高中數(shù)學(xué)-343-簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用同步課件-北師大版必修5

第一頁(yè)，共60頁(yè)。第二頁(yè)，共60頁(yè)。1.利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求解實(shí)際問(wèn)題.(重點(diǎn))2.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答(jiědá).(難點(diǎn))3.找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解.(重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn))第三頁(yè)，共60頁(yè)。一、實(shí)際問(wèn)題中線(xiàn)性規(guī)劃的兩種類(lèi)型1.在人力、物力(wùlì)、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)．2.給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力(wùlì)、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)．第四頁(yè)，共60頁(yè)。線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解一定(yīdìng)在邊界上嗎？提示：不一定(yīdìng)，若所求問(wèn)題的最優(yōu)解是整數(shù)解，則最優(yōu)解不一定(yīdìng)在邊界上．第五頁(yè)，共60頁(yè)。二、常見(jiàn)的線(xiàn)性規(guī)劃(xiànxìnɡɡuīhuá)問(wèn)題1.物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題；2.產(chǎn)品安排問(wèn)題；3.合理下料問(wèn)題；4.產(chǎn)品配方問(wèn)題．第六頁(yè)，共60頁(yè)。運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃解題時(shí)需注意的幾點(diǎn)：(1)作圖應(yīng)盡可能地準(zhǔn)確，圖上操作要規(guī)范(guīfàn);(2)明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即要明白做什么事；(3)一般情況下，最優(yōu)解在可行域的頂點(diǎn)(有些實(shí)際問(wèn)題可能在附近的整點(diǎn))或邊界取得，要注意邊界的虛實(shí)．第七頁(yè)，共60頁(yè)。第八頁(yè)，共60頁(yè)。求實(shí)際問(wèn)題中的最大值解決線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟：(1)認(rèn)真審題，設(shè)出未知數(shù)，寫(xiě)出線(xiàn)性約束條件和目標(biāo)函數(shù)．(2)作出可行(kěxíng)域．(3)作出目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)l.(4)在可行(kěxíng)域內(nèi)平行移動(dòng)直線(xiàn)l，從圖中能判定問(wèn)題有唯一最優(yōu)解，或是有無(wú)窮最優(yōu)解或無(wú)最優(yōu)解．(5)求出最優(yōu)解，從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值．解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意字母的取值范圍.第九頁(yè)，共60頁(yè)?！纠?】某家具廠(chǎng)有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售，已知生產(chǎn)一張書(shū)桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)一個(gè)書(shū)櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書(shū)桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元，如何安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？【審題指導(dǎo)】找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫(huà)出可行域，再利用(lìyòng)圖形直觀(guān)求得滿(mǎn)足題設(shè)的最優(yōu)解．第十頁(yè)，共60頁(yè)?！疽?guī)范解答(jiědá)】設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張，生產(chǎn)書(shū)櫥y個(gè)，可獲總利潤(rùn)z元，則?z=80z+120y.第十一頁(yè)，共60頁(yè)。在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面(shàngmiɑn)不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示：第十二頁(yè)，共60頁(yè)。作直線(xiàn)l：80x＋120y＝0，即直線(xiàn)2x＋3y＝0，把直線(xiàn)l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)(cǐshí)z＝80x＋120y取得最大值．由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,400)．所以當(dāng)x＝100，y＝400時(shí)，zmax＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè)時(shí)，可使所得利潤(rùn)最大．第十三頁(yè)，共60頁(yè)?！