第五章5 2三角函數(shù)概念課時

第五章三角函數(shù)高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期5.2

三角函數(shù)的概念課時4

三角函數(shù)的概念(2)高中快車道教學(xué)目標(biāo)利用任意角的三角函數(shù)的定義,推導(dǎo)出任意角的三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號的規(guī)律.借助任意角的三角函數(shù)的定義,得出終邊相同角的同一三角函數(shù)的值相等即誘導(dǎo)公式一.能正確理解任意角的三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,初步掌握其應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)通過三角函數(shù)的定義,理解任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號規(guī)律通過探究任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號規(guī)律,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)借助任意角的三角函數(shù)的定義,推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式一,理解誘導(dǎo)公式一的意義通過借助任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)誘導(dǎo)公式一,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)理解任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,掌握它們的應(yīng)用通過運用三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號規(guī)律和誘導(dǎo)公式一,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)上一課時我們已經(jīng)分析過了摩天輪的轉(zhuǎn)動情況，并抽象出了任意角的三角函數(shù)定義．把摩天輪所得的模型一般化，記點P為座艙位置，將點P放入單位圓(r＝1)中，觀察點P坐標(biāo)隨點P位置變化的具體情況．對任意角α，其頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓(圓心在原點O，半徑為1)的交點為P.請你思考：若知道角α的值，你能寫出動點P的坐標(biāo)嗎？點P在不同象限時，角α的三角函數(shù)值變化有什么規(guī)律？點P在不同象限時，點P的坐標(biāo)變化有什么規(guī)律？上述兩個規(guī)律是否有內(nèi)在聯(lián)系？初探新知【活動1

】探究三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律【問題1】怎樣確定三角函數(shù)值在各象限的符號呢？【問題2】你能在坐標(biāo)系中直觀地表示三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律嗎？【活動2

】探究終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間的關(guān)系【問題3】與角α終邊相同的角怎樣表示？【問題4】終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？【問題5】誘導(dǎo)公式一揭示了三角函數(shù)值怎樣的變化規(guī)律？【問題6】誘導(dǎo)公式一有什么作用？典例精析【例1】[教材改編題]以原點為圓心的單位圓上一點從P(1，0)出發(fā)：??(1)

沿單位圓逆時針方向運動弧長????，到達(dá)點Q，則點Q坐標(biāo)為；A. sin

θ>0 B.

sinθ<0 C.

tan

θ>0 D.

tan

θ<0思路點撥：(1)可由三角函數(shù)定義確定點Q的坐標(biāo)．(2)可由各象限角三角函數(shù)值的符號規(guī)律作出判斷．(??,??

??

??

)(2)(多選)若到達(dá)點M時，記∠POM為θ，當(dāng)θ終邊OM落在第二象限時，下列結(jié)論中正確的有(AD

)【解】(1)

單位圓半徑r＝1，圓弧PQ的長為l，圓心角為α，α＝??＝????＝2π＋??.設(shè)Q(x??

??

??，y)，由任意角三角函數(shù)定義，可得x＝cos

α＝cos

??＝??，y＝sin

α＝sin

??＝

??，故??

??

??

??點Q坐標(biāo)為(??,

??).??

??(2)

當(dāng)終邊OM落在第二象限，即角θ的終邊位于第二象限時，設(shè)終邊上點的坐標(biāo)為??(x，y)，其中x<0，y>0.由sinθ與y同號，cos

θ與x同號，tan

θ與??同號，知AD正確．【【方法規(guī)律】(1)由任意角的三角函數(shù)的定義,已知一個角的大小,可以在這個角的終邊上確定一個點,從而可求出這個角的各個三角函數(shù)的值;(2)利用三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號規(guī)律,可判斷已知角的各個三角函數(shù)值的符號.A.第一象限C.第三象限B.

第二象限D(zhuǎn).第四象限(2)

(多選)|

??????

??|

－

??????

??

的值為0，則α是(

)??????

??A.第一象限角C.第三象限角|??????

??|B.

第二象限角D.第四象限角【變式訓(xùn)練1】(1)

已知點P(sin

α，cos

α)在第二象限，則角α的終邊在(

D

)AC【解】(1)點P(sin

α，cosα)在第二象限時，則sinα＜0，cosα＞0.由sinα<0，則α的終邊在第三、四象限；由cos

α>0，則α的終邊在第一、四象限．綜上，角α的終邊在第四象限．故選D.【例2】[教材改編題]確定下列三角函數(shù)值的符號，然后用計算工具驗證：(1)

sin

156°；(2)

cos(－450°)；??(3)tan(－

??????)；(4)

tan556°；????(5)

sin

(－465°)；(6)

cos????

