Matlab微積分問題計(jì)算機(jī)求解實(shí)驗(yàn)課件

Matlab微積分問題計(jì)算機(jī)求解實(shí)驗(yàn)Matlab微積分問題計(jì)算機(jī)求解實(shí)驗(yàn)Matlab微積分問題計(jì)算機(jī)求解實(shí)驗(yàn)微積分實(shí)驗(yàn)微積分實(shí)驗(yàn)符號(hào)表達(dá)式基礎(chǔ)操作1符號(hào)微積分2數(shù)值積分3衛(wèi)星軌道的長(zhǎng)度4國土面積的計(jì)算5sym函數(shù)用來建立單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)對(duì)象的建立：sym和syms符號(hào)對(duì)象的建立例：>>

a=sym('a')符號(hào)變量

=

sym(A)參數(shù)A

可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn)

是符號(hào)變量b

是符號(hào)常量>>b=sym(1/3)c

是符號(hào)矩陣>>c=sym('[1ab;cd]')符號(hào)對(duì)象的建立：sym和syms符號(hào)對(duì)象的建立syms命令用來建立多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：syms符號(hào)變量1符號(hào)變量2...符號(hào)變量n例：>>

symsabc>>a=sym('a');>>b=sym('b');>>c=sym('c');經(jīng)常用符號(hào)表達(dá)式的建立：例：建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下2種方法：(1)用sym函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。

(2)使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。>>y=sym('sin(x)+cos(x)')符號(hào)表達(dá)式的建立符號(hào)表達(dá)式的替換subs(f,x,a)用a替換字符函數(shù)f中的字符變量x

a是可以是數(shù)/數(shù)值變量/表達(dá)式或字符變量/表達(dá)式若x是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的數(shù)組或矩陣，則a應(yīng)該具有與x相同的形狀的數(shù)組或矩陣。用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量subs舉例>>f=sym('2*u');>>subs(f,'u',2)>>f2=subs(f,'u','u+2')>>a=3;>>subs(f2,'u',a+2)>>subs(f2,'u','a+2')>>symsxy>>f3=subs(f,'u',x+y)>>subs(f3,[x,y],[1,2])ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*((a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果f=2*u下面的命令運(yùn)行結(jié)果會(huì)是什么？>>

subs(f3,[x,y],[x+y,x+y])計(jì)算函數(shù)值練習(xí)：符號(hào)表達(dá)式的數(shù)值化R=vpa(A)或R=vpa(A,d)對(duì)符號(hào)表達(dá)式A求給定精度的值；d：輸出數(shù)值的有效位數(shù)Vpa的默認(rèn)精度是23位。對(duì)符號(hào)求值的命令為vpa，即Variableprecisionarithmeticdigits(25);p=vpa(pi)w=vpa('(1+sqrt(5))/2',4)計(jì)算極限limit(f,x,a):

計(jì)算limit(f,a):

當(dāng)默認(rèn)變量趨向于a時(shí)的極限limit(f):

計(jì)算a=0時(shí)的極限limit(f,x,a,'right'):

計(jì)算右極限limit(f,x,a,'left'):

計(jì)算左極限例：計(jì)算，>>symsxhn;>>L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>M=limit((1-x/n)^n,n,inf)計(jì)算導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式f關(guān)于v的導(dǎo)數(shù)g=diff(f)：求符號(hào)表達(dá)式f關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求f關(guān)于v的n階導(dǎo)數(shù)diff>>symsx;>>f=sin(x)+3*x^2;>>g=diff(f,x)>>z=y^2*sin(x^2);>>dxd2y=diff(diff(z,x,1),y,2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)練習(xí)：計(jì)算積分int(f,v,a,b):計(jì)算定積分int(f,a,b):計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分int(f,v):計(jì)算不定積分int(f):計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分>>symsx;f=(x^2+1)/(x^2-2*x+2)^2;>>I=int(f,x)>>K=int(exp(-x^2),x,0,inf)例：計(jì)算和計(jì)算積分練習(xí)：符號(hào)求和>>symsn;f=1/n^2;>>S=symsum(f,n,1,inf)>>S100=symsum(f,n,1,100)symsum(u,n,n0,nn):symsum(f,a,b):

關(guān)于默認(rèn)變量求和例：計(jì)算級(jí)數(shù)及其前100項(xiàng)的部分和例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù)>>symsnx;f=x/n^2;>>S=symsum(f,n,1,inf)Taylor級(jí)數(shù)展開taylor(f):求f在默認(rèn)自變量=0處的5階Taylor級(jí)數(shù)展開式定積分taylor(f,n,x):求f在默認(rèn)自變量x=0處的n-1階Taylor級(jí)數(shù)展開式定積分taylor(f,n,x,a):求f在默認(rèn)自變量x=a處的n-1階Taylor級(jí)數(shù)展開式定積分>>symsx;taylor(exp(x),x,7,-1)上機(jī)作業(yè)1.