净?dòng)探究】本例中，若書(shū)櫥的個(gè)數(shù)不超過(guò)書(shū)桌(shūzhuō)張數(shù)的3倍，其他條件不變，問(wèn)如何安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？【解析】設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌(shūzhuō)x張，生產(chǎn)書(shū)櫥y個(gè)，可獲總利潤(rùn)為z元.則?z=80x+120y.第十四頁(yè)，共60頁(yè)。在直角坐標(biāo)(zhíjiǎozuòbiāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示：第十五頁(yè)，共60頁(yè)。作直線(xiàn)(zhíxiàn)l：80x+120y=0,即直線(xiàn)(zhíxiàn)2x+3y=0,把直線(xiàn)(zhíxiàn)l向右上方平移至l1的位置時(shí)，直線(xiàn)(zhíxiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)z=80x+120y取得最大值.由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（120，360）,所以當(dāng)x=120,y=360時(shí)，zmax=80×120+120×360=52800(元）.因此，生產(chǎn)書(shū)桌120張、書(shū)櫥360個(gè)時(shí)，可使所得利潤(rùn)最大.第十六頁(yè)，共60頁(yè)?！咀兪接?xùn)練】某廠(chǎng)擬生產(chǎn)(shēngchǎn)甲、乙兩種試銷(xiāo)產(chǎn)品，每件銷(xiāo)售收入分別為3千元、2千元.甲、乙產(chǎn)品需要在A(yíng)、B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)設(shè)備A、B上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí)，加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí)，A、B兩種設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500，如何安排生產(chǎn)(shēngchǎn)可使收入最大？【解題提示】設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每月產(chǎn)量分別為x件，y件，列出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，數(shù)形結(jié)合求解.第十七頁(yè)，共60頁(yè)?！窘馕觥吭O(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每月產(chǎn)量(chǎnliàng)分別為x件、y件，收入為z元，則x、y滿(mǎn)足,目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y.第十八頁(yè)，共60頁(yè)。作出可行(kěxíng)域，如圖所示.第十九頁(yè)，共60頁(yè)。解方程組,得交點(diǎn)A的坐標(biāo)(zuòbiāo)為（200，100）.作直線(xiàn)l：3x+2y=0,將直線(xiàn)l向上平移到過(guò)A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值3×200+2×100=800(千元），即甲、乙兩種產(chǎn)品每月產(chǎn)量分別為200件、100件時(shí)，可使收入最大，為800千元.第二十頁(yè)，共60頁(yè)?！纠磕碃I(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿(mǎn)足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且(bìngqiě)花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？第二十一頁(yè)，共60頁(yè)。【審題指導(dǎo)】建立目標(biāo)函數(shù)?列出約束條件?畫(huà)出可行域?求目標(biāo)函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】設(shè)為該兒童分別預(yù)定x,y個(gè)單位(dānwèi)的午餐和晚餐，共需z元，則z=2.5x+4y.可行域?yàn)榧吹诙?yè)，共60頁(yè)。作出可行(kěxíng)域如圖：第二十三頁(yè)，共60頁(yè)。平移直線(xiàn)2.5x+4y=0,顯然過(guò)直線(xiàn)3x+5y=27與x+y=7的交點(diǎn)(jiāodiǎn)B時(shí)，z最小，由得,所以，當(dāng)x=4,y=3時(shí)，花費(fèi)最少，zmin=2.5×4+4×3=22元.答：應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐.第二十四頁(yè)，共60頁(yè)?！咀兪絺溥x】某校食堂以面食和米食為主，面食每百克(bǎikè)含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元；米食每百克(bǎikè)含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元．學(xué)校要給學(xué)生配制成盒飯，每盒至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又使費(fèi)用最少？第二十五頁(yè)，共60頁(yè)?！窘馕觥吭O(shè)每份盒飯中面食為x百克，米食為y百克，費(fèi)用(fèiyong)為z元，則z＝0.5x＋0.4y，且作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.第二十六頁(yè)，共60頁(yè)。解方程組,得A（）.由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)y=過(guò)點(diǎn)A時(shí)，縱截距最小，即z最小.