內蒙古自治區(qū)呼和浩特市臺閣牧鄉(xiāng)中學高三數學理期末試卷含解析

內蒙古自治區(qū)呼和浩特市臺閣牧鄉(xiāng)中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，若函數在上單調遞增，則對于任意,，且，使恒成立的函數可以是 （

） A． B．

C． D．參考答案：B略2.已知ABCD是矩形，邊長AB=3，BC=4，正方形ACEF邊長為5，平面ACEF⊥平面ABCD，則多面體ABCDEF的外接球的表面積(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各個表面中，最大面的面積為

A.

B.

C.2

D.4參考答案：B5.已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x＜2時，f（x）=x3﹣x，則函數y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數為（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷；函數的周期性．【分析】當0≤x＜2時，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得區(qū)間[0，6）上解的個數，再考慮x=6時的函數值即可．【解答】解：當0≤x＜2時，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因為f（x）是R上最小正周期為2的周期函數，故f（x）=0在區(qū)間[0，6）上解的個數為6，又因為f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在區(qū)間[0，6]上解的個數為7，即函數y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數為7故選B6.已知直線l：，圓C：，則圓心C到直線l的距離是（

）A.

B.

C.2

D.1參考答案：A7.已知關于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個實根分別為一個橢圓，一個拋物線，一個雙曲線的離心率，則的取值范圍（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一個實根∴a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）設g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0作出可行域，如圖所示的幾何意義是區(qū)域內的點與原點連線的斜率，∴故答案為：C【考點】拋物線的簡單性質；函數的零點與方程根的關系．8.已知平面向量，，滿足===1，=2，則||的取值范圍為（）A．[0，+∞） B．[2，+∞） C．[2，+∞） D．[4，+∞）參考答案：D【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由===1，=2，不妨設=（1，0），=（m，n），=（p，q）．可得：=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，n=﹣．由=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+，利用基本不等式的性質可得最小值．利用||==，即可得出．【解答】解：∵===1，=2，不妨設=（1，0），=（m，n），=（p，q）．則=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，∴n=﹣．∴=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+≥5+2=7，當且僅當q=±1時取等號．∴||===≥=4，故選：D．9.某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值為 A.102 B.410C.614 D.1638參考答案：B10.已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲線y=x與y=x2圍成的封閉區(qū)域，若向Ω上隨機投一點p，則點p落入區(qū)域A的概率為（）A．B．C．D．參考答案：D考點：幾何概型；定積分在求面積中的應用．

專題：概率與統(tǒng)計．分析：求得兩曲線的交點分別為O（0，0）、A（1，1），可得區(qū)域A的面積等于函數y=x與y=x2在[0，1]上的定積分值，利用積分計算公式算出區(qū)域A的面積．區(qū)域Ω表示的是一個邊長為2的正方形，因此求出此正方形的面積并利用幾何概型公式加以計算，即可得到所求概率．解答：解：y=x與y=x2兩曲線的交點分別為O（0，0）、A（1，1）．因此，兩條曲線圍成的區(qū)域A的面積為S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的區(qū)域是一個邊長為2的正方形，面積為4，∴在Ω上隨機投一點P，則點P落入區(qū)域A中的概率P=；故選D．點評：本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的概率求法；本題給出區(qū)域A和Ω，求在Ω上隨機投一點P，使點P落入區(qū)域A中的概率．著重考查了定積分計算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.中，三邊成等比數列，，則____________.參考答案：略12.已知三棱錐的各頂點都在一個表面積為的球面上，球心在上，

平面，，則三棱錐的表面積為

.參考答案：13.若實數x，y滿足，則x＋2y的值域為＿＿＿＿參考答案：.-3

可行域如圖.設則.易知點為最優(yōu)解.∴.14.若（1+2x）n展開式中含x3項的系數等于含x項系數的8倍，則正整數n=．參考答案：5考點：二項式定理的應用．專題：計算題．分析：由題意可得Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr分別令r=3，r=1可得含x3，x項的系數，從而可求解答：解：由題意可得二項展開式的通項，Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr令r=3可得含x3項的系數為：8Cn3，令r=1可得含x項的系數為2Cn1∴8Cn3=8×2Cn1∴n=5故答案為：5點評：本題主要考查了利用二項展開式的通項公式求解指定的項，解題的關鍵是熟練掌握通項，屬于基礎試題15.已知，則sinθ﹣cosθ=_________．參考答案：16.若數列{an}的前n項和為Sn=n2－n，則數列an=

