新教材高中數學第四章概率與統(tǒng)計2.1隨機變量及其與事件的聯系學案新人教B版選擇性

隨機變量及其與事件的聯系1．隨機變量的概念概念一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為一個隨機變量．表示隨機變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，…或小寫希臘字母ξ，η，ζ，…表示．取值隨機變量的取值由隨機試驗的結果決定．取值范圍隨機變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個隨機變量的取值范圍．分類離散型隨機變量隨機變量的所有可能取值可以一一列舉出來．連續(xù)型隨機變量隨機變量的取值范圍包含一個區(qū)間，不能一一列舉出來．隨機變量與隨機試驗的結果的關系是怎樣的？提示：隨機變量每取一個確定的值對應著試驗的不同結果，試驗的結果對應著隨機變量的值，即隨機變量的取值實質上是試驗結果所對應的數．2．隨機變量與事件的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是任意實數，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：(1)當a≠b時，事件X＝a與X＝b互斥；(2)事件X≤a與X>a相互對立，因此Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤a))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>a))＝1.若a，b都是任意實數，隨機變量X<a與X≥a都表示事件嗎？表示的事件是什么關系？提示：都表示事件，相互對立關系．3．隨機變量之間的關系一般地，如果X是一個隨機變量，a，b都是實數且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個隨機變量．由于X＝t的充要條件是Y＝at＋b，因此Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝t))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝at＋b))．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)隨機變量的取值只能是有限個．()(2)試驗之前不能判斷離散型隨機變量的所有值．()(3)隨機變量是用來表示不同試驗結果的量．()提示：(1)×.隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．(2)×.試驗之前可以判斷離散型隨機變量的所有值．(3)√.2．(教材二次開發(fā)：練習改編)在擲一枚質地均勻的骰子試驗中，“出現的點數”是一個隨機變量，它有________個取值()A．2B．4C．6D．7【解析】選C.因為擲一枚質地均勻的骰子試驗中，所有可能結果有6個，故“出現的點數”這一隨機變量的取值為6個．3．如果X是一個離散型隨機變量且Y＝aX＋b，其中a，b是常數且a≠0，那么Y()A．不一定是隨機變量B．一定是隨機變量，不一定是離散型隨機變量C．可能是定值D．一定是離散型隨機變量【解析】選D.若X是離散型隨機變量，根據隨機變量之間的關系，則Y必是離散型隨機變量．類型一隨機變量的概念(數學抽象、邏輯推理)1．投擲一枚1元硬幣一次，隨機變量為()A．擲硬幣的次數B．出現正面向上的次數C．出現正面向上或反面向上的次數D．出現正面向上與反面向上的次數之和【解析】選B.投擲一枚1元硬幣，可能出現的結果是正面向上或反面向上，以一個標準如正面向上的次數來描述這一隨機試驗，那么正面向上的次數就是隨機變量ξ，ξ的取值是0，1.而A項中擲硬幣的次數就是1，不是隨機變量；C項中的標準模糊不清；D項中出現正面向上和反面向上的次數的和必是1，對應的是必然事件，試驗前便知是必然出現的結果，也不是隨機變量．2．①某電話亭內的一部電話1小時內使用的次數記為X；②某人射擊2次，擊中目標的環(huán)數之和記為X；③測量一批電阻，阻值在950～1200Ω之間的記為X；④一個在數軸上隨機運動的質點，它離原點的距離記為X.其中是離散型隨機變量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④【解析】選A.①②中變量X所有可能的取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機變量，而③④中的結果不能一一列出，故不是離散型隨機變量．3．(多選題)下列隨機變量是離散型隨機變量的是()A．馬六甲海峽某天經過的輪船數XB．某超市5月某電話份每天的銷售額XC．某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξD．江西九江市長江水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內變化，該水位站所測水位ξ【解析】選AB.A選項中輪船數X的取值可以一一列出，故X為離散型隨機變量；B選項中某超市5月份每天銷售額X可以一一列出，故為離散型隨機變量；C選項中實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量；D選項中水位在(0，29]這一范圍內變化，無法一一列出，故不是離散型隨機變量．離散型隨機變量的特征(1)可用數值表示；(2)試驗之前可以判斷其出現的所有值；(3)在試驗之前不能確定取何值；(4)試驗結果能一一列出．其中，前三項是隨機變量的特征．【補償訓練】10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產品的件數 B．取到正品的概率C．取到次品的件數 D．取到次品的概率【解析】選C.A中取到產品的件數是一個常量，不是變量，B，D也是一個定值．而C中取到次品的件數可能是0，1，2，是隨機變量．類型二隨機變量的取值及其表示的事件(邏輯推理、數據分析)隨機變量的取值與表示的事件【典例】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．(1)一個袋中裝有8個紅球，3個白球，從中任取5個球，其中所含白球的個數為X.(2)一個袋中有5個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個球，取出的球的最大號碼記為X.【思路導引】分析題意→寫出X可能取的值→分別寫出取值所表示的結果．【解析】(1)X＝0表示取的5個球全是紅球；X＝1表示取1個白球，4個紅球；X＝2表示取2個白球，3個紅球；X＝3表示取3個白球，2個紅球．(2)X＝3表示取出的球編號為1，2，3.X＝4表示取出的球編號為1，2，4；1，3，4或2，3，4.X＝5表示取出的球編號為1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.1．在本例(1)條件下，規(guī)定取出一個紅球贏2元，而每取出一個白球輸1元，以ξ表示贏得的錢數，結果如何？【解析】ξ＝10表示取的5個球全是紅球；ξ＝7表示取1個白球，4個紅球；ξ＝4表示取2個白球，3個紅球；ξ＝1表示取3個白球，2個紅球．2．本例(2)中，“最大”改為“最小”，其他條件不變，應如何解答？【解析】X可取1，2，3.X＝3表示取出的3個球的編號為3，4，5；X＝2表示取出的3個球的編號為2，3，4或2，3，5或2，4，5；X＝1表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3.求隨機變量表示事件的概率【典例】在考試中，需回答三個問題，考試規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得0分，設一名同學回答這三個問題的總得分為X.