17 勾股定理的逆定理（練習(xí)鞏固）人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

17.2勾股定理的逆定理（練習(xí)鞏固）一、單選題1．下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．6a，7a，8a D．2a，3a，4a2．如圖所示，有一個(gè)高16cm，底面周長為24cm的圓柱形玻璃容器，在外側(cè)距下底2cm的點(diǎn)S處有一只螞蟻，與螞蟻相對的圓柱形容器的上口內(nèi)側(cè)距開口處2cm的點(diǎn)F處有一滴凝固的蜂蜜，則螞蟻到凝固蜂蜜所走的最短路徑的長度是（）cm.A．122 B．20C．24 D．283．下列命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）個(gè)①在△ABC中，若三邊長a:b:c=4:5:3，則ABC是直角三角形；②有一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角和的三角形是直角三角形；③三角形的三邊分別為a，b，c，若a2+c2=b2，則∠C=90°：④在△ABC中，∠A：∠B:∠C=1:5:6，則△ABC是直角三角形。A．1 B．2 C．3 D．44．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)想把它們擺成兩個(gè)直角三角形，圖中正確的是（）A． B．C． D．5．如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么用細(xì)線最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm6．坐標(biāo)軸上到點(diǎn)P(?1，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn).且BE＝CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為（）A．43 B．23 C．458．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=13S矩形ABCDA． B． C． D．9．如圖，在長方體透明容器（無蓋）內(nèi)的點(diǎn)B處有一滴糖漿，容器外A點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長為5cm，寬為3cm，高為4cm，點(diǎn)A距底部1cm，請問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）（）A．317cm B．10cm C．5510．如圖1，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1、S2、S3；如圖2，分別以直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，三邊長為半徑向外作圓心角相等的扇形，面積分別為S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，則S3＋S4＝()A．86 B．64 C．54 D．48二、填空題11．如圖是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm，3dm，2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是dm.12．如圖所示的一塊地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，這塊地的面積為m213．學(xué)校有一塊長方形的花圃如右圖所示，有少數(shù)的同學(xué)為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步（假設(shè)1米=2步），卻踩傷了花草，所謂“花草無辜，踩之何忍”！14．如圖，直線l：y=﹣43x，點(diǎn)A1坐標(biāo)為（﹣3，0）．過點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)B1，以原點(diǎn)O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A2，再過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)B2，以原點(diǎn)O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A3，…，按此做法進(jìn)行下去，點(diǎn)A2016的坐標(biāo)為15．在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為cm．（結(jié)果保留π）三、解答題16．如圖所示，沿海城市B的正南方向A處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿AC的方向以30km/h的速度移動(dòng)，已知AC所在的方向與正北成30°的夾角，B市距臺(tái)風(fēng)中心最短的距離BD為120km，求臺(tái)風(fēng)中心從A處到達(dá)D處需要多少小時(shí)？（3≈1.73，結(jié)果精確到0.1）17．如圖,長方體的長BE=15cm,寬AB=10cm,高AD=20cm,點(diǎn)M在CH上,且CM=5cm,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M,需要爬行的最短距離是多少?18．如圖是一塊地的平面圖，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求這塊地的面積．四、綜合題19．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝16cm，BD＝12cm.（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長度.20．