．參考答案：．【分析】利用求解．【解答】解：∵數列{an}的前n項和為，∴n=1時，a1=S1=，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（）=[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=，當n=1時，上式成立，∴．故答案為：．【點評】本題考查數列的通項公式的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸轉化思想，是基礎題．17.（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點在邊上，且，與交于點，若的面積為，則的面積為．w。w-w*k&參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間（﹣1，2）上僅有一個極值點，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在區(qū)間[﹣a，0]上有兩個不相等的實數根，求實數a的最小值．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（0），f′（0），從而求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，得到關于a的不等式組，求出a的范圍即可；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，等價于函數h（x）在[﹣a，0]上恰有兩個零點，根據函數的單調性求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因為f'（x）=3（x2﹣a），所以f'（0）=﹣3a，因為f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=﹣3ax．…（Ⅱ）因為f'（x）=3（x2﹣a），所以，當a≤0時，f'（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調遞增，f（x）沒有極值點，不符合題意；…當a＞0時，令f'（x）=0得，當x變化時，f'（x）與f（x）的變化情況如下表所示：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗因為函數f（x）在區(qū)間（﹣1，2）僅有一個極值點，所以所以1≤a＜4．…（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，方程f（x）=a﹣x在[﹣a，0]上恰有兩個實數根等價于函數h（x）在[﹣a，0]上恰有兩個零點．h'（x）=3x2+（1﹣3a），因為a＞1，令h'（x）=0，得，…所以所以

，所以…因為a＞1，所以恒成立．所以a≥2，所以實數a的最小值為2．…．19.（本小題滿分12分）已知的周長為，且．（Ⅰ）求邊長的值；

（Ⅱ）若，求的值．參考答案：解

（1）根據正弦定理，可化為．

聯立方程組，解得．

（2），

．

又由（1）可知，，

由余弦定理得∴20.某網站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：（1）指出這組數據的眾數和中位數；（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸?！保髲倪@16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸福”的概率；（3）以這16人的樣本數據來估計整個社區(qū)的總體數據，若從該社區(qū)（人數很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”的人數，求ξ的分布列及數學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；眾數、中位數、平均數．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據所給的莖葉圖看出16個數據，找出眾數和中位數，中位數需要按照從小到大的順序排列得到結論．（2）由題意知本題是一個古典概型，至多有1人是“極幸福”包括有一個人是極幸福和有零個人是極幸福，根據古典概型公式得到結果．（3）由于從該社區(qū)任選3人，記ξ表示抽到“極幸?！睂W生的人數，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結合變量對應的事件，算出概率，寫出分布列和期望．【解答】解：（1）由莖葉圖得到所有的數據從小到大排，8.6出現次數最多，∴眾數：8.6；中位數：8.75；（2）設Ai表示所取3人中有i個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸?！庇洖槭录嗀，則（3）ξ的可能取值為0、1、2、3.；；，ξ的分布列為ξ0123P七彩教育網所以Eξ=．另解：ξ的可能取值為0、1、2、3．則，．ξ的分布列為ξ0123P所以Eξ=．【點評】本題是一個統(tǒng)計綜合題，對于一組數據，通常要求的是這組數據的眾數，中位數，平均數，題目分別表示一組數據的特征，這樣的問題可以出現在選擇題或填空題，考查最基本的知識點．21.不等式選講已知函數，，且的解集為.（1）求的值；（2）若，且

求證:.參考答案：(1)，.當m＜1時，，不等式的解集為，不符題意.當時，①當時，得，.②當時，得，即恒成立.③當時，得，.綜上的解集為.由題意得，.（5分）

(2),,,,由(1)知,

（10分）略22.在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實； （2）求直線EC與平面ABED所成角的正弦值．