導數(shù)的應用一課件

第三章導數(shù)的應用導數(shù)的應用§3-1中值定理羅爾定理(Roll)

:

定理1若函數(shù)

f(x)滿足:

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)

在開區(qū)間(a,b)內可導;(3)

f(a)=f(b).則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=0證明:

p44

幾何意義:xyoabξABC導數(shù)的應用

拉拉格朗日(Lagrange)中值定理：定理2：若函函數(shù)y=f(x)滿足：（1）

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）

在開區(qū)間(a,b)內可導．則在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ，使可寫成：導數(shù)的應用導數(shù)的應用幾何意義：曲線y=f(x)（除端點外）在每點都有切線的弧上，至少存在一點，在該點曲線的切線平行于聯(lián)結弧的兩端點的弦。

ξxyAA’BB’oabM導數(shù)的應用Lagrange中值定理，它是利用導數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要工具，它是溝通函數(shù)與其導數(shù)之間的橋梁。是微積分學中一個重要定理。推論1

如果函數(shù)的導數(shù)在某一區(qū)間(a,b)內恒等于零，則函數(shù)在

(a,b)內是一個常數(shù)。推論2

如果兩個函數(shù)的導數(shù)在[a,b]內恒等，則這兩個函數(shù)在(a,b)

內相差一個常數(shù)。例1

p46

導數(shù)的應用柯西Cauchy中值定理:定理3：若函數(shù)f(x)與g(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內可導;(3)在開區(qū)間(a,b),g’(x)≠0則至少存在一點ξ∈(a,b),使得證明p47導數(shù)的應用四、

羅必達法則1、兩個無窮小量之比的極限（0/0）導數(shù)的應用例：求極限例：導數(shù)的應用2、兩個無窮大量之比的極限（∞/∞型）與0/0型相同處理。例：導數(shù)的應用例：例：導數(shù)的應用3、其他未定型極限的求法例：例：p48例2、3、4、5、6、7、8、9、10導數(shù)的應用導數(shù)的應用導數(shù)的應用導數(shù)的應用§3-2

函數(shù)形態(tài)的研究一、函數(shù)的單調性和極值1、

函數(shù)的單調性定理1

（必要條件）如果函數(shù)在(a,b)內可導，且f(x)是遞增的，則對(a,b)內所有的x,有。反之是遞減的。（充分條件）（1）在區(qū)間(a,b)內所有x，如，則在區(qū)間內函數(shù)f(x)是遞增的；（2）在區(qū)間(a,b)內所有x，如，則在區(qū)間內函數(shù)f(x)是遞減的。導數(shù)的應用判斷函數(shù)單調性步驟：（1）確定定義域；（2）求出導數(shù)為零或不存在的點，分若干區(qū)間；（3）判斷各區(qū)間上導數(shù)的符號，確定單調性。導數(shù)的應用幾何意義：αα曲線遞增時，;遞減時，例：p51例1、2、3例：判斷函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區(qū)間。解（1）定義域（-∞，+∞）（2）（3）判斷導數(shù)的應用導數(shù)的應用、2、函數(shù)的極值1（1）

極值的概念：如果函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，對于此鄰域內任一點x均有，則稱f(x)在點取得極大值(localmaximum)，點叫做極大值點。反之，為極小值(localminimum)。極值(extremevalue)：極大值+極小值極值點(extremepoint)：取得極大值和極小值的點。注意：極大和極小是局部概念?？赡苡袔讉€極值，極大值可能小于極小值。導數(shù)的應用導數(shù)的應用（2）

極值的判斷定理2

若函數(shù)f(x)在點x0處有極值，且f’(x0)存在，則

f’(x0)=0駐點：使函數(shù)的導數(shù)為零的點?？蓪Ш瘮?shù)的極值點，必定是它的駐點?？蓪Ш瘮?shù)的駐點，不一定是它的極值點。定理3（第一判斷法）設函數(shù)f(x)在點x0的鄰近可導，且f’(x0)=0（1）如果x<x0時，f’(x)>0;x>x0時,f’(x)<0,則f(x)在點x0處有極大值（2）如果x<x0時，f’(x)<0;x>x0時,f”(x)>0,則在點x0處有極小值。（3）在x0兩側，f’(x)符號不變，則f(x)在點x0處沒有極值導數(shù)的應用求極值步驟：（1）求出函數(shù)的導數(shù)；（2）找出駐點和導數(shù)不存在的點；（3）判斷駐點兩側符號，求出極值。例：p53

