知識點51應用三大觀點解決滑塊與輕彈簧碰撞問題（提高）

學問點51：應用三大觀點解決滑塊與輕彈簧碰撞問題【學問思維方法技巧】滑塊與彈簧碰撞模型的特點：〔1〕動量守恒：兩個物體與彈簧相互作用的過程中，假設系統(tǒng)所受外力的矢量和為零，那么系統(tǒng)動量守恒．〔2〕機械能守恒：系統(tǒng)所受的外力為零或除彈簧彈力以外的內力不做功，系統(tǒng)機械能守恒．〔3〕彈簧處于最長(最短)狀態(tài)時兩物體速度相等，彈性勢能最大，系統(tǒng)動能通常最小(相當于完全非彈性碰撞，兩物體削減的動能轉化為彈簧的彈性勢能)．〔4〕彈簧恢復原長時，彈性勢能為零，系統(tǒng)動能最大〔相當于剛完成彈性碰撞〕．考點一：滑塊與含彈簧滑塊碰撞模型【學問思維方法技巧】①兩小球速度相同時(相當于完全非彈性碰撞)，彈簧最短，彈性勢能最大動量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v，能量守恒：eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2＋Epm②彈簧恢復原長時(相當于完全彈性碰撞)，動量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2，能量守恒：eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22，恢復原長時，v1＝eq\f(m1－m2,m1＋m2)v0，v2＝eq\f(2m1,m1＋m2)v0；題型一：水平面運動模型【典例1提高題】如下圖，光滑水平直軌道上有三個質量均為m的物塊A、B、C，B的左側固定一輕彈簧(彈簧左側的擋板質量不計).設A以速度v0朝B運動，壓縮彈簧；當A、B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后連續(xù)運動.假設B和C碰撞過程時間極短，求從A開頭壓縮彈簧直到與彈簧別離的過程中.(1)整個系統(tǒng)損失的機械能；(2)彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能.【典例1提高題】【答案】(1)eq\f(1,16)mv02(2)eq\f(13,48)mv02【解析】(1)以v0的方向為正方向，對A、B組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有mv0＝2mv1，解得v1＝eq\f(1,2)v0，B與C碰撞的瞬間，B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，有mv1＝2mv2，解得v2＝eq\f(v0,4)，系統(tǒng)損失的機械能ΔE＝eq\f(1,2)mv12－eq\f(1,2)×2mv22＝eq\f(1,16)mv02mv0＝3mv，解得v＝eq\f(v0,3)，依據(jù)能量守恒定律，彈簧的最大彈性勢能為Ep＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(3m)v2－ΔE＝eq\f(13,48)mv02.題型二：組合式運動模型【典例2提高題】如下圖，CDE為光滑的軌道，其中ED是水平的，CD是豎直平面內的半圓，與ED相切于D點，且半徑R＝0.5m，質量m＝0.1kg的滑塊A靜止在水平軌道上，另一質量M＝0.5kg的滑塊B前端裝有一輕質彈簧(A、B均可視為質點)以速度v0向左運動并與滑塊A發(fā)生彈性正碰，假設相碰后滑塊A能過半圓最高點C，取重力加速度g＝10m/s2，那么：(1)B滑塊至少要以多大速度向前運動；(2)假如滑塊A恰好能過C點，滑塊B與滑塊A相碰后輕質彈簧的最大彈性勢能為多少？【典例2提高題】【答案】(1)3m/s(2)0.375J【解析】(1)設滑塊A過C點時速度為vC，B與A碰撞后，B與A的速度分別為v1、v2，B碰撞前的速度為v0，過圓軌道最高點的臨界條件是重力供應向心力，由牛頓其次定律得：mg＝meq\f(v\o\al(2,C),R)，從D到C由動能定理得：－mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，B與A發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程動量守恒、機械能守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得：Mv0＝Mv1＋mv2，由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，由以上代入數(shù)據(jù)解得：v0＝3m/s.(2)由于B與A碰撞后，當兩者速度相同時彈簧有最大彈性勢能Ep，設共同速度為v，A、B碰撞過程系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得：Mv0＝(M＋m)v，由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)＝Ep＋eq\f(1,2)(m＋M)v2，以上各式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：Ep＝0.375J.