控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件

一、穩(wěn)定性的概念定義：線性系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下，受到干擾的作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，在干擾消失后，系統(tǒng)能夠回到原狀態(tài)或者回到原平衡點附近，稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，不穩(wěn)定。?上述穩(wěn)定是“漸近穩(wěn)定”的?“線性”系統(tǒng)通常是線性化的因此，穩(wěn)定性通常也應(yīng)在小偏差范圍中討論總結(jié)§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定性的概念定義：線性系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)下，受到干擾穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂?？缭饺A盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動?！?-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大無限放大直到飽和無輸入時因干攏直至飽和§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性無限放大直到飽和無輸入時因干攏直至飽和§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)控制系統(tǒng)在外部攏動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當攏動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復到原來的初始平衡狀態(tài)。(a)外加擾動注意：以上定義只適用于線形定常系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)在外部攏動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當攏動作用消失(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)?！?-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(b)穩(wěn)定(c)不穩(wěn)定注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于§大范圍穩(wěn)定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性大范圍穩(wěn)定:(a)大范圍穩(wěn)定§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定?！?-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。注意：對于線性系統(tǒng)(a)不穩(wěn)定§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(a)不穩(wěn)定§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。原因：(1)分析時依賴的模型通常是簡化或線性化；

(2)實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性；

(3)系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。§5-1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t→∞時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。

穩(wěn)定的條件：穩(wěn)定的充要條件§5-2穩(wěn)定的充要條件假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，理想脈沖函數(shù)作用下

R(s)=1。對于穩(wěn)定系統(tǒng),t

時,輸出量

c(t)=0?！?-2穩(wěn)定的充要條件理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1。對于穩(wěn)定系統(tǒng),t由上式知：如果pi和i均為負值,

當t時,c(t)0?！?-2穩(wěn)定的充要條件由上式知：§5-2穩(wěn)定的充要條件自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。注意：穩(wěn)定性與零點無關(guān)S平面系統(tǒng)特征方程§5-2穩(wěn)定的充要條件自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：注意：穩(wěn)定性與零點無關(guān)S平面結(jié)果：共軛復根，具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定?！?-2穩(wěn)定的充要條件結(jié)果：共軛復根，具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定?！?-2穩(wěn)定的充要條某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為被控對象水箱的傳遞函數(shù)； 為執(zhí)行電動機的傳遞函數(shù)；K1為進水閥門的傳遞系數(shù)；Kp為杠桿比；H0為希望水位高；H為實際水位高。某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

令 ,為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，則特征方程展開寫為為三階系統(tǒng),但缺少s項，即對應(yīng)的特征多項式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)校正裝置令 ,為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，則特征方程展開寫為下一節(jié)中勞斯穩(wěn)定判據(jù)回答了這個問題

根據(jù)以上分析， 系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別歸結(jié)為：

問題：

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 解高階微分方程求根困難， 能否不解高階微分方程可以知道根分布情況？

如果系統(tǒng)的閉環(huán)特征根至少有一個根Si>0

或復根時它的實部-kk>0

即根平面的右半面有閉環(huán)特征根，那麼系統(tǒng)閉環(huán)是不穩(wěn)定的?！?-2穩(wěn)定的充要條件下一節(jié)中勞斯穩(wěn)定判據(jù)回答了這個問題 根據(jù)以上分析，問題： 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征根為p1、p2、…、pn-1、pn各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積全部根具有負實部§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征根為p1、p2、…、pn-1、反之，如果系數(shù)ai全部同號則不能確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 進入第二步繼續(xù)判別；閉環(huán)特征方程：1、閉環(huán)特征方程如果系數(shù)ai不是全部同號或有等于零的項（缺項），則系統(tǒng)不穩(wěn)定；§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

