計算聲學第一章數(shù)值計算中的誤差分析課件

計算聲學第一章數(shù)值計算中的誤差分析根據(jù)表5-3可知，每一管段的設計管徑均小于200，但根據(jù)規(guī)范要求，污水管道最小管徑為200mm。因此，為滿足設計規(guī)范要求，并考慮遠期人口增加，為避免遠期管道設計過小，帶來不必要的麻煩，本設計中WA線污水管道管徑采用取300mm。計算聲學第一章數(shù)值計算中的誤差分析計算聲學第一章數(shù)值計算中的誤差分析根據(jù)表5-3可知，每一管段的設計管徑均小于200，但根據(jù)規(guī)范要求，污水管道最小管徑為200mm。因此，為滿足設計規(guī)范要求，并考慮遠期人口增加，為避免遠期管道設計過小，帶來不必要的麻煩，本設計中WA線污水管道管徑采用取300mm。水聲學主要研究聲波在水下的輻射、傳播與接收，用以解決與水下目標探測和信息傳輸過程有關的各種聲學問題。聲波是目前在海洋中唯一能夠遠距離傳播的能量輻射形式。因此作為信息載體的聲波，在海洋中所形成的聲場時空結(jié)構，就成為近代水聲學的基本研究內(nèi)容，而提取海洋中聲場信息的結(jié)構是我們用來進行水下探測、識別、通信及環(huán)境監(jiān)測等的手段。前言前言海洋環(huán)境波動方程：波動方程是聲學量在聲場中滿足的基本關系式，反映了波動特征，也是進行聲場計算的基本關系式。在導出波動方程前，為了使問題簡化，需要對介質(zhì)和聲波做一些假設：（1）介質(zhì)是均勻連續(xù)的，即在波長數(shù)量級距離內(nèi)，介質(zhì)的聲學性質(zhì)保持不變；（2）介質(zhì)是理想流體介質(zhì)，聲波在其中傳播時沒有能量損耗，即忽略介質(zhì)的粘滯性和熱傳導性；（3）研究小振幅波的傳播規(guī)律，所謂小振幅波是指各聲學量都是一級小量。波動方程是描述波動運動的數(shù)學表達式，它由連續(xù)性方程、狀態(tài)方程和運動方程推導得到。前言波動方程：理想流體介質(zhì)中小振幅平面波的波動方程為（沿軸向傳播）：小振幅聲壓在三維坐標下的波動方程為為拉普拉斯算符，在直角坐標系中

前言海洋聲場的數(shù)值預報在建立了能夠反映海洋環(huán)境因素對聲場的制約關系的聲場物理模型（波動方程+定解條件）的基礎上，根據(jù)可測海洋環(huán)境參數(shù)的測定值或預報值，編寫程序完成數(shù)值計算，給出相應海洋環(huán)境條件下的有關場值。近年來，由于計算機的快速發(fā)展，數(shù)值計算聲場是一個快速發(fā)展的領域。海洋聲場的數(shù)值預報方法主要有射線算法、簡正波算法、拋物方程（PE）算法、快速場（FFP）算法等，各自有不同的適應范圍。前言前言函數(shù)插值：已知一組不同深度處的聲速值，如何得到任意深度處的聲速值？

深度（m）0.050.0100.0200.0300.0400.0500.0800.0聲速(m/s)1510.51510.41505.81500.81496.01492.01488.11483.21000.01200.02000.03000.04000.01482.61482.41498.01516.61534.8前言前言數(shù)值積分：聲線軌跡計算聲線從深度傳播到深度所經(jīng)過的水平距離為前言問題：利用射線聲學模型對海洋聲場進行求解

偽彩色圖前言前言三維環(huán)境下聲傳播前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解：為聲線的位置信息，需要求解，其它參數(shù)已知。前言三維海洋環(huán)境下特征聲線求解（線性方程組、非線性方程、非線性方程組）1.牛頓法迭代法：泰勒級數(shù)展開式的線性部分近似2.進化算法：遺傳算法、模擬退化算法、粒子群算法等前言曲線擬合：已知目標散射場指向性的實驗測量結(jié)果如圖所示，如何比對其與理論計算結(jié)果的誤差？鋁球散射聲場指向性頻率kHz微分方程求解：隨機共振系統(tǒng)對微弱信號的檢測非線性雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)