【典例2提高題對應練習】如下圖，半徑為R的eq\f(1,4)光滑圓弧軌道豎直固定在水平地面上，下端與水平地面在P點相切，一個質量為2m的物塊B(可視為質點)靜止在水平地面上，左端固定有水平輕彈簧，Q點為彈簧處于原長時的左端點，P、Q間的距離為R，PQ段地面粗糙、動摩擦因數(shù)為μ＝，Q點右側水平地面光滑，現(xiàn)將質量為m的物塊A(可視為質點)從圓弧軌道的最高點由靜止開頭下滑，重力加速度為g.求：(1)物塊A沿圓弧軌道滑至P點時對軌道的壓力大小；(2)彈簧被壓縮的最大彈性勢能(未超過彈性限度)；(3)物塊A最終停止位置到Q點的距離．【典例2提高題對應練習】【答案】(1)3mg(2)eq\f(1,3)mgR(3)eq\f(1,9)R【解析】(1)物塊A從靜止沿圓弧軌道滑至P點，設物塊A在P點的速度大小為vP，由機械能守恒定律有：mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)，在最低點軌道對物塊的支持力大小為FN，由牛頓其次定律有：FN－mg＝meq\f(v\o\al(2,P),R)，聯(lián)立解得：FN＝3mg，由牛頓第三定律可知物塊對軌道P點的壓力大小為3mg.(2)設物塊A與彈簧接觸前瞬間的速度大小為v0，由動能定理有mgR－μmgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－0，解得v0＝eq\r(gR)，當物塊A、物塊B具有共同速度v時，彈簧的彈性勢能最大，由動量守恒定律有：mv0＝(m＋2m)v，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)(m＋2m)v2＋Epm，聯(lián)立解得Epm＝eq\f(1,3)mgR.(3)設物塊A與彈簧別離時，A、B的速度大小分別為v1、v2，規(guī)定向右為正方向，那么有mv0＝－mv1＋2mv2，eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2)，聯(lián)立解得：v1＝eq\f(1,3)eq\r(gR)，設A最終停在Q點左側距Q點x處，由動能定理有：－μmgx＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得x＝eq\f(1,9)R.考點二：滑塊與彈簧連接體碰撞模型題型一：彈簧連接體兩端滑塊的壓縮〔伸長〕模型【典例1提高題】(多項選擇)如下圖，水平光滑軌道寬度和輕彈簧自然長度均為d，m2的左邊有一固定擋板．m1由圖示位置靜止釋放，當m1與m2相距最近時m1的速度為v1，那么在以后的運動過程中()A．m1的最小速度是0B．m1的最小速度是eq\f(m1－m2,m1＋m2)v1C．m2的最大速度是v1D．m2的最大速度是eq\f(2m1,m1＋m2)v1【典例1提高題】【答案】BD【解析】由題意結合題圖可知，當m1與m2相距最近時，m2的速度為0，此后，m1在前，做減速運動，m2在后，做加速運動，當再次相距最近時，m1減速結束，m2加速結束，因此此時m1速度最小，m2速度最大，在此過程中系統(tǒng)動量守恒和機械能守恒，m1v1＝m1v1′＋m2v2，eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＝eq\f(1,2)m1v′eq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)，可解得v′1＝eq\f(m1－m2,m1＋m2)v1，v2＝eq\f(2m1,m1＋m2)v1，B、D選項正確．【典例1提高題對應練習】(多項選擇)如下圖，兩個小球A、B大小相等，質量分布勻稱，分別為m1、m2且m1＜m2，A、B與水平輕彈簧拴接，靜止在光滑水平面上，第一次用錘子在左側與A球心等高處水平快速向右敲擊A，作用于A的沖量大小為I1，其次次兩小球及彈簧仍靜止在水平面上，用錘子在右側與B球心等高處水平快速向左敲擊B，作用于B的沖量大小為I2，I1＝I2，那么以下說法正確的選項是()A．假設兩次錘子敲擊完成瞬間，A、B兩球獲得的動量大小分別為p1和p2，那么p1＝p2B．假設兩次錘子敲擊分別對A、B兩球做的功為W1和W2，那么W1＝W2C．假設兩次彈簧壓縮到最短時的長度分別為L1和L2，那么L1＜L2D．假設兩次彈簧壓縮到最短時A、彈簧、B的共同速度大小分別為v1和v2，那么v1＞v2【典例1提高題對應練習】【答案】AC【解析】由動量定理I＝Δp可知，由于I1＝I2，那么兩次錘子敲擊完成瞬間有p1＝p2，故A正確；由于兩次錘子敲擊完成瞬間兩球具有的動量大小相等，且Ek＝eq\f(p2,2m)，可知A球獲得的初動能更大，由動能定理可知W1＞W(wǎng)2，故B錯誤；由動量守恒可得m1v0＝(m1＋m2)v，得v＝eq\f(m1v0,m1＋m2)，由能量守恒有eq\f(1,2)m1v02＝eq\f(1,2)(m1＋m2)v2＋Ep，得Ep＝eq\f(m1m2,2m1＋m2)v02，由于p1＝p2，那么質量越大的球初速度越小，即A球獲得的初速度較大，那么敲擊A球后彈簧的最大彈性勢能較大，即L1＜L2，故C正確；由動量守恒可得m1v0＝(m1＋m2)v，得v＝eq\f(m1v0,m1＋m2)，那么兩次彈簧壓縮到最短時系統(tǒng)的速度大小相等，故D錯誤．