空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示（省一等獎）

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo問題：

我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示（平面向量基本定理）.對于空間任意一個(gè)向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP一、空間向量的正交分解

給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量且設(shè)為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)P在所確定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空間向量的正交分解xyzQPO

由此可知,如果是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一向量,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量.二、空間向量基本定理：都叫做基向量.注:

如果三個(gè)向量不共面,那么對空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使探究：在空間中,如果用任意三個(gè)不共面向量代替兩兩垂直的向量,你能得出類似的結(jié)論嗎？（1）任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底.特別提示：對于基底{a,b,c},除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：（2）由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著它們都不是.（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不同概念.三、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底e1,e2,e3,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1,e2,e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O--xyzxyze1e2e3O

在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對空間任一向量,平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)o重合,得到向量OP=p由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3

在空間直角坐標(biāo)系O–x

y

z

中，對空間任一點(diǎn)P,對應(yīng)一個(gè)向量,于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標(biāo)，就是點(diǎn)P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是說,以O(shè)為起點(diǎn)的有向線段(向量)的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.

我們說,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),記作P(x,y,z)，其中x叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo).e1e2e3例題講解1、已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．練習(xí)練習(xí)2練習(xí)3ABCOA/B/C/O/G小結(jié)：

如果三個(gè)向量不共面,那么對空間