故當(dāng)每份盒飯(héfàn)中面食為百克，米食為百克時(shí)，既科學(xué)又使費(fèi)用最少.第二十七頁(yè)，共60頁(yè)。求線(xiàn)性規(guī)劃的整數(shù)解問(wèn)題1.最優(yōu)整數(shù)解問(wèn)題，就是在有些線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中，變量x，y要求取整數(shù)，因此其最優(yōu)解也必須(bìxū)為整點(diǎn)，解答這類(lèi)問(wèn)題可以先解決一般的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題(不考慮整數(shù))，再在可行域內(nèi)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)整數(shù)解．第二十八頁(yè)，共60頁(yè)。2.求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解常有兩種處理方法：(1)通過(guò)打出網(wǎng)格求整點(diǎn)，關(guān)鍵是作圖要準(zhǔn)確．(2)先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，確定x的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出(déchū)y的一元一次不等式組，再確定y的所有相應(yīng)整數(shù)值，即先固定x，再用x制約y.利用圖解法求最優(yōu)整數(shù)解時(shí)，一定要注意作圖要準(zhǔn)確，特別是目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線(xiàn)的傾斜程度.第二十九頁(yè)，共60頁(yè)?！纠?】某礦山車(chē)隊(duì)有4輛載重量為10t的甲型卡車(chē)和7輛載重量為6t的乙型卡車(chē)，有9名駕駛員.此車(chē)隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石(kuàngshí)至冶煉廠(chǎng).已知甲型卡車(chē)每輛每天可往返6次，乙型卡車(chē)每輛每天可往返8次，甲型卡車(chē)每輛每天的成本費(fèi)為252元，乙型卡車(chē)每輛每天的成本費(fèi)為160元.問(wèn)每天派出甲型車(chē)與乙型車(chē)各多少輛，車(chē)隊(duì)所花成本費(fèi)最低?【審題指導(dǎo)】弄清題意，設(shè)出與運(yùn)輸成本有關(guān)的各型車(chē)的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.第三十頁(yè)，共60頁(yè)?！疽?guī)范解答(jiědá)】設(shè)每天派出甲型車(chē)x輛、乙型車(chē)y輛，車(chē)隊(duì)所花成本費(fèi)為z元，那么目標(biāo)函數(shù)z=252x+160y，第三十一頁(yè)，共60頁(yè)。作出不等式組所表示(biǎoshì)的平面區(qū)域，即可行域，如圖.第三十二頁(yè)，共60頁(yè)。作出直線(xiàn)l0：252x+160y=0，把直線(xiàn)l0向右上方平移，使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn)，且使在y軸上的截距最小.觀(guān)察圖形(túxíng)，可見(jiàn)當(dāng)直線(xiàn)252x+160y=t經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5）時(shí)，滿(mǎn)足上述要求.此時(shí)，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時(shí)，zmin=252×2+160×5=1304（元）.答：每天派出甲型車(chē)2輛，乙型車(chē)5輛，車(chē)隊(duì)所用成本費(fèi)最低.第三十三頁(yè)，共60頁(yè)?！咀兪接?xùn)練】有一批同規(guī)格的鋼條，每根鋼條有兩種切割方式，可截成長(zhǎng)度為a的鋼條2根，長(zhǎng)度為b的鋼條1根；或截成長(zhǎng)度為a的鋼條1根，長(zhǎng)度為b的鋼條3根，現(xiàn)長(zhǎng)度為a的鋼條至少需要15根，長(zhǎng)度為b的鋼條至少需27根，問(wèn)：如何切割可使鋼條用量最??？【解題提示】先設(shè)變?cè)?，然后找到變?cè)獫M(mǎn)足的約束(yuēshù)條件，建立目標(biāo)函數(shù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．第三十四頁(yè)，共60頁(yè)。【解析】設(shè)按第一種切割方式需鋼條x根，按第二種切割方式需鋼條y根，根據(jù)(gēnjù)題意列出約束條件組．目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y，求其最小值．第三十五頁(yè)，共60頁(yè)。畫(huà)出不等式組表示的平面(píngmiàn)區(qū)域如圖所示陰影部分．第三十六頁(yè)，共60頁(yè)。當(dāng)y＝-x＋z過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，z有最小值.由解得此時(shí)z＝11.4，但x，y，z都應(yīng)當(dāng)為正整數(shù)．而當(dāng)z＝12時(shí)，滿(mǎn)足(mǎnzú)該約束條件的(x，y)有兩個(gè)：(4,8)或(3,9)，它們都是最優(yōu)解．即滿(mǎn)足(mǎnzú)條件的切割方式有兩種：①4根鋼條按截成2根長(zhǎng)度為a，1根長(zhǎng)度為b的方式截取，8根鋼條按截成1根長(zhǎng)度為a，3根長(zhǎng)度為b的方式截取.②3根鋼條按截成2根長(zhǎng)度為a，1根長(zhǎng)度為b的方式截取，9根鋼條按截成1根長(zhǎng)度為a，3根長(zhǎng)度為b的方式截取，此時(shí)，鋼條用量最省.第三十七頁(yè)，共60頁(yè)。第三十八頁(yè)，共60頁(yè)?！