一、勞斯判據(jù)反之，如果系數(shù)ai全部同號則不能確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的；閉環(huán)特征方分母都是第一列的元素，如第三行第二列勞斯陣列表:2、建立勞斯陣列表3、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)第一列元素全部同號且不為零時系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定?！?-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。分母都是第一列的元素，勞斯陣列表:2、建立勞斯陣列表3、1175816015513.305例：§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)1175816015513.305例：§5-3代數(shù)穩(wěn)定性例：1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零， 系統(tǒng)穩(wěn)定與否繼續(xù)第二步；2、建立勞斯陣列表因為第一列中，各元素不同號，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。又：由于第一列的元素變號兩次，應(yīng)有兩個極點在S平面的右半面。該系統(tǒng)有五個根：-2.04610.7336±1.1577i-0.7105±0.8922i§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)例：1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，2、建立勞斯陣列表因為2、建立勞斯陣列表1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；該系統(tǒng)四個根：

-1.8832-0.5310

+0.2071±0.9783i第一列元素等于零時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。用ε代替，可繼續(xù)計算確定右半面的極點個數(shù)。由于2-2/ε<0，故認為變號兩次，有兩個極點在S平面的右半面。+-+§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)勞思(routh)判據(jù)的特殊情況特殊情況1：第一列出現(xiàn)0

特殊情況2：某一行元素均為02、建立勞斯陣列表1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正數(shù)代之。

特殊情況1：第一列出現(xiàn)0§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)特殊情況：第一列出現(xiàn)0。各項系數(shù)均為正數(shù)解決方法：用任意小正特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導后方程系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程。各項系數(shù)均為正數(shù)求導得:例如：

特殊情況2：某一行元素均為0§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)特殊情況：某一行元素均為0解決方法：全0行的上一行各項系數(shù)均二、

勞斯判據(jù)的其他應(yīng)用1、確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的參數(shù)取值范圍2、確定系統(tǒng)穩(wěn)定裕量用(S-σ)代替S，如果用ROTH判據(jù)判斷仍能穩(wěn)定，則表明該系統(tǒng)至少有穩(wěn)定裕量σ?guī)?shù)計算ROTH陣列表第一列元素；令含參數(shù)的元素大于零，得到系統(tǒng)穩(wěn)定時的參數(shù)取值范圍§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)二、

勞斯判據(jù)的其他應(yīng)用1、確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的參數(shù)取值范圍2§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)估計穩(wěn)定裕量例4S3117S2711S10S0110jω

jω’

σσ0

oo’設(shè)S=S′－σ0

，若σ0=1,用S=S′－1代入此時有一個特征根在原點，其余在左半平面。§5-3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)估計穩(wěn)定裕量例4S31§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Gk(jω)＝G(jω)H(jω)來判斷系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)＝0的特征根是否具有全部負實部的根

用分析或?qū)嶒灥姆椒▉砬蟮孟到y(tǒng)的頻率特性，另外在用Nyquist判據(jù)我們還能指出系統(tǒng)穩(wěn)定性的儲備——即相對穩(wěn)定，因此利用它來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特一、米哈伊洛夫定理1.定理：設(shè)n次多項式D(s)有p個零點位于復平面的右半平面，q個零點在原點上，其余n-p-q個零點位于左半平面，則當以s=jω代入D(s)并令ω從0∞時，D(jω)的角增量為：§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)一、米哈伊洛夫定理1.定理：設(shè)n次多項式D(s)有p個零點則當以s=jω代入D(s)并令ω從0∞時，D(jω)的角增量為：實根情形n-p-q個零點位于左半平面則當以s=jω代入D(s)并令ω從0∞時，D(jω)的角增共軛虛根情形(0<ξ<1)設(shè)根位于左半s平面當ω由0變化到∞時，jω+p1的相角變化范圍：-0~π/2變化量：π/2+0

jω+p2的相角變化范圍：0~π/2變化量：π/2-0

共軛虛根情形(0<ξ<1)設(shè)根位于左半s平面當ω由0變化到∞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件共軛虛根情形(0<ξ<1)設(shè)根位于左半s平面當ω由0變化到∞時，jω+p1的相角變化范圍：-0~π/2變化量：π/2+0