利用四階龍格庫塔算法求解前言前言四階龍格庫塔算法前言前言前言前言必要性：

現(xiàn)代科學研究和高技術的發(fā)展越來越需要借助計算機進行數(shù)值計算，水聲領域也不例外。講授的主要內(nèi)容：1、數(shù)值計算方法：誤差分析、方程組求解、非線性方程求解、插值法、最小二乘與曲線擬合、數(shù)值微積分、常微分方程求解；2、進化算法（方程組求解）：量子粒子群算法；3、虛源法聲場建模。數(shù)值計算的對象、任務與特點對象：數(shù)值計算方法是研究科學與工程技術中數(shù)學問題的數(shù)值解及其理論的一個分支，涉及代數(shù)、微積分、微分方程等的數(shù)值解問題。任務：研究適合在計算機上使用的數(shù)值計算方法及相關理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析等；還要根據(jù)計算機的特點研究如何設計計算方法做到計算時間短、占用內(nèi)存小。學習目的：提高應用計算機解決實際問題的能力。

數(shù)值計算的對象、任務與特點數(shù)值計算流程：特點：

既具有數(shù)學的抽象性與嚴格性，又具有應用的廣泛性與實際實驗的技術性，是一門與計算機緊密結(jié)合的實用性很強的有著自身研究方法與理論體系的計算數(shù)學課程。數(shù)值計算中的誤差分析內(nèi)容提要：掌握絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字、數(shù)值計算的誤差估計以及設計算法的原則。重點內(nèi)容：絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的概念，數(shù)值計算的誤差估計。誤差與數(shù)值計算的誤差估計一、誤差的來源與分類將一個數(shù)的準確值與其近似值之差稱為誤差。1.分類

過失誤差：人為造成，可以避免

非過失誤差：

無法避免，分析產(chǎn)生原因，限制在許可范圍之內(nèi)§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計2.誤差來源（非過失誤差）模型誤差：數(shù)學模型是通過對實際問題進行抽象和簡化建立的，是一種近似描述。觀測誤差：測量工具精度與測量手段的限制。舍入誤差：計算機位數(shù)的限制，由于計算機的字長是有限的，對參與計算的數(shù)據(jù)和最后得到的計算結(jié)果，都必然用有限位小數(shù)代替無窮位小數(shù)?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計截斷誤差：由數(shù)值方法求得的數(shù)學問題的近似解與數(shù)學模型的精確解之間的誤差，是數(shù)值計算方法固有的。取部分和作近似截斷誤差：絕對誤差與絕對誤差限絕對誤差：

設某一量的精確值為，其近似值為，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。 時稱為弱近似值或虧近似值； 時稱為強近似值或盈近似值。絕對誤差限：如果存在，使得，則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度（測量時，測量工具最小刻度的一半）。越小，表示近似值的精度越高。在工程技術上常用表示近似值的精度或精確值的范圍?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例：用毫米刻度的尺子測得桌子長度近似值為mm，由尺子的精度可以知道，近似值的誤差不超過0.5mm，即

表明精確值在區(qū)間內(nèi)，可以寫成絕對誤差限mm，即絕對誤差限是末位的半個單位。相對誤差和相對誤差限相對誤差：絕對誤差與精確值之比，即稱為近似值的相對誤差。實際中，由于精確值一般無法知道，所以常取作為近似值的相對誤差。相對誤差限：若存在，使得，則稱為近似值的相對誤差限。注意：絕對誤差和絕對誤差限與有相同的量綱，相對誤差和相對誤差限是無量綱的，工程中常以百分數(shù)來表示?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.1國際大地測量學會建議光速采用其含義是絕對誤差限為多少？而其相對誤差限為多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計絕對誤差限：近似值：相對誤差限：有效數(shù)字如果近似值的絕對誤差限是某一位的半個單位，就稱其“準確”到這一位，且從該位開始直到的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似數(shù)有n位有效數(shù)字。有效數(shù)字既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度（絕對誤差限）。例1.2 設，其近似值，問有幾位有效數(shù)字？如果，有幾位有效數(shù)字？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計練習題1.指出如下有效數(shù)的絕對誤差限、相對誤差限和有效數(shù)字位數(shù)。

