2FP

/2FPFP

/2FP

/266FP/2FP/2I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4無彎矩，不需求解67FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4I/268方法2無彎矩，不需求解FPFP/2FP/2FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/469又看到您了！I/2FP/4FP/4FP/4FP/4I/2FP/4FP/4I/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/270排架計算力法解排架：將橫梁看成多余聯(lián)系，鉸兩端的相對位移等于零?！辧lll例7—1171∞∞Plll例7—127273解：例4.求作圖示梁的彎矩圖。當(dāng)當(dāng)EI當(dāng)74解：例5.求解圖示加勁梁。橫梁當(dāng)有無下部鏈桿時梁內(nèi)最大彎矩之比：通過改變連桿的剛度來調(diào)整梁內(nèi)彎矩分布.75當(dāng)令梁內(nèi)正、負彎矩值相等可得：當(dāng)梁的受力與兩跨連續(xù)梁相同。（同例4中）76下側(cè)正彎矩為設(shè)基本未知力為X，則跨中支座負彎矩為根據(jù)題意正彎矩等于負彎矩，可得有了基本未知力，由典型方程可得正負彎矩相等時的的求解77練習(xí):EI=CPqqPPqqP/2P/2P/2qqq78例7:作圖示對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖

PPEI=CllllPPX1X1=1lM1MPPPlMPPlPl/2PlPl/2解:79例9:作圖示對稱結(jié)構(gòu)的彎矩圖

解:PPEI=CllllPP/2X1P/2M11X1=1MPPl/2P/2P/2M3Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/83Pl/880§7—7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算上一章所述位移計算的原理和公式，對超靜定結(jié)構(gòu)也是適用的，下面以§7—5的例題予以說明。

求CB桿中點K的豎向位移△KYKP=1PABCI1I2=2I1a原虛擬狀態(tài)如圖為了作8/44×a3/44×a需解算一個二次超靜定問題，較為麻煩。K圖中所示的M圖就是實際狀態(tài)?；窘Y(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移與原結(jié)構(gòu)完全相同，則可以在基本結(jié)構(gòu)上作。KP=1a/4圖乘得6/44×a(↓)力法返回81結(jié)論綜上所述，計算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟是：（1）解算超靜定結(jié)構(gòu)，求出最后內(nèi)力，此為實際狀態(tài)。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，加上單位力求出虛擬狀態(tài)的內(nèi)力。（3）按位移計算公式或圖乘法計算所求位移。力法返回82§7—8最后內(nèi)力圖的校核用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)，因步驟多易出錯，應(yīng)注意檢查。尤其是最后的內(nèi)力圖，是結(jié)構(gòu)設(shè)計的依據(jù)，應(yīng)加以校核。校核應(yīng)從兩個方面進行。1.平衡條件校核取結(jié)構(gòu)的整體或任何部分為隔離體，其受力應(yīng)滿足平衡條件。（1）彎矩圖：通常檢查剛結(jié)點處是否滿足∑M=0的平衡條件。例如取結(jié)點E為隔離體EMEDMEBMEF應(yīng)有∑ME=MED+MEB+MEF=0M圖力法返回83（2）剪力圖和軸力圖可取結(jié)點、桿件或結(jié)構(gòu)的某一部分為隔離體，檢查是否滿足∑X=0和∑Y=0的平衡條件。2.位移條件校核檢查各多余聯(lián)系處的位移是否與已知的實際位移相符。對于剛架，可取基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖與原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖相乘，看所得位移是否與原結(jié)構(gòu)的已知位移相符。例如PABCI1I2=2I1a原檢查A支座的水平位移△1是否為零。將M圖與相乘得]=0…力法返回84§7—9溫度變化時超靜定結(jié)構(gòu)的計算對于超靜定結(jié)構(gòu)，溫度變化時不但產(chǎn)生變形和位移，同時產(chǎn)生內(nèi)力。用力法分析超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時產(chǎn)生的內(nèi)力，其原理與荷載作用下的計算相同。例如圖示剛架溫度發(fā)生變化，選取基本結(jié)構(gòu)（見圖），t1t1t2t3t1t1t2t3X1X2X3典型方程為11X1+12X2+13X3+△1t=021X1+22X2+23X3+△2t=031X1+32X2+33X3+△3t=0其中系數(shù)的計算同前，自由項△1t、△2t、△3t分別為基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的沿X1、X2X3方向的位移。即力法返回85例7—6剛架外側(cè)溫度升高25℃，內(nèi)側(cè)溫度升高35℃，繪彎矩圖并求橫梁中點的豎向位移。剛架EI=常數(shù)，截面對稱于形心軸，其高度h=L/10,材料的膨脹系數(shù)為。LL+25℃+35℃解：n=1選取基本結(jié)構(gòu)X1基+25℃+35℃典型方程為:11X1+△1t=0計算并繪制