jω+p2的相角變化范圍：0~π/2變化量：π/2-0

共軛虛根情形(0<ξ<1)設(shè)根位于左半s平面當ω由0變化到∞

一、米哈伊洛夫定理1.定理：設(shè)n次多項式D(s)有p個零點位于復平面的右半平面，q個零點在原點上，其余n-p-q個零點位于左半平面，則當以s=jω代入D(s)并令ω從0∞時，D(jω)的角增量為：2．推論：n次多項式D(s)的所有零點均在s左半平面時，則以s＝j(luò)ω代入，令ω從0∞時，D(jω)的角連續(xù)增大，（此時，p=0，q=0）§5-4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)一、米哈伊洛夫定理1.定理：設(shè)n次多項式D(s)有p個零二、函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點和極點的關(guān)系以其特征方程構(gòu)成一函數(shù):G(s)H(s)二、函數(shù)F(s)與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)零點和極點的關(guān)系以其特征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課件三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1．判據(jù)：

1)若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定(即Gk(jω)無極點在s右半平面)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：Gk(jω)的Nyquist圖當ω從0變到+∞不包圍(-1，j0)點開環(huán)穩(wěn)定時，根據(jù)米哈伊洛夫定理:

閉環(huán)穩(wěn)定時，根據(jù)米哈伊洛夫定理:說明F(jω)不包圍原點，對應(yīng)于G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0）三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1．判據(jù)：開環(huán)穩(wěn)定時，根據(jù)米哈伊2)若開環(huán)不穩(wěn)定，有p個極點在s右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

Gk(jω)的Nyquist圖當ω從0變到+∞必須包圍(-1，j0)點，并且繞該點朝逆時針方向轉(zhuǎn)p/2圈。2)若開環(huán)不穩(wěn)定，有p個極點在s右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充解：ω=0Ak(ω)=Kk(ω)=0ω=Ak(ω)=0k(ω)=-180四、Nyquist判據(jù)應(yīng)用舉例（一）0型系統(tǒng)（注意與0階的區(qū)別）開環(huán)分母S中的=0，例1：T1、T2、K>0由此可知，Gk(jω)不包圍（-1,j0）點，又Gk(jω)的極點在右平面為零，即P=0，所以系統(tǒng)無論T1、T2、K為何值，該閉環(huán)系統(tǒng)均穩(wěn)定且絕對穩(wěn)定一階、二階慣性環(huán)節(jié)閉環(huán)穩(wěn)定解：四、Nyquist判據(jù)應(yīng)用舉例（一）0型系統(tǒng)（注意與0階ω=0時，Ak(ω)=K，k(ω)=0ω=時，Ak(ω)=0，k(ω)=-90它的圖形取決于K和T1、T2、T3、1、2的大小

但當T1、T2、T3較大而1、2較小時，其k(ω)在高頻時可能達-180以上，它有可能包含（-1,j0）點例2：ω=0時，Ak(ω)=K，k(ω)=0它的圖形取決于K和T

由此可知，對于0型系統(tǒng)，只有開環(huán)傳遞函數(shù)分母的階次在三階以上時，才有可能使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(j)H(j)由此可知，對于0型系統(tǒng)，只有開環(huán)傳遞函數(shù)分母的階次例：解：該例與慣性環(huán)節(jié)有相似的地方，其Nyquist圖為位于左下平面的半圓，屬開環(huán)不穩(wěn)定

當K>1時，ω從0曲線包圍（-1，j0）點1/2圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定；當K<1時，ω從0曲線包圍（-1，j0）點0圈，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：（二）I型系統(tǒng)：開環(huán)分母S中的=1ω=0+時，Ak(ω)=，k(ω)=-90ω時，Ak(ω)=0，k(ω)=-270

有零根，將S=0按左半平面處理，即把零根看作具有負實部的根，因為該系統(tǒng)開環(huán)在S右半平面無極點P=0，開環(huán)穩(wěn)定，起點k=-90，

