線性系統(tǒng)理論-第一章課件

第一章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

狀態(tài)空間描述是60年代初,將力學中的相空間法引入控制系統(tǒng)的研究中而形成的描述系統(tǒng)方法，它是時域中最詳細的描述方法。

給出了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息

形式上簡潔，便于用數(shù)字計算機計算。11.1系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型例1.1考慮電路列出電路方程R1u(t)Lcicuc+_R2+_uR22右方程左方程整理得以和為待定變量求解上述方程，得3寫成向量形式4導出輸出方程：把稱為系統(tǒng)狀態(tài)變量。系統(tǒng)的狀態(tài)定義為表現(xiàn)系統(tǒng)時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組。

在一般情況下，一個有r個輸入m個輸出的系統(tǒng)運動，可以描述為為輸出變量。5若A,B,C,D為常數(shù)，則稱系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，記為（A,B,C,D）

是狀態(tài)變量，輸出向量。是輸入向量，是表示參數(shù)隨時間發(fā)生變化，稱為時變系統(tǒng)狀態(tài)方程：輸出方程：(1-1)6狀態(tài)空間輸入空間輸出空間時間集7建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型有兩種方法：機理建模辨識建模BACDu++x++Y81.2解空間定理1.1（解的存在與唯一性定理）初值為，則方程有唯一解。先研究情況，此時狀態(tài)方程變?yōu)椋?-2）對，若f

在T上滿足Lipschitz條件，（1-2）稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)1.2.1零輸入系統(tǒng)9（1-3）其中為非奇異實常數(shù)值矩陣?？梢宰C明有且僅有個線性無關(guān)的解。任意選取個線性無關(guān)的解，并以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣函數(shù)，則為的一個基本解陣。10定義1.2：

的解陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由（1-3）和（1-5）得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有下列的特性：定義1.1：若(1-4)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣稱(1-5)滿足11定理1.2：零輸入響應(yīng)系統(tǒng)(1-2)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為證明：證畢。對于時候和，若滿足條件時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可寫為(1-6)12定理1.3：設(shè)K

為某個正常數(shù)，如果對所有的t有，則對所有的t和s有證明：設(shè)s固定且t>s，因為且將上式從s到t積分，得取范數(shù)為13應(yīng)用格郎瓦—別爾曼不等式得證畢。

由這個定理知，若系統(tǒng)的參數(shù)矩陣是有界的，則它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣也是有界的。1.2.2非齊次方程的解由性質(zhì)4得

利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，很容易求出時的狀態(tài)軌跡表達式14則有(1-7)(1-7)中第一項為u=0時由初始狀態(tài)引起的效應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)；第二項是當系統(tǒng)初態(tài)時由輸入u引起的效應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。從到t

積分后成為由(1-5)、(1-7)可知要求得系統(tǒng)的運動軌跡，關(guān)鍵是求出系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。對于一般的時變系統(tǒng)，這是一件困難的事情，大多只能依靠數(shù)值解法。151.2.3脈沖響應(yīng)陣

在狀態(tài)空間模型下，只要有了系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡表達式(1-7)，可由輸出方程(1-1)求得輸出y的表達式第1項是在u=0時由初始狀態(tài)后引起的狀態(tài)響應(yīng)在輸出中的反映，稱為零輸入響應(yīng)；第2項和第3項是初始狀態(tài)時由u后引起的狀態(tài)響應(yīng)及u本身在輸出中的反映，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。（1-8）16若成立則稱為作用時刻為的單位脈沖函數(shù)。定義1.3

對單輸入單輸出連續(xù)線性時不變系統(tǒng)，零初始狀態(tài)下以單位脈沖為輸入的系統(tǒng)輸出響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)，表為。具有屬性17

很顯然，對于單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，若系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，則系統(tǒng)在任意輸入u作用下基于脈沖響應(yīng)的輸出響應(yīng)y(t)的關(guān)系式為證明：略。對于時變系統(tǒng)，用表示系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。

(1-9)定義1.4

對r維輸入m維輸出的連續(xù)線性時變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣定義為零初始狀態(tài)條件下以脈沖響應(yīng)為元構(gòu)成的一個輸出響應(yīng)矩陣18由脈沖響應(yīng)矩陣定義，有(1-10)（1-10）式為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與脈沖響應(yīng)矩陣之間的關(guān)系。對于容許的任意輸入u，利用函數(shù)的性質(zhì)將其表示為這就是系統(tǒng)對任意輸入u的響應(yīng)。那么由式(1-8)即可寫出在初態(tài)下的輸出(1-11)191.3線性時不變系統(tǒng)運動分析令即無外部輸入，導出自治運動方程為：(1-12)令式(1-6)中的參數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣，積分得或(1-13)20在（1-13）式對t微分后得由于定常系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)矩陣不隨時間的起點不同而變化，不妨設(shè)s=0.于是即有是方程（1-12）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。顯然它有性質(zhì)211.3.1矩陣指數(shù)函數(shù)的算法（1）定義法(1-14)

利用定義法，只能得到的數(shù)值結(jié)果，難以得到的解析表達式.（2）特征值法

給定矩陣A，且其n個特征值兩兩相異，A的各個特征值的右特征向量組成變換陣為22的算式為(1-15)若A的特征值屬于包含重值情形。為設(shè)符號不致過于復雜，設(shè)n=5,特征值（重數(shù)為3），（重數(shù)為2）。由A的廣義特征向量組所構(gòu)成的變換陣為Q的算式為23（3）求預(yù)解矩陣法證：對上式兩邊求拉普拉斯變換，即得證。24例1.2給定一個連續(xù)時不變系統(tǒng)，其自治狀態(tài)方程為解:（1）定義法。由算式（1-14）得25（2）特征值法26（3）求預(yù)解矩陣法271.3.2狀態(tài)響應(yīng)表達式線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)表達式：對于例(1.2)，,設(shè)為單位階躍響應(yīng)，可以得出狀態(tài)響應(yīng)281.3.3脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述對于連續(xù)時不變系統(tǒng)其中，A,B,C,D分別為和的實常數(shù)陣，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣為或(1-16)（1-16）式由（1-10）容易得出。291.4連續(xù)時間線性系統(tǒng)的離散化圖1.1計算機控制系統(tǒng)問題的提出現(xiàn)代計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)連續(xù)系統(tǒng)保持器采樣器數(shù)字計算機D/AA/Du(t)y(t)u(k)

30離散化原則：1.等間隔采樣，且采樣時間寬度比采樣周期T要小得多，即。2.采樣周期要滿足香農(nóng)定理（Shannon）圖1.2連續(xù)信號的幅頻譜及其上限頻率31結(jié)論1：連續(xù)系統(tǒng)的離散化模型為(1-17)系數(shù)矩陣存在如下關(guān)系式證：連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)運動方程為32令則33(1-18)其中，系統(tǒng)矩陣