過程控制第5章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型課件

過程控制第5章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型過程控制第5章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型過程控制第5章被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型變送器和執(zhí)行器的特性一般是比例關(guān)系、控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對(duì)象的特性。給定值被控量干擾f

控制器變送器執(zhí)行器被控對(duì)象+e實(shí)測值－變送器和執(zhí)行器的特性一般是比例關(guān)系、控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對(duì)象的特性。被控對(duì)象Xri(s)Xci(s)

5.1被控過程數(shù)學(xué)模型的作用與要求被控對(duì)象大都是生產(chǎn)中的工藝設(shè)備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設(shè)計(jì)、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對(duì)象的特性。在經(jīng)典控制理論中：用單輸入、輸出的數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：輸入變量與輸出變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)運(yùn)行在穩(wěn)定的平衡工況下，輸入變量與輸出變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。數(shù)學(xué)模型的作用：1、設(shè)計(jì)過程控制系統(tǒng)及整定控制參數(shù)的重要依據(jù)；2、指導(dǎo)生產(chǎn)工藝及其設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作；3、對(duì)被控過程進(jìn)行仿真研究；4、培訓(xùn)運(yùn)行操作人員；5、工業(yè)過程的故障檢測與診斷。數(shù)學(xué)模型的要求：盡量簡單，正確可靠最常用的是傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)是指用拉氏變換式表示的對(duì)象特性。模型的階次一般不高于3階，主要采用具有純滯后的一階和二階模型，帶純滯后的一階最常用。被控對(duì)象xr(t)xc(t)Xc(s)Xr(s)W

(s)=5.2建立被控過程數(shù)學(xué)模型的基本方法求對(duì)象的數(shù)學(xué)模型有兩條途徑：機(jī)理法：根據(jù)生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，列寫出有關(guān)的平衡方程，從而獲取對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。測試法：通過實(shí)驗(yàn)測試，來識(shí)別對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。由于影響生產(chǎn)過程的因素較多，單純用機(jī)理法建模較困難，一般用機(jī)理法的分析結(jié)論，指導(dǎo)測試結(jié)果的辨識(shí)。5.3機(jī)理法建模5.3.1機(jī)理法建模的基本原理通過分析生產(chǎn)過程的內(nèi)部機(jī)理，找出變量之間的關(guān)系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學(xué)反應(yīng)定律、電路基本定律等，從而導(dǎo)出對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。5.3.2單容過程建模當(dāng)對(duì)象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時(shí)，稱為單容過程或一階特性對(duì)象。大部分工業(yè)對(duì)象可以用一階特性描述。典型代表是水槽的水位特性。

5.3.2.1單容貯液箱液位過程I如圖是一個(gè)水槽，水經(jīng)過閥門l不斷地流入水槽，水槽內(nèi)的水又通過閥門2不斷流出。工藝上要求水槽的液位h保持一定數(shù)值。在這里，水槽就是被控對(duì)象，液位h就是被控變量。如果想通過調(diào)節(jié)閥門1來控制液位，就應(yīng)了解進(jìn)水流量Q1變化時(shí)，液位h是如何變化的。此時(shí)，對(duì)象的輸入量是流入水槽的流量Q1，對(duì)象的輸出量是液位h。W(S)Q1h機(jī)理建模步驟：從水槽的物料平衡關(guān)系考慮，找出表征h與Q1關(guān)系的方程式。設(shè)水槽的截面積為A

Ql0=Q20時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，即靜態(tài)。這時(shí)液位穩(wěn)定在h0h0閥門1閥門2Q10Q20假定某一時(shí)刻，閥門1突然開大?μ1，

則Q1突然增大，不再等于Q2，于是h也就開始變化。

Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。（

?Ql-

?Q2）/A=d?h/dtRS——閥門2阻力系數(shù)；Kμ——閥門1比例系數(shù)；μ1——閥門1的開度；式中：h0閥門1閥門2Q10Q20?h?Q1=Kμ?μ1即解得寫成標(biāo)準(zhǔn)形式令：T=ARs——時(shí)間常數(shù)；K=KμRs——放大倍數(shù)。

進(jìn)行拉氏變換TSH(S)+H(S)=Kμ1(S)傳遞函數(shù)為：

階躍響應(yīng)（飛升）曲線輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時(shí)，其輸出（Δh）隨時(shí)間變化的曲線。1Δμ1ttΔhKT因則時(shí)域表達(dá)式又稱一階慣性特性或單容特性因?yàn)楣に囘^程就是能量或物質(zhì)的交換過程，在此過程中，肯定存在能量的儲(chǔ)存和阻力。（1）容量系數(shù)——反映對(duì)象存儲(chǔ)能量的能力。