是否穩(wěn)定由各參數(shù)確定，如在小時閉環(huán)不穩(wěn)定，大時可使閉環(huán)穩(wěn)定，K較小時，也可使系統(tǒng)穩(wěn)定。（二）I型系統(tǒng)：開環(huán)分母S中的=1ω=0+時，Ak(ω)例2：開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍當開環(huán)頻率特性的乃氏圖通過復平面的(-1,j0)點時，則閉環(huán)系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。設(shè)通過(-1,j0)點時頻率為ω0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為：開環(huán)增益K越大，對系統(tǒng)穩(wěn)定性越不利例2：開環(huán)傳遞函數(shù)為：

試確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍當開（三）II型系統(tǒng)：開環(huán)分母S中的=2ω=0時,Ak(ω)=

，k()=-180ω時,Ak(ω)=0，k()=-180k(ω)=-180-arctgTω+arctg

ω

通過以上對I型II型的例子可以看出，對系統(tǒng)串入一階微分環(huán)節(jié)（導前環(huán)節(jié)）可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只要選擇足夠大的時間常數(shù)，便可使系統(tǒng)穩(wěn)定。增益K小可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（三）II型系統(tǒng)：開環(huán)分母S中的=2ω=0時,Ak(ω)五、穩(wěn)定判據(jù)的物理解釋：五、穩(wěn)定判據(jù)的物理解釋：r(t)b(t)1、如果A()=1

，

()=-180°系統(tǒng)閉環(huán)后，就無須輸入r(t)而自己維持正弦振蕩，即：系統(tǒng)輸出無法控制G(s)H(s)輸入r(t)=SintASin（t+）b(t)系統(tǒng)開環(huán)情況下：2、如果()=-180°時A()>1系統(tǒng)閉環(huán)后，r(t)-b(t)越來越大，系統(tǒng)不穩(wěn)定G(s)c(t)r(t)H(s)b(t)系統(tǒng)穩(wěn)定必須：A()=1時()>-180°()=-180°時A()<1r(t)b(t)1、如果A()=1，系統(tǒng)閉環(huán)后，就無1．前向通道串聯(lián)延時環(huán)節(jié)2．前向通道并聯(lián)延時§5-5乃氏判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性對穩(wěn)定性不利1．前向通道串聯(lián)延時環(huán)節(jié)§5-5乃氏判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)§5-6伯德圖判據(jù)利用開環(huán)頻率特性的極坐標圖(Nyquist圖)來判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是Nyquist判據(jù)的方法．若將開環(huán)極坐標圖改畫為開環(huán)對數(shù)坐標圖，即Bode圖，也同樣可以利用它來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性．這種方法有時稱為對數(shù)頻率特性判據(jù)，簡稱對數(shù)判據(jù)或Bode判據(jù)，它實質(zhì)上是Nyquist判據(jù)的引申.§5-6伯德圖判據(jù)利用開環(huán)頻率特性的極坐標圖(Nyqui乃氏曲線和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系L()=0K=1Bode圖實軸增益為零，對應(yīng)乃氏曲線是單位圓-180極坐標圖上的負實軸相當于Bode圖上的-180線，wwL(w)f(w)-180乃氏曲線和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系L()=0K=1乃氏曲線和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系增益為零時的頻率稱幅值穿越頻率相角=-180°時的頻率稱相角穿越頻率如何代數(shù)方法求取?乃氏曲線和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系增益為零時的頻率稱幅值穿越頻率練習1曲線順時針包圍點(-1，j0)，即曲線先在時交于交于單位圓，后在時才負實軸練習1曲線順時針包圍點(-1，j0)，即曲線先在練習1對數(shù)幅頻特性先在時交于0分貝線對數(shù)相頻特性后在時交于-180°線，練習1對數(shù)幅頻特性先在時交于0分貝線練習2曲線順時針包圍點(-1，j0)，即曲線先在時交于負實軸，后在時才交于單位圓練習2曲線順時針包圍點(-1，j0)，即曲線先在練習2對數(shù)相頻特性先在時交于-180線，對數(shù)幅頻特性后在時交于0分貝線練習2對數(shù)相頻特性先在時交于-180線，對數(shù)幅頻對數(shù)判據(jù)可表述如下