在由6個(gè)大小相同的小正方形組成的方格中：（1）如圖（1），A、B、C是三個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），判斷AB與BC的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（2），連結(jié)三格和兩格的對角線，求∠α+∠β的度數(shù)（要求：畫出示意圖并給出證明）．21．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿同定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16nmile，“海天”號每小時(shí)航行12nmile，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile（1）求PQ，PR的長度；（2）如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？22．定義：三邊長和面積都是整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)從32根等長的火柴棒（每根長度記為1個(gè)單位）中取出若干根，首尾依次相接組成三角形，進(jìn)行探究活動(dòng)．小亮用12根火柴棒，擺成如圖所示的“整數(shù)三角形”；小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”；小輝受到小亮、小穎的啟發(fā)，分別擺出三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”．（1）請你畫出小穎和小輝擺出的“整數(shù)三角形”的示意圖；（2）你能否也從中取出若干根，按下列要求擺出“整數(shù)三角形”，如果能，請畫出示意圖；如果不能，請說明理由．①擺出等邊“整數(shù)三角形”；②擺出一個(gè)非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整數(shù)三角形”．23．請閱讀下列材料：問題：如圖（1），一圓柱的高為5dm，底面半徑為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的AC.如下圖（2）所示：設(shè)路線1的長度為l1，則l路線2：高線AB+底面直徑BC.如上圖（1）所示：設(shè)路線2的長度為l2，則l∵l1∴l(xiāng)∴l(xiāng)1所以要選擇路線2較短.（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算.請你幫小明完成下面的計(jì)算：路線1：l12路線2：l2∵l12∴l(xiāng)1l2（填>或<）所以應(yīng)選擇路線（2）請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短.24．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做等對角四邊形．請解決下列問題：（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是等對角四邊形，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=75°，則∠C=°，∠D=°（2）在探究等對角四邊形性質(zhì)時(shí)：小紅畫了一個(gè)如圖2所示的等對角四邊形ABCD，其中，∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時(shí)她發(fā)現(xiàn)CB=CD成立，請你證明該結(jié)論；（3）圖①、圖②均為4×4的正方形網(wǎng)格，線段AB、BC的端點(diǎn)均在網(wǎng)點(diǎn)上．按要求在圖①、圖②中以AB和BC為邊各畫一個(gè)等對角四邊形ABCD．要求：四邊形ABCD的頂點(diǎn)D在格點(diǎn)上，所畫的兩個(gè)四邊形不全等．（4）已知：在等對角四邊形ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對角線AC的長．

參考答案1．【答案】B【解析】解：（A）∵（5）2=5，（3）2+（4）2=7，∴（5）2≠（3）2+（4）2；（B）∵（3）2=3，（2）2+12=3，∴（3）2=（2）2+12；（C）∵（8a）2=64a2，（6a）2+（7a）2=85a2，∴（8a）2≠（6a）2+（7a）2；（D）∵（4a）2=16a2，（2a）2+（3a）2=13a2，∴（4a）2≠（2a）2+（3a）2；故答案選：B2．【答案】B【解析】如圖：過F點(diǎn)作容器上沿的對稱點(diǎn)B，過S作SC⊥BC于C，連接SB，則SB即為最短距離，由題意得：SC為圓柱體的底面周長的一半，SC=1FD=BD=2，∴BC=16(cm)，∴SB=S故答案為：B．3．【答案】C【解析】①因?yàn)?2+42=25=52，所以在△ABC中，若三邊長a:b:c=4:5:3，則ABC是直角三角形，正確；②設(shè)三角形三個(gè)角為x、y、z，其中x=y+z，則x+y+z=2x=180，所以x=90，因此三角形為直角三角形，正確；③三角形的三邊分別為a，b，c，若a2+c故答案為：C4．【答案】C【解析】72+242=252152+202=252，由勾股定理逆定理得答案C5．【答案】B【解析】解：如圖，將長方體展開，連接A、B′，則AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10cm.故答案為：B.6．【答案】D【解析】解：如圖，點(diǎn)P(?1，0)，∴A(?5∴OC=∴C(0故答案為：D7．【答案】C【解析】解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）.∴AE＝BF.所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)H點(diǎn)，如圖2，連接BH，則A、B、H三點(diǎn)共線，連接DH，DH與BC的交點(diǎn)即為所求的E點(diǎn).