2.將22/7作為的近似值，它有幾位有效數(shù)字？絕對誤差限和相對誤差限各為多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計有效數(shù)字

設的近似值可以寫成如下的標準形式

所以當其絕對誤差限滿足時，稱近似值具有位有效數(shù)字?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計結(jié)論：如果

，有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為反之，如果的相對誤差限滿足則至少有位有效數(shù)字?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.3

要使的近似值的相對誤差小于，至少需取幾位有效數(shù)字？誤差的傳播與估計實際的數(shù)值計算中，參與運算的數(shù)據(jù)往往都是近似值，帶有誤差。而在進一步運算中都會產(chǎn)生舍入誤差或截斷誤差，這些誤差在運算過程中會進行傳播，影響計算結(jié)果?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計一元函數(shù)的泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有直到階導數(shù)，，則有其中，拉格朗日型余項（介于之間）。

§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計泰勒（Taylor）公式估計誤差的方法：以二元函數(shù)為例，設和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值。函數(shù)在點處的Taylor展開式為§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計式中一般都是小量值，如果忽略它們的高階無窮小量，則上式簡化為因此的絕對誤差為§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計系數(shù)分別是一階偏導數(shù)在處的值，稱為對的絕對誤差的增長因子，分別表示絕對誤差經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù)?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計的相對誤差

分別是對的相對誤差的增長因子，表示相對誤差經(jīng)過傳播后增大或減小的倍數(shù)。

由此可以得到兩近似數(shù)的和、差、積、商的誤差估計（絕對誤差）為§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.4經(jīng)過四舍五入得到，，問他們分別具有幾位有效數(shù)字？，，，的絕對誤差限分別是多少？§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：記和的精確值分別是和，則分別具有5位有效數(shù)字§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計例1.5

測得某電阻兩端的電壓和流過的電流分別為伏、安，求電阻的阻值，并求及。

§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：有，已知伏，安，得歐的絕對誤差：由于，，所以從而的相對誤差例1.6設，，都精確到2位小數(shù)，估計的相對誤差?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計§2誤差與數(shù)值計算的誤差估計解：所以在由誤差估計式得出絕對誤差限和相對誤差限的估計時，由于取了絕對值并用三角不等式放大，是按照最壞情形得出的，所以結(jié)果是保守的。 一般來說，為了保證計算結(jié)果的精確度，在計算過程中，比結(jié)果中所要求的有效數(shù)字位數(shù)多取1位或2位就可以了?！?誤差與數(shù)值計算的誤差估計計算機只能對有限位數(shù)進行計算，從而在運算中產(chǎn)生誤差是不可避免的。許多實際問題的求解往往需要進行成千上萬次的數(shù)值計算，為了保證計算結(jié)果的可靠性，必須防止誤差的產(chǎn)生、傳播與擴大。一個好的算法應該是計算量小、精度高，算法穩(wěn)定，在計算過程中占用計算機的存儲單元和工作單元少?！?選用和設計算法時應遵循的原則§3選用和設計算法時應遵循的原則選擇算法應遵循的原則：1.算法是否穩(wěn)定；2.算法的邏輯結(jié)構是否簡單；3.算法的運算次數(shù)和算法的存儲量是否盡量少。減少運算誤差的幾項措施：1.選用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式，控制舍入誤差的傳播；在數(shù)值計算中，對于某一問題選用不同的算法，所得到的結(jié)果往往不同，有時甚至大不相同。這主要是由于初始數(shù)據(jù)的誤差或計算時的舍入誤差在計算過程中的傳播因算法的不同而異。對某一算法，如果初始數(shù)據(jù)的誤差或舍入誤差對計算結(jié)果的影響較小，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的；否則，稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。

§3選用和設計算法時應遵循的原則例1.7計算積分解：由算法一

將代入遞推公式分別計算，由于§3選用和設計算法時應遵循的原則所以，因此算法一誤差過大，原因是的近似值所產(chǎn)生的誤差每計算一次放大10倍，誤差隨n的增大迅速遞增算法二

由后項遞推前項，中的誤差傳遞