題型二：滑塊與彈簧連接體水平式碰撞模型【典例2提高題】如下圖，靜止放置在光滑水平面上的A、B、C三個滑塊，滑塊A、B間通過一水平輕彈簧相連，滑塊A左側緊靠一固定擋板P，某時刻給滑塊C施加一個水平?jīng)_量使其以初速度v0水平向左運動，滑塊C撞上滑塊B的瞬間二者粘在一起共同向左運動，彈簧被壓縮至最短的瞬間具有的彈性勢能為1.35J，此時撤掉固定擋板P，之后彈簧彈開釋放勢能，滑塊A、B、C的質量分別為mA＝mB＝0.2kg，mC＝0.1kg，(取eq\r(10)＝3.17)求：(1)滑塊C的初速度v0的大??；(2)當彈簧彈開至恢復到原長的瞬時，滑塊B、C的速度大??；(3)從滑塊B、C壓縮彈簧至彈簧恢復到原長的過程中，彈簧對滑塊B、C整體的沖量．【典例2提高題】【答案】(1)9m/s(2)1.9m/s(3)1.47N·s，方向水平向右【解析】(1)滑塊C撞上滑塊B的過程中，滑塊B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，以水平向左為正，依據(jù)動量守恒定律得：mCv0＝(mB＋mC)v1，彈簧被壓縮至最短時，滑塊B、C速度為零，依據(jù)能量守恒定律得：Ep＝eq\f(1,2)(mB＋mC)veq\o\al(2,1)解得：v1＝3m/s，v0＝9m/s(2)設彈簧彈開至恢復到原長的瞬間，滑塊B、C的速度大小為v2，滑塊A的大小為v3，依據(jù)動量守恒定律得：mAv3＝(mB＋mC)v2，依據(jù)能量守恒定律得：Ep＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,3)＋eq\f(1,2)(mB＋mC)veq\o\al(2,2)，解得：v2≈1.9m/s(3)設彈簧對滑塊B、C整體的沖量I，選向右為正方向，由動量定理得：I＝Δp＝(mB＋mC)(v2＋v1)，解得：I＝1.47N·s，方向水平向右．【典例2提高題對應練習】如圖甲所示，物塊A、B的質量分別為mA＝4.0kg和mB＝3.0kg，用輕彈簧拴接，放在光滑的水平地面上，物塊B右側與豎直墻壁接觸。另有一物塊C從t＝0時以肯定速度向右運動，在t＝4s時與物塊A相碰，并馬上與A粘在一起不再分開，物塊C的v-t圖像如圖乙所示，求：(1)物塊C的質量mC；(2)墻壁對物塊B在4s到12s的時間內的沖量大小和方向；(3)物塊B離開墻后的過程中彈簧具有的最大彈性勢能Ep?！镜淅?提高題對應練習】【答案】(1)2kg(2)36N·s，方向水平向左(3)9J【解析】(1)由題圖乙可知，物塊C與物塊A碰前的速度為v1＝9m/s，碰后的速度為v2＝3m/s，C與A碰撞過程中動量守恒，由動量守恒定律可得：mCv1＝(mA＋mC)v2，解得：mC＝2kg。(2)由題圖乙可知，12s末物塊A和C的速度為v3＝－3m/s，4s到12s的時間內墻對B的沖量為I＝(mA＋mC)v3－(mA＋mC)v2，解得：I＝－36N·s，方向水平向左。(3)12s末，物塊B離開墻壁之后A、B、C及彈簧組成的系統(tǒng)動量和機械能守恒，且當三者速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，以物塊A的速度方向為正方向，由動量守恒定律可得：(mA＋mC)v3＝(mA＋mB＋mC)v4，由機械能守恒定律可得：eq\f(1,2)(mA＋mC)v32＝eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)v42＋Ep，聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)可解得：Ep＝9J。題型三：滑塊與彈簧連接體斜面式及豎直式碰撞模型【典例3提高題】(多項選擇)豎直放置的輕彈簧下端固定在地上，上端與質量為m的鋼板連接，鋼板處于靜止狀態(tài)。一個質量也為m的物塊從鋼板正上方h處的P點自由落下，打在鋼板上并與鋼板一起向下運動x0后到達最低點Q。以下說法正確的選項是()A．物塊與鋼板碰后的速度為eq\r(2gh)B．物塊與鋼板碰后的速度為eq\f(\r(2gh),2)C．從P到Q的過程中，彈性勢能的增加量為mg(2x0＋eq\f(h,2))D．從P到Q的過程中，彈性勢能的增加量為mg(2x0＋h)【典例3提高題】【答案】BC【解析】物塊下落h，由機械能守恒：mgh＝eq\f(1,2)mv12；物體與鋼板碰撞，那么動量守恒：mv1＝2mv2，解得v2＝eq\f(1,2)v1＝eq\f(\r(2gh),2)，選項A錯誤，B正確；從碰撞到Q點，由能量關系可知：eq\f(1,2)·2mv22＋2mgx0＝Ep，那么彈性勢能的增加量為Ep＝mg(2x0＋eq\f(h,2))，選項C正確，D錯誤?！镜淅?提高題對應練習】〔多項選擇〕如下圖，質量均為m的A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質彈簧拴接在