如水槽面積A，它影響時(shí)間常數(shù)T的大小。（2）阻力系數(shù)——反映對(duì)象對(duì)物料或能量傳遞的阻力。如閥門阻力系數(shù)RS，它影響放大系數(shù)K的大小。

T=ARSK=RS對(duì)象的特性參數(shù)K、T反映了對(duì)象的物理本質(zhì)。5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II從一階慣性特性曲線可以看出，對(duì)象在擾動(dòng)作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有人工干預(yù)或調(diào)節(jié)器干預(yù)下，能自動(dòng)達(dá)到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。

用自衡率ρ表征對(duì)象自衡能力的大小1Δμ1ttΔhKT并不是所有被控過程都具有自衡特性。同樣的單容水槽如果出水用泵抽出，則成為無自衡特性。與放大系數(shù)K互為倒數(shù)如果ρ大，說明對(duì)象的自衡能力大。即對(duì)象能以較小的自我調(diào)整量Δh（∞），來抵消較大的擾動(dòng)量Δμ1。1Δμ1ttΔhKTΔQ2

=0

令h0閥門1Q10Q20h單容無自衡特性若閥門1突然開大?μ1，

則Q1增大，Q2不變化。

?Q1=Kμ?μ1—稱飛升速度則：傳函：即：

Δh（t）=∫εΔμ1dt—又稱積分特性h0閥門1Q10Q20h若閥門1階躍增大?μ1，

則Δh（t）持續(xù)增長。

tΔμ1h0tΔh圖5.5非自衡單容液位控制過程階躍響應(yīng)曲線μ05.3.2.3單容溫度過程建模及其他單容過程某電容電加熱過程，容器內(nèi)液體的總熱容為C，液體的比熱容為Cp，流體流量（流入、流出相等）為q，液體以溫度Ti流入加熱容器，以溫度Tp流出加熱容器。求電加熱電壓u和液體輸出溫度Tp之間的關(guān)系單電容電加熱熱力過程把加熱器看作一個(gè)獨(dú)立的隔離體，設(shè)容器所在的環(huán)境溫度為Tc。根據(jù)能量平衡關(guān)系，單位時(shí)間進(jìn)入容器的熱量Q1與單位時(shí)間流出的熱量Q2之差等于容器內(nèi)熱量儲(chǔ)存的變化率。而式中為流入液體帶走的熱量。式中為容器向周圍散發(fā)的熱量。當(dāng)加熱處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，即Tp保持不變，此時(shí)，從加熱器輸出的熱量等于從外部輸入的熱量用增量表示變量對(duì)于穩(wěn)態(tài)值的變化量可得：假設(shè)q，Ti，Tc不變，所以有綜合上述各式可得在工作點(diǎn)附近進(jìn)行線性化處理可得代入上式可得進(jìn)行拉氏變換可得其中5.3.3多容過程建模有一個(gè)以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。5.3.3.1多容液位過程如圖所示為雙容對(duì)象。由兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)起來，操縱變量是Δμ1，被控變量是第二個(gè)水槽的水位h2。Δμ1C2可以求出傳遞函數(shù)：由兩個(gè)一階慣性特性乘積而成。又稱二階慣性。式中：T1＝A1R2T2＝A2R3K＝KμR3Δμ1C2A1A2R2R3Kμ當(dāng)輸入量是階躍增量Δμ1

時(shí)，被控變量Δh2的反應(yīng)（飛升）曲線呈S型。

所謂滯后是指被控變量的變化落后于擾動(dòng)變化的時(shí)間。0tΔh2（∞）Δh2為簡化數(shù)學(xué)模型，可以用帶滯后的單容過程來近似。0tΔh2（∞）Δh2τ0

Δh2（∞）0tτcT0在S形曲線的拐點(diǎn)上作一切線，若將它與時(shí)間軸的交點(diǎn)近似為反應(yīng)曲線的起點(diǎn)，則曲線可表達(dá)為帶滯后的一階特性：?h2(t)=K0?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T00t<τc被控過程的容量系數(shù)C越大，τc越大；容量個(gè)數(shù)越多（階數(shù)n越多），階躍響應(yīng)曲線上升越慢。Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=5切線在時(shí)間軸上截出的時(shí)間段τc為容量滯后。5.3.3.2容量滯后與純滯后1.容量滯后0tτcT02.純滯后由信號(hào)或能量的傳輸時(shí)間造成的滯后現(xiàn)象，稱為純滯后。下圖是一個(gè)具有純滯后的單容液位過程。流入的流量Q1要經(jīng)過長度為

l的

水槽延遲。0tτ0

Δhv——水的流速；

0tτ0

Δh純滯后時(shí)間有些對(duì)象容量滯后與純滯后同時(shí)存在，很難嚴(yán)格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時(shí)間τ