根據(jù)對稱性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH.在Rt△ADH中，DH＝AH∴BF+DE最小值為45.故答案為：C.8．【答案】D【解析】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB?h=13AB?AD，∴h=2在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE=AB2+AE2=59．【答案】D【解析】解：沿著上面和棱將A點(diǎn)翻折至A′將容器展開：AAA∵113∴螞蟻需爬行的最短距離是113故答案為：D10．【答案】C【解析】設(shè)直角三角形的三邊從小到大是a，b，c．在圖1，可得S1=3a24，S3=3b24，S2=3c2故答案為：C.11．【答案】25【解析】【解答】解：如圖所示．∵三級臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案為25．12．【答案】24【解析】解：如圖，連接AC由勾股定理可知AC=AD又AC2+BC2=52+122=132=AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面積=△ABC的面積﹣△ACD的面積=12×5×12?113．【答案】4【解析】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，則AB=32少走了2×（3+4﹣5）=4（步）．故答案為：4．14．【答案】?【解析】解：∵點(diǎn)A1坐標(biāo)為（﹣3，0），∴OA1=3，∵在y=﹣43x中，當(dāng)x=﹣3時(shí)，y=4，即B1∴由勾股定理可得OB1=32+42=5，即OA同理可得，OB2=253，即OA3=253=3×（53OB3=1259，即OA4=1259=3×（53以此類推，OAn=3×（53）n﹣1=5n?13n?2，即點(diǎn)A當(dāng)n=2016時(shí)，點(diǎn)A2016坐標(biāo)為（﹣52015故答案為：（﹣5201515．【答案】3【解析】如圖所示，∵無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，∴展開后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=AB2+BC2故答案為：3π16．【答案】解：在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵∠BAD=30°，BD=120km，∴AB=2BD=240km，根據(jù)勾股定理得：AD=AB2?B∵3≈1.73，∴從A到D處需要120330=417．【答案】解：將長方體沿CH,HE,BE剪開翻折,使面ABCD和面BEHC在同一個(gè)平面內(nèi),連接AM,如圖1由題意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根據(jù)勾股定理得:AM=25cm,將長方體沿CH、GD、GH剪開翻折,使面ABCD和面DCHG在同一個(gè)平面內(nèi),連接AM，如圖2,由題意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根據(jù)勾股定理得:AM=529cm,將長方體沿CD、CH、GH剪開翻折,連接AM,如圖3,由題意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根據(jù)勾股定理得:AM=537cm,∵25＜529＜537,則需要爬行的最短距離是25cm.18．【答案】解：如圖，連接AC，∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，∴AC=32∴S△ACD=6，在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，∴Rt△ABC的面積=30，∴四邊形ABCD的面積=30-6=24．19．【答案】（1）證明：∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，滿足BD根據(jù)勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB（2）解：設(shè)腰長為x，則AD=x?12，由上問可知AD即：(x?12)2+20．【答案】（1）解：如圖，連接AC，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∴AB⊥BC（2）解：∠α+∠β=45°．證明如下：如圖，由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β=45°．21．【答案】（1）解：PQ的長度16×1.5=24(nmile)，PR的長度12×1.5=18(nmile).（2）解：∵RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，∴“海天”號沿西北方向（或北偏西45°）航行22．【答案】（1）解：小穎擺出如圖1所示的“整數(shù)三角形”：小輝擺出如圖2所示三個(gè)不同的等腰“整數(shù)三角形”：（2）解：①不能擺出等邊“整數(shù)三角形”．理由如下：設(shè)等邊三角形的邊長為a，則等邊三角形面積為34因?yàn)?，若邊長a為整數(shù)，那么面積34所以不存在等邊“整數(shù)三角形”；②能擺出如圖3所示一個(gè)非特殊“整數(shù)三角形”：23．【答案】（1）25+π2；49；＜；＜；1（2）解：l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，∴l(xiāng)12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h]，當(dāng)r[（π2-4）r-4h]＜0時(shí)，r＜4?π2?4，此時(shí)l12＜l22，即l1當(dāng)r[（π2-4）r-4h]=0時(shí)，r=4?π2?4，此時(shí)l12=l22，即l1當(dāng)r[（π2-4）r-4h]＞0時(shí)，r＞4?π2?4，此