.思路點撥：用公式一把任意角的三角函數(shù)值分別轉(zhuǎn)化為0°～360°(或0～2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律直接判號．【解】(1)

156°是第二象限角，所以sin

156°>0.(2)

cos(－450°)＝cos(－450°＋2×360°)＝cos

270°，270°角的終邊在y軸的負(fù)半軸上，所以cos(－450°)＝0.??

??

??

??

??(3)

tan(－??????)＝tan(－??????+4??)＝tan??????，??????是第四象限角，所以tan(－??????)<0.tan

556°＝tan（196°+360°）

＝tan

196°，196°是第三象限角，所以

tan

556°＞0.sin(－465°)＝sin(－465°＋720°)＝sin

255°，255°是第三象限角，所以sin(－465°)<0.????是第二象限角，所以cos

????<0.計算工具驗證略．????

????【方法規(guī)律】判斷任意角的三角函數(shù)值符號的一般步驟：①變形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z；②轉(zhuǎn)化：根據(jù)公式一，轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值；③判號：利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律，判斷角α的符號．【變式訓(xùn)練2】不用計算器，sin180°，sin591.2°，sin(－358°)三者的大小順序是(

D

)sin

180°<sin

(－358°)<sin

591.2°sin

(－358°)<sin

180°<sin

591.2°sin

591.2°<sin

(－358°)<sin

180°sin

591.2°<sin

180°<sin

(－358°)【解】sin(－358°)＝sin(－358°+360°)＝sin

2°，2°是第一象限角，則sin(－358°)＞0；180°角的終邊在x軸負(fù)半軸，sin

180°＝0；sin

591.2°＝sin(－231.2°+360°)

＝sin

231.2°，231.2°是第三象限角，則sin

591.2°＝sin231.2°<0.可得sin591.2°<sin180°<sin(－358°).故選D.(也可由三角函數(shù)定義畫單位圓上對應(yīng)角得出答案)【例3】[教材改編題]求下列三角函數(shù)值：sin810°+cos-420°+tan1

125°cos??????+tan（-??????）??

??思路點撥

用誘導(dǎo)公式一,把任意角的三角函數(shù)值分別轉(zhuǎn)化為0°~360°(0~2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值,完成求值計算.【方法規(guī)律】求任意角的三角函數(shù)值的一般步驟:①變形:將已知的任意角寫成2kπ+α的形式,其中α∈,k∈Z;②轉(zhuǎn)化:根據(jù)公式一,轉(zhuǎn)化為求角α的某個三角函數(shù)值;③求值:若角為特殊角,可直接求出該角的三角函數(shù)值.【解】【變式訓(xùn)練3】求出下列各式的值：(1)

cos

1

470°；(3)

sin

(－

??????)＋cos??????

·tan

4??.??

??【解】（1）cos

1

470°＝（cos

360°×4＋30°)＝

????（2）思路點撥

(1)

求出點B的縱坐標(biāo),運用任意角的三角函數(shù)定義求解.

(2)易得α=?,從而可得角β的集合,運用誘導(dǎo)公式一,求出求出sinβ. (3)

運用三??角函數(shù)值的符號規(guī)律作出判斷.（備選例題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于點A,它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B,始邊不動,終邊在運動.(1)

若點B的橫坐標(biāo)為-??,求tanα的值;??若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合,并求出sinβ的值;若點B在第二象限,試判斷cos(sinα)·sin(cosα)的符號.【解】(1)

設(shè)點B的縱坐標(biāo)為m,則由題意m2+（-??）2=1,且m>0,所以m=??,故B（-??，??）,根??

??

??

???????????????據(jù)三角函數(shù)的定義得tanα= =-

.(2)??

??(3)

因為點B在第二象限,所以α是第二象限的角,得0<sinα<1<?,-?<-1<cosα<0,所以cos(sinα)>0,sin(cosα)<0,所以cos(sinα)·sin(cosα)<0.【方法規(guī)律】(1)已知一個角的終邊的位置,運用任意角的三角函數(shù)的定義求出這個角的三角函數(shù)的值;(2)運用誘導(dǎo)公式一,可將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°~360°(或0~2π)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值;(3)

要確定三角函數(shù)值的符號,只要確定該角所在的象限.課堂反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？你認(rèn)為本節(jié)課的重點和難點是什么？隨堂演練A．第一象限C.第二象限或第四象限B.第二象限D(zhuǎn).第二象限或第三象限1.

[2021·湖北省十堰市高一期末改編題]若tan

θ·sin2θ<0，則角θ在(C

)2.

[2021·福建省漳州市高一期末改編題]已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且A.(-2,3]C.[-2,3)B.

(-2,3)D.

[-2,3]cosα≤0,sinα>0,則實數(shù)a的取值范圍是

(

A

)3. (多選)已知sin

α·cos

α<0，tan

α·sin

α<0，下列說法中正確的是(AC)A.