τ=τo+τct0τcT0Δh2（∞）τ05.4測試法建模根據(jù)工業(yè)過程中某因果變量的實(shí)測數(shù)據(jù)，進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到的數(shù)學(xué)模型。測定對(duì)象特性的實(shí)驗(yàn)方法主要有三種：（1）時(shí)域法——輸入階躍或方波信號(hào)，測對(duì)象的飛升曲線或方波響應(yīng)曲線。（2）頻域法——輸入正弦波或近似正弦波，測對(duì)象的頻率特性。（3）統(tǒng)計(jì)相關(guān)法——輸入隨機(jī)噪音信號(hào)，測對(duì)象參數(shù)的變化。5.4.1階躍響應(yīng)曲線法建模給對(duì)象輸入一階躍信號(hào)或方波信號(hào)測其輸出響應(yīng)。1．階躍響應(yīng)曲線的直接測定1Δμ1ttΔhKT在被控過程處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時(shí)，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大），測試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應(yīng)曲線。有些工藝對(duì)象不允許長時(shí)間施加較大幅度的擾動(dòng)，那么施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應(yīng)曲線稱為“方波響應(yīng)”。２．矩形脈沖法測定被控過程的階躍響應(yīng)曲線

一個(gè)是在t=0時(shí)加入的正階躍信號(hào)x1（t）另一個(gè)是在t=Δt

時(shí)加入的負(fù)階躍信號(hào)x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）方波響應(yīng)可以轉(zhuǎn)換成飛升曲線。原理：方波信號(hào)是兩個(gè)階躍信號(hào)的代數(shù)和。＋ΔtΔttttxxxx0x0x0根據(jù)此式，方波響應(yīng)可逐點(diǎn)拆分為飛升曲線y1（t）和y2（t）。對(duì)應(yīng)的響應(yīng)也為兩個(gè)階躍響應(yīng)之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-Δt）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)5.4.1.2由階躍響應(yīng)曲線確定被控過程傳遞函數(shù)大多數(shù)工業(yè)對(duì)象的特性可以用具有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似描述：1xtty0tyττ00對(duì)于少數(shù)無自衡特性的對(duì)象，可用帶滯后的積分特性近似描述：

xtty0tyττ00由對(duì)象的階躍響應(yīng)曲線基本可以辨識(shí)對(duì)象的特性模型結(jié)構(gòu)和特性參數(shù)。一階對(duì)象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義：由階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性加滯后環(huán)節(jié)模型ttx0y(∞)yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出對(duì)輸入的放大倍數(shù)。求法：

K

=y(∞)/

x0K越大，表示對(duì)象的輸入對(duì)輸出的影響越大。時(shí)間常數(shù)的物理意義對(duì)象受到階躍輸入后，輸出達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時(shí)間，就是時(shí)間常數(shù)T。或?qū)ο笫艿诫A躍輸入后，輸出若保持初始速度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間就是時(shí)間常數(shù)。tT0.632y∞)求法：在相同的階躍輸入作用下，對(duì)象的時(shí)間常數(shù)不同時(shí)，被控變量的響應(yīng)曲線如圖所示。

T反映了對(duì)象輸出對(duì)輸入的響應(yīng)速度T越大，響應(yīng)越慢。如水槽對(duì)象中T=ARS

，說明水槽面積越大，水位變化越慢。T也反映了過渡過程時(shí)間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間理論上需要無限長。當(dāng)t→∞時(shí)，才有y＝Kx0，但是當(dāng)t=3T時(shí)，便有：

即：經(jīng)過3T時(shí)間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95％。這時(shí)，可以近似地認(rèn)為動(dòng)態(tài)過程基本結(jié)束。tTy∞)3T例：被控過程的單位階躍響應(yīng)是一條S形單調(diào)曲線，用有純滯后的一階環(huán)節(jié)近似描述該過程的特性。作圖法：0tTy（∞）τ

1）在響應(yīng)曲線的拐點(diǎn)處作一條切線，該切線與時(shí)間軸的交點(diǎn)切出τ；2）以τ為起點(diǎn)，與y(∞)的交點(diǎn)切出的時(shí)間段為T；3）K=y(∞)/x0由于階躍響應(yīng)曲線的拐點(diǎn)不易找準(zhǔn)，切線的方向也有較大的隨意性，因而作圖法求得的T、τ值誤差較大。可以用計(jì)算法來求特性參數(shù)。計(jì)算法的原理是根據(jù)曲線上的已知兩點(diǎn)解方程。兩點(diǎn)法：先將y（t）轉(zhuǎn)換成無量綱的形式y(tǒng)*（t）。0t1y*(t)有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應(yīng)為：

