10第一章緒論課件

常微分方程

Ordinarydifferentialequation常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章緒論第二章一階微分方程的初等積分法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線性微分方程組課程目的/MajorSubjectionofCourse/

學(xué)習(xí)各類可求解的常微分方程和方程組的類型及其求解方法。熟悉常微分方程解的基本性質(zhì)，如解的存在性，唯一性等內(nèi)容，了解研究常微分方程的基本方法，如穩(wěn)定性分析、定性分析等。課時(shí)/Periods/4節(jié)/周，共48學(xué)時(shí)?？荚?Examination/

閉卷：期末考試。參考書目/ReferenceBooks/

葉彥謙，常微分方程講義，高等教育出版社。莊萬，常微分方程習(xí)題解，山東科學(xué)技術(shù)出版社。第一章緒論

Introduction微分方程概述/SketchofODE/基本概念/BasicConception/練習(xí)題/Exercise/本章要求/Requirements/

能快速判斷微分方程的類型；掌握高階微分方程及其初值問題的一般形式；

理解微分方程解的意義。CH.1Introduction

微分方程理論起始于十七世紀(jì)末，是研究自然現(xiàn)象強(qiáng)有力的工具，是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實(shí)際的主要途徑之一。1676年，萊布尼茲在給Newton（牛頓）的信中首次提到DifferentialEquations（微分方程）這個(gè)名詞。微分方程研究領(lǐng)域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、Euler、Taylor、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。微分方程理論發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)過程：求微分方程的解；定性理論與穩(wěn)定性理論；微分方程的現(xiàn)代分支理論?！?.1

微分方程概述/SketchofODE/§1.1SketchofODE

含有未知量(數(shù))的等式(或關(guān)系式)。例如:1代數(shù)方程(組)，其未知量為數(shù)一元n次代數(shù)方程：無理方程：方程組：2超越方程（組），其含有超越函數(shù)三角方程：指數(shù)方程：其特點(diǎn)：方程的解為實(shí)數(shù)（有限個(gè)或者無限個(gè)）方程/Equation/§1.1SketchofODE例

3函數(shù)方程（或泛函方程），其未知量為函數(shù)其特點(diǎn)：方程的解為有限個(gè)或無窮多個(gè)函數(shù)。定義：一個(gè)或幾個(gè)包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)（或微商）的關(guān)系式，稱之為微分方程

?！?.1SketchofODEn階隱式方程n階顯式方程方程組偏微分方程偏微分方程不是微分方程§1.1SketchofODE例1：質(zhì)量為m的物體在重力的作用下，沿鉛直線下落，物體下落距離S(向下為正）隨時(shí)間t而改變。在不考慮空氣阻力的情況下，試求出距離S應(yīng)滿足的微分方程。

微分方程模型舉例/ModelingofODE/解：設(shè)在時(shí)刻t物體下落的距離為

按牛頓第二定律

§1.1SketchofODE

例2：放射性元素鐳因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，這種現(xiàn)象成為衰變，實(shí)驗(yàn)知鐳的衰變率與其當(dāng)時(shí)的質(zhì)量成比例。試求鐳衰變的規(guī)律。

微分方程模型：含有自變量，未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或變化率）的關(guān)系式。解：設(shè)在任意時(shí)刻t鐳的質(zhì)量為R(t),§1.1SketchofODE背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長(zhǎng)例3人口模型指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng).與常用公式的一致rtextx0)(=?指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律.

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(logistic模型)指數(shù)增長(zhǎng)模型例4傳染病模型

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻.

預(yù)防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學(xué)角度分析各種傳染病的特殊機(jī)理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本方法已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病.建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmlogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲線增長(zhǎng)接觸數(shù)(感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計(jì)算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)§1.2

基本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程2.一階與高階微分方程3.線性和非線性微分方程4.解和隱式解5.通解和特解6.積分曲線和積分曲線族7.微分方程的幾何解釋-----方向場(chǎng)常微分方程與偏微分方程/ODEandPDE/

微分方程/DE/聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式常微分方程/ODE/

在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。

偏微分方程/PDE/

自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程。§1.2BasicConception一階與高階微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的階/Order/在一個(gè)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當(dāng)n=1時(shí)，稱為一階微分方程；當(dāng)n>1時(shí)，稱為高階微分方程。例如§1.2BasicConception一階常微分方程的一般隱式形式可表示為：一階常微分方程的一般顯式形式可表示為：類似的，n階隱方程的一般形式可表示為：n階顯方程的一般形式為其中F及f分別是它所依賴的變?cè)囊阎瘮?shù)?！?.2BasicConception線性和非線性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程的左端為未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的一次有理整式，則稱它為線性微分方程，否則，稱它為非線性微分方程。例如：§1.2BasicConceptionn階線性微分方程的一般形式為：其中均為的已知函數(shù)如：2階線性方程的一般形式§1.2BasicConception解和隱式/Solution/

對(duì)于方程若將函數(shù)代入方程后使其有意義且兩端成立即則稱函數(shù)為該方程的一個(gè)解.或一階微分方程有解即關(guān)系式若方程的解是某關(guān)系式的隱函數(shù)，稱這個(gè)關(guān)系式為該方程的隱式解。把方程解和隱式解統(tǒng)稱為方程的解。包含了方程的解，§1.2BasicConception通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/常微分方程的解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或者幾個(gè)常數(shù)，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分方程的通解。常微分方程滿足某個(gè)初始條件的解稱為微分方程的特解。例：二階方程其通解而是方程滿足初始條件解?！?.2BasicConception注1:注2:注3:類似可定義方程的隱式通解,

如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解.初值條件/InitialValueConditions/對(duì)于n階方程初值條件可表示為n階方程初值問題（CauchyProblem）的表示一階和二階方程初值問題（CauchyProblem）的表示§1.2BasicConception積分曲線和積分曲線族

/IntegralCurve(s)/一階微分方程的解平面的一條曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲線，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線族?！?.2BasicConception方向場(chǎng)/DirectionalPattern/對(duì)于一階微分方程其右端函數(shù)的定義域?yàn)椋诙x域的每一點(diǎn)處，畫一個(gè)小線段，其斜率等于，此時(shí)，點(diǎn)集就成為帶有方向的點(diǎn)集。稱此區(qū)域?yàn)橛煞匠檀_定的方向場(chǎng)。常微分方程求解的幾何意義是：在方向場(chǎng)中尋求一條曲線，使這條曲線上每一點(diǎn)切線的方向等于方向場(chǎng)中該點(diǎn)的方向?！?.2BasicConception例1畫出方程的方向場(chǎng)。等傾線方程即也就是說，方向場(chǎng)中每點(diǎn)的方向與該點(diǎn)等傾線垂直。xyo§1.2BasicConception例2畫出方程的方向場(chǎng)。等傾線方程xyo，拐點(diǎn)線方程§1.2BasicConception練習(xí)題1編號(hào)微分方程自變量未知函數(shù)常或偏階數(shù)是否線性1234§1.3Exercise練習(xí)題2編號(hào)函數(shù)微分方程初始條件1234§1.3Exercise練習(xí)題3