在P=0時，若開環(huán)對數(shù)幅頻特性比其對數(shù)相頻特性先交于橫軸，即<，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若兩者相等，則臨界穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定?；驌Q言之：若開環(huán)對數(shù)幅頻特性達到0分貝，其對數(shù)相頻特性還在－180度線以上，即相位還不足，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若開環(huán)相頻特性達到－180度時，其對數(shù)幅頻特性還在0分貝線以上，即幅值不到1，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.對數(shù)判據(jù)可表述如下或換言之：若開環(huán)對數(shù)幅頻特性達到0分貝，其對數(shù)判據(jù)表述P不等于0時:對于0型或1型系統(tǒng)在Bode圖上，當由0變到+時，開環(huán)對數(shù)相頻特性在的頻率范圍(即開環(huán)對數(shù)幅頻特性不為負值的范圍)內(nèi)，正穿越和負穿越軸線的次數(shù)之差為P/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定．此即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件.見教材例5-18對數(shù)判據(jù)表述P不等于0時:對于0型或1型系統(tǒng)穿越的概念在a點相頻特性由上而下穿過橫軸，這稱為負穿越；在b點相頻特性由下而上穿過橫軸，這稱為正穿越.穿越的概念在a點相頻特性由上而下穿過橫軸，這稱為負穿越；在b若其對數(shù)相頻特性一開始就由向下，則算負半次穿越；反之，若對數(shù)相頻特性一開始就由向上，則算正半次穿越，如圖所示．若其對數(shù)相頻特性一開始就由向下，則算負半次穿越；反之，若對數(shù)在開環(huán)的對數(shù)相頻圖上，在0～ωc的頻率范圍內(nèi)即L(ω)>0時，正穿越和負穿越-180°軸線的次數(shù)之差為p/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意幾點：1）正、負穿越次數(shù)之差；2）當有多個幅頻穿越ωc1、ωc2、ωc3等時，、要以最大的ωc3作用考慮相頻圖中的正、負穿越次數(shù)，且應(yīng)考慮L(ω)>0；3）對數(shù)相頻特性從一開始就為180°時，為半次穿越；4）在P=0，且ωc,ωg只有一個時，ωc<ωg時穩(wěn)定。小結(jié)：在開環(huán)的對數(shù)相頻圖上，在0～ωc的頻率范圍內(nèi)即L(ω)>0時§5-7系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可推知；若P＝0的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且當Nyquist軌跡離點(一1，j0)越遠，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；開環(huán)Nyquist軌跡離點(一1，j0)越近,則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低．這便是通常所說的系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，它通過對點(一1，j0)的靠近程度來表征，其定量表示為相位裕度和幅值裕度§5-7系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性一、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度例如：某最小相位系統(tǒng)的乃氏圖如右：由圖可知：1、若P=0，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的2、該系統(tǒng)最簡的傳函是：3、增加K值，在K=Kf時，曲線通過（-1,j0）點，這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定可見：曲線在(-1,j0)點右側(cè)穿越負實軸，系統(tǒng)穩(wěn)定，離該點越遠相對越穩(wěn)定=0+從實軸無窮遠處來=∞Kf臨界GH穿過(-1,j0)點4、增加K值時,曲線往左擴張,K>Kf時包圍(-1,j0)點，使系統(tǒng)不穩(wěn)定K>Kf一、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度例如：某最小相位系統(tǒng)的乃氏圖如右：由gc相對穩(wěn)定性用兩個參數(shù)來衡量：1)

在=c處，|G(j)|=1,

若系統(tǒng)穩(wěn)定

g=180+(j),應(yīng)>02)

在=g處，

(j)=-180,

若系統(tǒng)穩(wěn)定

Kg=1/A(