多元函數積分學復習課課件

多元函數積分學復習課一、內容提要上頁下頁鈴結束返回首頁二、典型例題多元函數積分學復習課一、內容提要上頁下頁鈴結束返回首頁二、典內容提要二重積分的定義

以閉區(qū)域D為底曲面zf(x

y)為頂的曲頂柱體的體積為

占有閉區(qū)域D面密度為(x

y)的平面薄片的質量為定理連續(xù)函數在有界閉區(qū)域上的二重積分必定存在

內容提要二重積分的定義以閉區(qū)域D為底曲面zf(x內容提要二重積分的性質性質1設c1、c2為常數則性質2如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2則性質3內容提要二重積分的性質性質1設c1、c2為常數則性質內容提要二重積分的性質性質5設M、m分別是f(x

y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值

為D的面積則有性質6(二重積分的中值定理)設函數f(x

y)在閉區(qū)域D上連續(xù)

為D的面積則在D上至少存在一點(

)使得性質4如果在D上

f(x

y)g(x

y)則有不等式內容提要二重積分的性質性質5設M、m分別是f(xy)在內容提要

如果D是X型區(qū)域:D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb},則化二重積分為二次積分

如果D是Y型區(qū)域:D={(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd},則

內容提要如果D是X型區(qū)域:化二重積分為二次積分如果D是內容提要對稱性問題設D關于y軸對稱.

(1)若f(-x,y)=-f(x,y),則

(2)若f(-x,y)=f(x,y),則

其中D1

為D在y軸右半部分.

提示:

內容提要對稱性問題設D關于y軸對稱.內容提要利用極坐標計算二重積分坐標變換公式:面積元素:

如果積分區(qū)域可表示為D:j1(q)j2(q),aqb,則內容提要利用極坐標計算二重積分坐標變換公式:面積元素:內容提要設曲面S:zf(x

y)

(x

y)D,則S的面積為曲面的面積內容提要設曲面S:zf(xy)內容提要三重積分的物理意義三重積分的定義設物體占有空間區(qū)域,體密度為r=f(x,y,z),則物體的質量為三重積分的幾何意義

的體積為內容提要三重積分的物理意義三重積分的定義設物注：當計算二重積分時用極坐標,則得柱面坐標的計算法.內容提要設積分區(qū)域:則求圍定頂>>>

三重積分計算之投影法注：當計算二重積分時用極坐標,則得柱面坐標的計算法.內容提內容提要設積分區(qū)域為{(x

y

z)|(x

y)Dz

c1zc2}

則宜用截面法的題型三重積分計算之截面法內容提要設積分區(qū)域為宜用截面法的題型內容提要特殊區(qū)域的球面坐標表示>>>直角坐標與球面坐標的關系xrsincos

yrsinsin

zrcos

球面坐標系中的體積元素dvr2sindrdd

提示:

r

|OP|rsin.

利用球面坐標計算三重積分內容提要特殊區(qū)域的球面坐標表示>>>直角坐標與球面坐內容提要對弧長的曲線積分設光滑曲線弧L的參數方程為xx(t)

yy(t)(t)則有對坐標的曲線積分設L:xx(t)

yy(t),起點和終點對應的參數分別為和則有內容提要對弧長的曲線積分設光滑曲線弧L的參設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一階連續(xù)偏導數則有其中L是D的取正向的邊界曲線——格林公式格林公式內容提要設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數P(設P(x

y),Q(x

y)在單連通區(qū)域D內具有連續(xù)偏導數則在D內下列條件等價:格林公式的應用內容提要(2)曲線積分(3)存在函數u(x,y),使

(1)與路徑無關;函數u(x,y)的計算公式設P(xy),Q(xy)在單連通例1比較積分與的大小,解在內有故于是因此典型例題知識點其中D

是閉圓域:積分區(qū)域D在直線x+y=3的右上方,例1比較積分與的大小,解在內有故于是因此典型例題知識點其中

解

積分區(qū)域如圖示,

例2

計算

提示:

的計算較繁,考慮改換積分次序.表示為Y型區(qū)域:知識點解積分區(qū)域如圖示,例2計算例3改換下列二次積分的積分次序.