镜淅浚?2分）某工廠(chǎng)兩種不同原料(yuánliào)可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料(yuánliào)，每噸成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克，若采用乙種原料(yuánliào)每噸成本1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，今預(yù)算每日總成本不得超過(guò)6000元，運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)2000元，問(wèn)此工廠(chǎng)每日最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？【審題指導(dǎo)】設(shè)出未知量，以每日的生產(chǎn)總成本和運(yùn)費(fèi)為限制條件，列出不等式，再按照線(xiàn)性規(guī)劃一般方法求解.第三十九頁(yè)，共60頁(yè)。【規(guī)范(guīfàn)解答】設(shè)采用甲種原料x(chóng)噸，乙種原料y噸，可生產(chǎn)z千克產(chǎn)品，得：,…………3分?第四十頁(yè)，共60頁(yè)。目標(biāo)函數(shù)為z＝90x＋100y，作出可行域，作直線(xiàn)l0:90x+100y=0，由圖形可以看出，平移(pínɡyí)直線(xiàn)l0過(guò)可行域內(nèi)的M點(diǎn)時(shí)z取得最大值.………6分…………9分第四十一頁(yè)，共60頁(yè)。解方程組,得M（）.∴zmax=90×+100×=440(千克).故此(gùcǐ)工廠(chǎng)每日最多可生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.………………12分第四十二頁(yè)，共60頁(yè)。【誤區(qū)警示(jǐnɡshì)】對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：常見(jiàn)錯(cuò)誤錯(cuò)誤原因線(xiàn)性約束條件中漏掉x≥0,y≥0.忽視了x,y的實(shí)際意義.直線(xiàn)l0過(guò)可行域內(nèi)的A或B點(diǎn)時(shí),z取得最大值.作圖不準(zhǔn)確是造成這種錯(cuò)誤的原因，為避免上述錯(cuò)誤，可先比較圖中有關(guān)直線(xiàn)斜率的大小，再根據(jù)斜率的大小作目標(biāo)函數(shù)的直線(xiàn).第四十三頁(yè)，共60頁(yè)。【即時(shí)訓(xùn)練(xùnliàn)】某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1t產(chǎn)品需要的電力、煤、勞動(dòng)力及產(chǎn)值如表所示：在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品中，要求用電量不超過(guò)180千度，用煤量不超過(guò)150噸，勞動(dòng)力不超過(guò)150人，問(wèn)如何生產(chǎn)才能使產(chǎn)值總額最大？品種電力（千度）煤（噸）勞動(dòng)力（人）產(chǎn)值（千元）甲4357乙6639第四十四頁(yè)，共60頁(yè)。【解析】設(shè)生產(chǎn)(shēngchǎn)甲種產(chǎn)品x噸，乙種產(chǎn)品y噸，所創(chuàng)產(chǎn)值為z千元．由題意知目標(biāo)函數(shù)z＝7x＋9y.第四十五頁(yè)，共60頁(yè)。作出可行(kěxíng)域，如圖所示：第四十六頁(yè)，共60頁(yè)。把直線(xiàn)l：7x＋9y＝0平行移動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)z＝7x＋9y有最大值．由解得即點(diǎn)P坐標(biāo)(zuòbiāo)為()．故生產(chǎn)甲種產(chǎn)品噸、乙種產(chǎn)品噸時(shí)，才能創(chuàng)造最大的產(chǎn)值．第四十七頁(yè)，共60頁(yè)。第四十八頁(yè)，共60頁(yè)。1.現(xiàn)有5輛6噸的汽車(chē)，4輛4噸的汽車(chē)，設(shè)需x輛6噸汽車(chē)和y輛4噸汽車(chē)，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)(rènwu)的線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)為()（A）z=6x+4y（B）z=5x+4y（C）z=x+y（D）z=4x+5y【解析】選A.運(yùn)送的貨物為z=6x+4y.第四十九頁(yè)，共60頁(yè)。2.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷(xiāo)售(xiāoshòu)每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，銷(xiāo)售(xiāoshòu)每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元．該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸，B原料不超過(guò)18噸．那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是()（A）12萬(wàn)元（B）20萬(wàn)元（C）25萬(wàn)元（D）27萬(wàn)元第五十頁(yè)，共60頁(yè)?！窘馕?jiěxī)】選D.設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，所獲利潤(rùn)為z,由題意得，z＝5x＋3y，第五十一頁(yè)，共60頁(yè)。畫(huà)出可行(kěxíng)域如圖，第五十二頁(yè)，共60頁(yè)。由，解得A(3,4)．∵∴當(dāng)直線(xiàn)(zhíxiàn)5x＋3y＝z經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，zmax＝27(萬(wàn)元).第五十三頁(yè)，共60頁(yè)。3.x,y滿(mǎn)足