(1)求X的取值范圍；(2)若已知這名同學不得分的概率為0.06，能得滿分的概率為0.43，求不得0分與不得滿分的概率．【思路導引】利用隨機變量表示的事件與互斥事件的概率公式解決．【解析】這名同學可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結果，相應得分為300分，200分，100分，0分．(1)所以X的取值范圍是{300，200，100，0}．(2)因為事件X>0為“不得0分”，X<300為“不得滿分”，所以X＝0與X>0是對立事件，X＝300與X<300是對立事件，又P(X＝0)＝0.06，P(X＝300)＝0.43，所以P(X>0)＝1－P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；P(X<300)＝1－P(X＝300)＝1－0.43＝0.57.隨機變量的取值及表示的事件問題的關注點(1)關鍵點：解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值時對應的意義，即一個隨機變量的取值可能對應一個或多個隨機試驗的結果．(2)注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結果．(3)求概率的公式：互斥事件與對立事件的概率公式．1．袋中有大小相同的紅球10個，白球5個，從袋中每次任取1個球，直到取出的球是白球為止，寫出所需要的取球次數；可能的取值及每個取值所表示的事件．【解析】設所需的取球次數為X，則X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，…，11.2．射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，該射手在一次射擊中的得分用ξ表示，已知P(ξ＝0)＝0.3，求P(ξ＝1).【解析】ξ可能取值為0，1，當ξ＝0時，表明該射手在本次射擊中沒有擊中目標；當ξ＝1時，表明該射手在本次射擊中擊中目標，這兩個事件是對立的，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.7.類型三隨機變量的之間的關系問題(邏輯推理、數學運算、數學建模)【典例】某快餐店的小時工是按照這樣的方式獲得稅前工資的：底薪1000元，每工作一小時獲得30元．從該快餐店中任意抽取一名小時工，設其月工作時間為X小時，獲得稅前月工資為Y元．(1)當X＝120時，求Y的值；(2)寫出X與Y之間的關系式；(3)若P(X≤130)＝0.6，求P(Y>4900)的值．【思路導引】明確X與Y的含義及它們之間的關系．【解析】(1)當X＝120時Y＝120×30＋1000＝4600.(2)X與Y之間的關系式為Y＝30X＋1000.(3)X≤130?30X＋1000≤4900，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤4900))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤130))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y>4900))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤4900))＝1－0.6＝0.4.兩個隨機變量關系問題的關注點(1)衍生關系：若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是隨機變量．(2)相等關系：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝t))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y＝at＋b)).在本例已知條件下，若Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y>4000))＝0.27，求P(X≤100)的值．【解析】Y>4000?30X＋1000>4000?X>100，所以P(X>100)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y>4000))＝0.27，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤100))＝1－P(X>100)＝1－0.27＝0.73.一個袋中裝有除顏色外完全相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，每抽到一個白球加5分，抽到白球的個數為X，抽到黑球不加分，且最后不管結果如何都加上6分，最終得分為Y.(1)求X的取值范圍；(2)求最終得分Y的可能取值；(3)若P(X>2)＝eq\f(1,12)，求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤16)).【解析】(1)由題意得，X可能的取值為0，1，2，3，所以X的取值范圍是{0，1，2，3}．(2)由題意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值為0，1，2，3，所以Y對應的值為5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值為6，11，16，21.顯然，Y為離散型隨機變量．(3)因為X>2，所以Y＝5X＋6>16，所以P(Y>16)＝P(X>2)＝eq\f(1,12)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y≤16))＝1－P(Y>16)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).1．下列變量中，不是隨機變量的是()A．一射擊手射擊一次命中的環(huán)數B．標準狀態(tài)下，水沸騰時的溫度C．拋擲兩顆骰子，所得點數之和D．某電話總機在時間區(qū)間(0，T)內收到的呼叫次數【解析】選B.水沸騰時的溫度是一個確定值，不是隨機變量，其他都是隨機變量．2．已知隨機變量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，則P(Y＝2)＝()A．0.1B．0.2C．0.4D．無法確定【解析】選A.因為隨機變量Y＝2X，當X＝1時，Y＝2，所以P(Y＝2)＝P(X＝1)＝0.1.3．(教材二次開發(fā)：例題改編)拋擲兩枚骰子，所得點數之和記為ξ，那么ξ＝4表示的事件是()A．一枚是3點，一枚是1點B．兩枚都是2點C．兩枚都是4點D．一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點【解析】選D.ξ＝4可能出現的結果是一枚是3點，一枚是1點或兩枚都是2點．4．一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6.現從中隨機取出2個球，以X表示取出的球的最大號碼，則“X＝6”表示的事件的樣本點是______________________________________．答案：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)5．寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果：(1)拋擲甲、乙兩枚質地均勻的骰子，所得點數之和Y.(2)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中任意取出3支，其中所含白粉筆的支數X，所含紅粉筆的支數Y.(3)在含有10件次品的100件產品中，任意抽取4件，所