解

積分區(qū)域如圖示,表示為Y型區(qū)域:提示:

知識點例3改換下列二次積分的積分次序.解積分區(qū)域例4改換下列二次積分的積分次序.

解

積分區(qū)域如圖示,分為D1和D2兩部分,知識點例4改換下列二次積分的積分次序.解積分區(qū)域

解

積分區(qū)域如圖示,表示為q型區(qū)域:提示:

例5化為極坐標形式的二次積分,其中知識點解積分區(qū)域如圖示,表示為q型區(qū)域:提示:例6

化為極坐標形式的二次積分.提示:拋物線

y=x2+x

在點(0,0)處的切線方程為解

積分區(qū)域如圖知識點例6化例7設區(qū)域計算

解

積分區(qū)域如圖示,記D1為D的右半部分,則有D1知識點例7設區(qū)域解1

積分區(qū)域如圖

例8

設計算知識點解1積分區(qū)域如圖例8設記區(qū)域

例8

設計算解2

積分區(qū)域如圖知識點記區(qū)域例8設在xOy面的投影區(qū)域D的邊界曲線為

解

D

的底面

的頂面

例9

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:求圍定頂>>>

知識點作圖>>>

在xOy面的投影區(qū)域D的邊界曲線為在zOx面的投影區(qū)域為

解

Dzx

例9

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:

討論:

化為先y再x后z的三次積分.知識點在zOx面的投影區(qū)域為解Dzx

思考:

化為先x再y后z的三次積分.

解1

提示:

的后底

前頂

或在yOz面的投影區(qū)域如圖示.例9

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:知識點思考:化為先x再y后z的三次積分.例9

化為三次積分,其中W由以下曲面所圍:

思考:

化為先x再y后z的三次積分.水平截面法

解2

知識點例9化為三次積提示

的上邊界曲面為z=4下邊界曲面為zx2y2用極坐標可表示為z2所以

2z4

提示

在xOy面上的投影區(qū)域為x2y24,用極坐標表示為:

02,0q2.

解1

2z40202由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域

例10

閉區(qū)域可表示為

知識點提示的上邊界曲面為z=4下邊閉區(qū)域可表示為

解2

由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域

例10

知識點閉區(qū)域可表示為解2由曲面zx在xOy面的投影區(qū)域D

解

例11

求由以下曲面所圍立體W的體積:知識點作圖>>>

在xOy面的投影區(qū)域D解在xOy面的投影區(qū)域D

解

例12

求由以下曲面所圍立體W的體積:知識點在xOy面的投影區(qū)域D解

例13已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為(1)求兩曲面所圍成的立體W的體積V;(2)求立體W的S1部分的表面積A.在xOy面的投影區(qū)域為

解

知識點例13已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為

例13已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為(1)求兩曲面所圍成的立體W的體積V;(2)求立體W的S1部分的表面積A.

解

知識點例13已知曲面S1與曲面S2,它們的方程為例14

已知L為圓周x2+y2=2ax(a>0),計算解1

利用圓的標準參數方程來計算.

知識點例14已知L為圓周x2+y2=2ax(a>0),例14

已知L為圓周x2+y2=2ax(a>0),計算解2

利用圓的極坐標方程來計算.

知識點例14已知L為圓周x2+y2=2ax(a>0),記D為圓域x2+y2≤2x,

解

由格林公式有

例15

設L是正向圓周x2+y2=2x計算知識點記D為圓域x2+y2≤2x,解由格例16

已知L為圓周x2+y2=2y上從原點O按逆時針方向到點A(0,2)的圓弧,計算解

知識點例16已知L為圓周x2+y2=2y上從原點O例17

已知L為上半圓周x2+y2=2x上從原點O到點A(1,1)的圓弧,計算解

記所以曲線積分與路徑無關.知識點例17已知L為上半圓周x2+y2=2x上從原點

例18驗證在整個xOy面內

記

解

所以存在u(x,y),使是某個函數的全微分并求出一個這樣的函數

知識點例18驗證在整個xOy面內記解的側面方程,

在xOy面的投影區(qū)域D的邊界曲線.

圍:

求圍定頂

的頂面和底面,

頂:

所給曲面方程中含