4、5、6導數(shù)的應用例：求函數(shù)極值x(-∞,2)2(2,+∞)y’+不存在-y=f(x)↑極大值↓21導數(shù)的應用定理4（第二判斷法）設y=f(x)在點xo處有一、二階導數(shù)，且

f’(x0)=0（1）

若f’’(x0)<0，f(x0)為極大值。上凸（2）

若f’’(x0)>0，f(x0)為極小值。上凹（3）

若f’’(x0)=0，不能確定。在不可導點或二階導數(shù)為0點無法判斷。例:例7p54導數(shù)的應用導數(shù)的應用導數(shù)的應用3、函數(shù)的最大值和最小值如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上必有最大值和最小值。計算時，只要算出極大、極小和端點函數(shù)值，進行比較即可。例：p55

例8、9例：求極值導數(shù)的應用例1：已知半徑為R的圓內接矩形。它的長和寬為多少時矩形面積最大？θxyR導數(shù)的應用例2：某中藥廠要建一毛面積為512米2的矩形曬藥場。一邊可利用原有石條沿，另三邊需砌新的石條沿。問場地長和寬為多少時，材料最省。解：材料最省，即長度最短。x512m2512/x導數(shù)的應用例：某藥廠年產量為a個單位，分若干批生產，每批生產準備費為b元。若平均庫存量為批量的一半，設每年每單位的藥品庫存費為c元。如何選擇批量，才能使生產準備費與庫存費之和為最小。設每批生產x個單位，庫存費+準備費=y。年產量為a，每年生產批數(shù)為a/x(整數(shù))，準備費為b·a/x，庫存量為x/2，庫存費為c·x/2,因此導數(shù)的應用因為函數(shù)的最小值一定存在，且在(0,a)內只有一個駐點，故y有最小值。導數(shù)的應用例:導數(shù)的應用例:lhRθ設圓桌面的半徑為R,在桌面中心的上方掛一電燈.已知其照度為問電燈距桌面多高時,才能使桌面邊緣照得最亮.導數(shù)的應用導數(shù)的應用hRr導數(shù)的應用REr導數(shù)的應用二、曲線的凹凸與拐點1、曲線的凹凸性定義2：若曲線位于它上面任一點切線的上方，則曲線是上凹的(concave)。

若曲線位于它上面任一點切線的下方，則曲線是上凸的(convex)。xyABCD上凸上凹導數(shù)的應用凹凸判斷法設函數(shù)f(x)在(a,b)內有二階導數(shù)f’’(x),則在該區(qū)間內（1）當f’’(x)>0時，曲線是上凹的；（2）當f’’(x)<0時，曲線是上凸的。例10p56導數(shù)的應用2、

曲線的拐點拐點(inflectionpoint)：連續(xù)曲線的凹與凸的分界點。判斷方法：（

（1）求函數(shù)f(x)的二階導數(shù)f’’(x)=0的根或不。存在的點。若f’’(x)在根x0兩側符號不同，則((x0,f(x0))就是函數(shù)y=f(x)的拐點。(2)求出f’’(x)=0所有的點，按大小排列，考察各區(qū)間f’’(x)的符號，比較根兩邊的符號變化，尋找拐點。導數(shù)的應用例：p57例11、12拐點F’’(x)=0導數(shù)的應用導數(shù)的應用導數(shù)的應用導數(shù)的應用三、曲線的漸近線例：p59例13導數(shù)的應用《函數(shù)圖形的描繪》1、確定函數(shù)y=f(x)的定義域。2、確定函數(shù)y=f(x)的對稱性。3、確定曲線與坐標軸的交點。4、一階導數(shù)確定單調區(qū)間和極值。5、二階導數(shù)確定凹凸區(qū)間和拐點。6、考察漸近線。7、補充一些適當?shù)狞c，列表，繪圖。例：p60例14、15、16導數(shù)的應用§3-3

函數(shù)展為冪級數(shù)一、用多項式近似表示函數(shù)（用簡單函數(shù)代替復雜函數(shù)，函數(shù)在一點附近的近似值）在微分應用近似計算中得到：導數(shù)的應用x0(x0,f(x0)Mf(x)p1(x)提高近似度，用二階多項式近似n次多項式：導數(shù)的應用為f(x)的n階近似，即例：p64例1例：求近似式導數(shù)的應用導數(shù)的應用二、常用的幾個函數(shù)的冪級數(shù)展開式1、冪級數(shù)稱為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)。第n項un稱為通項。數(shù)項級數(shù)—每一項都是常數(shù)的級數(shù)。函數(shù)項級數(shù)—每一項都是變量的級數(shù)