2.3.4.5.數(shù)值積分函數(shù)quad()采用遞推自適應(yīng)Simpson法計(jì)算積分，精度較高，較常使用。q=quad(fun,a,b)q=quad(fun,a,b,tol)功能：求一元函數(shù)fun的積分ｑ，積分上限和下限分別為a和b，絕對(duì)誤差為tol，默認(rèn)時(shí)取值10^-6，函數(shù)fun是待求解的對(duì)象，可以是字符串、內(nèi)聯(lián)函數(shù)、Ｍ函數(shù)文件名的函數(shù)句柄。SimpsonFormula數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。1、f=inline(‘exp(-x.^2)’);％內(nèi)聯(lián)函數(shù)q1=quad(f,0,1)數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。2、編寫被積函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)名為quad1.mfunctionf=quad1(x)f=exp(-x.^2);>>q2=quad('quad1',0,1)數(shù)值積分【例】求exp(-x2)在[0,1]上的積分。3、編寫被積函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)名為f=@(x).exp(-x.^2);>>q2=quad(f,0,1)數(shù)值積分(2)梯形法（被積函數(shù)由一個(gè)表格定義）trapz函數(shù)采用梯形法求取數(shù)值積分，適用于由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題，求值速度快，但精度差。q=trapz(Y)q=trapz(X,Y)其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)?！纠壳骵xp(-x2)在[0,1]上的積分。X=0:0.01:1;Y=exp(-X.^2);q=trapz(X,Y)上機(jī)作業(yè)取一定數(shù)量的點(diǎn)，利用梯形數(shù)值積分公式近似計(jì)算圓周率pi數(shù)值積分(3)二重積分的數(shù)值求解dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)功能：該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。數(shù)值積分【例】計(jì)算二重定積分①(1)建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)②>>f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)')>>I=dblquad(f,-2,2,-1,1)Fourier級(jí)數(shù)定理設(shè)周期為的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件，則它的Fourier級(jí)數(shù)展開式為：

其中系數(shù)為：

Fourier級(jí)數(shù)的Matlab程序[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)其中f為待展開的函數(shù)，x為自變量，n為展開項(xiàng)數(shù)，[a,b]為展開區(qū)間，省略為[-pi,pi]，[A,B]為記錄Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)向量F為返回的Fourier級(jí)數(shù)的展開式Fourier級(jí)數(shù)的Matlab程序具體程序：function[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)ifnargin==3a=-pi;b=pi;end%若輸入為3個(gè)參數(shù)，表示函數(shù)f(x)在[-pi,pi]內(nèi)進(jìn)行展開L=(b-a)/2;

Fourier級(jí)數(shù)的Matlab程序ifa+bsubs(f,x,x+L+a);endA=int(f,x,-L,L);%f(x)在[-pi,pi]內(nèi)展開B=[];fori=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;endFourier級(jí)數(shù)的Matlab程序A=[A,an];%記錄所有cos前面的系數(shù)B=[B,bn];%記錄所有sin前面的系數(shù)F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);%記錄得到的Fourier展開式

Fourier級(jí)數(shù)的Matlab程序例：考慮方波函數(shù)f(x)=abs(x)/x,定義域?yàn)閇-pi,pi],并且x不等于0。將f(x)進(jìn)行Fourier展開，具體命令如下：symsx;f=abs(x)/x;%給出待展開的函數(shù)xx=[-pi:pi/200:pi];xx=xx(xx~=0);xx=sort([xx,-eps,eps]);Fourier級(jí)數(shù)的Matlab程序yy=subs(f,x,xx);%計(jì)算f(x)的值fori=1:20[A,B,F]=fseries(f,x,n);y=subs(F,x,xx);subplot(4,5,n);plot(xx,yy);%畫出f(x)的圖像holdonplot(xx,y);%畫出Fourier級(jí)數(shù)的圖像endFourier級(jí)數(shù)的Matlab程序練習(xí)：試求出函數(shù)y=sin(x)在[0,pi/2]上的Fourier級(jí)數(shù)展開式。衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面為h=439km，，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面H=2384km，地球半徑為R=6371km，求該衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度。問題衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度人造衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓，由于地球位于衛(wèi)星橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，根據(jù)近地點(diǎn)距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距離可分別計(jì)算出橢圓長(zhǎng)半軸、橢圓半焦距、橢圓短半軸為4.8707e+004國土面積的計(jì)算現(xiàn)要根據(jù)瑞士地圖計(jì)算其國土面積。于是對(duì)地圖作如下的測(cè)量：以西向東方向?yàn)閤軸，由南向北方向?yàn)閥軸，選擇方便的原點(diǎn)，并將從最西邊界到最東邊界在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥危∽銐蚨嗟姆贮c(diǎn)xi，在每個(gè)分點(diǎn)的y方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)y1和坐標(biāo)y2，數(shù)據(jù)如表(單位mm)：根據(jù)地圖比例知18mm相當(dāng)于40km，試由上表計(jì)算瑞士國土的近似面積(精確值為41822km2)問題國土面積的計(jì)算x7.010.513.017.534.040.544.548.056.0y1444547505038303034y24459707293100110110110x61.068.576.580.591.096.0101.0104.0106.5y1363441454643373328y211711811611