0t<τ

t≥τy*(t)=y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時(shí)刻的響應(yīng)y*（t）的坐標(biāo)值：

解方程組

得

y*（t1）=0.39y*（t2）=0.63τ=2t1–t2T=2（t1-t2）y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)為計(jì)算方便，取特殊兩點(diǎn)：則2、由階躍響應(yīng)曲線確定二階及高階模型特性參數(shù)K，若用0tTy（∞）τ來近似如圖所示的階躍響應(yīng)曲線。放大倍數(shù)K為：

K=y(∞)/

x0純滯后時(shí)間可根據(jù)階躍響應(yīng)曲線開始出現(xiàn)變化的時(shí)刻來確定。y(t)在時(shí)間軸上截去純滯后，化為無量綱形式的階躍響應(yīng)截去純滯后并化為無量綱形式后可得到：與上式對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為：可利用階躍響應(yīng)曲線上兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)確定T1和T2，一般選取，兩點(diǎn)，再從曲線上確定對(duì)應(yīng)的t1和t2可得到方程組：可求出近似解：當(dāng)時(shí)，被控過程可近似為二階慣性環(huán)節(jié)；當(dāng)時(shí)，被控過程可近似為一階慣性環(huán)節(jié)；當(dāng)時(shí)，被控過程可近似為一階慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)為：當(dāng)時(shí)，被控過程可近似為時(shí)間常數(shù)為：當(dāng)時(shí)，被控過程應(yīng)采用高于二階的環(huán)節(jié)近似，即時(shí)間常數(shù)為：式中的n可根據(jù)查表。3、由階躍響應(yīng)曲線確定無自衡被控過程數(shù)學(xué)模型的特性參數(shù)無自衡被控過程的階躍響應(yīng)隨時(shí)間將無限增大，但其變化率會(huì)趨于一個(gè)常數(shù)。若用來近似右圖的階躍響應(yīng)曲線，為了確定時(shí)間常數(shù)T

，作階躍響應(yīng)曲線的漸近線與時(shí)間軸交于，與時(shí)間軸的夾角為?？傻玫絼t有上述方法比較簡單，但在到A這一段誤差較大。若要求保證這一段的精確度，可采用來近似被控過程的傳遞函數(shù)。在之間，可取純滯后。在階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)主要是積分作用為主，則有在時(shí)間段，慣性環(huán)節(jié)起作用，可取檢驗(yàn)，設(shè)階躍輸入為，則在之間，y(t)=0;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，5.4.2測定動(dòng)態(tài)特性的頻域法被控過程的動(dòng)態(tài)特性也可用頻率特性來表示：方法：在對(duì)象的輸入端加特定頻率的正弦信號(hào)，同時(shí)記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位）。在選定范圍的各個(gè)頻率點(diǎn)上重復(fù)上述測試，便可測得該對(duì)象的頻率特性。y（t）x（t）優(yōu)點(diǎn)：能直接從記錄曲線上求得頻率特性。頻率特性測試裝置的工作原理：對(duì)激勵(lì)輸入信號(hào)進(jìn)行波形變換，得到幅值恒定的正余弦參考信號(hào)，把參考信號(hào)與被測信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理，所得常值部分保存了被測信號(hào)基波的幅值和相角信息。被測過程頻率特性的同相分量

正交分量幅值相角5.4.3測定動(dòng)態(tài)特性的統(tǒng)計(jì)相關(guān)分析法相關(guān)分析法是在生產(chǎn)正常進(jìn)行中，向被控過程輸入一種對(duì)正常生產(chǎn)過程影響不大的特殊信號(hào)——偽隨機(jī)測試信號(hào)，通過對(duì)被控過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析得到被控過程的數(shù)學(xué)模型；有時(shí)也可以不加專門信號(hào)，直接利用生產(chǎn)過程正常運(yùn)行時(shí)所記錄的輸入、輸出數(shù)據(jù)，進(jìn)行相關(guān)分析得到數(shù)學(xué)模型。這種方法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行干擾程度低。若系統(tǒng)備有計(jì)算機(jī)在線工作，整個(gè)試驗(yàn)可由計(jì)算機(jī)完成。5.4.4最小二乘法建立被控過程的數(shù)學(xué)模型前面討論的方法都是建立連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)模型。為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的發(fā)展，需要建立被控過程的離散時(shí)間數(shù)學(xué)模型。如果對(duì)被控過程的輸入信號(hào)u(t)、輸出信號(hào)y(t)進(jìn)行采樣，則可得到一組輸入序列u(k)和輸出序列y(k)：線性定常對(duì)象U(t)y(t)······輸入序列和輸出序列之間的關(guān)系總可用差分方程進(jìn)行描述（純滯后時(shí)間已剔除）。y(k)+a1y(k－1)+a2y(k－2)+