第20練 平面向量中的線性問題

第20練平面向量中的線性問題［題型分析?高考展望］平面向量是初等數(shù)學的重要內(nèi)容，兼具代數(shù)和幾何的“雙重特性”，是解決代數(shù)問題和幾何問題的有力工具，與很多知識聯(lián)系較為密切，是高考命題的熱點.多與其他知識聯(lián)合命題，題型有選擇題、填空題、解答題，掌握好向量的基本概念、基本運算性質是解題的關鍵.體驗高考（2015?課標全國I）設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，BC=3CD，貝％b.ad=|Ab-4acc.aD=4AB+3acd.ad=4Ab-|ac答案A解析VBC=3CD,:.AC-AB=3(AD-AC),—>—A—A—A1—A4—A即4AC-AB=3AD,:.AD=-3AB+§AC.(2016?課標全國甲)已知向量a=(1,m)，b=(3，-2)，且(a+b)丄b,則m等于()－8B.－6c.6D.8答案D解析由題知a+b=(4,m-2)，因為(a+b」b，所以(a+b)b=0,即4X3+(-2)X(m-2)=0，解之得m=8，故選D.(2016?山東)已知非零向量m，n滿足4lml=3lnl,cos〈m,n)=|.若"丄(tm+n)，則實數(shù)t的值為()99A.4B.—4C.4D.—4答案B解析Tn丄(tm+n),.°.n?(tm+n)=0，即tm?n+lnI2=0,.tlmllnlcos〈m，n〉+lnl2=0，又4lml=3lnl，

31.\tx4in12X3+n12=0，解得t=-4,故選b.(2015?北京)在△ABC中，點M，N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC，貝Vx=,,,x=2，y,,,x=2，y二1-6高考必會題型題型一平面向量的線性運算及應用例1⑴在AABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC=3CD，點O在線段CD上（與點TOC\o"1-5"\h\zc,d不重合），若AO=xAB+（i—x）AC，則x的取值范圍是（）A.（0,￡）B.（0,3）C.（-2，o）D.（-30）???1??（2）已知在△ABC中，D是AB邊上的一點，若AD=2DB,CD=3CA+ACB，則A=.答案（1）D（2彳解析⑴設CO二yBC,VAO=AC+cO=AC+yBC=AC+y（AC-AB）=-yAB+（1+y）AC.???BC二3CD,點O在線段CD上（與點C,D不重合）,.??yW(0,I),VAO=xAB+(1-x)AC,?°.x=_y,.°.xW(-3，0).---1------2--2--1-(2)因為AD=2DB,CD=3CA+kCB，所以CD=CA+AD=CA+3AB=CA+3(CB-CA)=§CA+#CB，所以a=3.點評平面向量的線性運算應注意三點(1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.⑶(OAMOB+〃OCa,卩為實數(shù))，若a,b,c三點共線，則久+〃=1.變式訓練1(1)如圖，兩塊全等的直角邊長為1的等腰直角三角形拼在一起，若AD=XAB+TOC\o"1-5"\h\zkAC,則A+k等于()A.1+<2B.2—邁C.2DA'2+2(2)在AABC中，G^A+GB+(jC=0,CA=a,CB=b.若CP=ma,CQ=nb,CGQPQ=H,CG~*11=2CH，則一+一=.mn答案(1)A(2)6解析(1)根據(jù)向量的基本定理可得，ad=aC+CD=aC+(ed-eC)=ac+^,'2aC-弩BC=AC+.'2aC-￥(AC-AB)1+￥AC+所以A+k=1+邁.故選A.****1*1*(2)由64+63+60=0,知點G為AABC的重心，取AB的中點D(圖略)，則CH=2CG=jCD1**1*1*1111=6(CA+CB)=6mCP+6nCQ，由p，h,q三點共線，得6m+6n=1，則m+n=6?題型二平面向量的坐標運算

例2(1)已知點A(—3,0),B(0,羽)，點O為坐標原點，點C在第二象限，且ZAOC=30°,Oc=aoa+OB，則實數(shù)久的值為.答案1解析由題意知OA=(-3,0),OB=(0^;'3),貝I」OC=(-3久，誦),由ZAOC=30°，知ZxOC=150°,.?.tan150°=I，即-￥二-￥，.?.%=1.-3久33人(2)平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2)，b=(—1,2)，c=(4,1),請解答下列問題:求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n；若(a+kc)〃(2b—a)，求實數(shù)k；若d滿足(d—c)〃(a+b)，且Id—cl="75，求d.5m=95=9.解①由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(45m=95=9.-m+4n=3,?V>?、2m+n=2,②a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),???(a+kc)〃(2b-a),13.A2X(3+4k)-(-5)(2+k)=0,.k=③設d=(x,y)，則d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4)13.〔4(x-4)-2(y-1)=0,由題意得V[(x-4)2+(y-1)2=5,x=3,x=5,解得]或V、y=-1〔y=3.???d=(3，-1)或d=(5,3).點評⑴兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a〃b的充要條件是x1y2-x2y1=0；②若a〃b(aM0)，則b=Aa.

(2)向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.(3)向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.變式訓練2(1)如圖所示，在A4BC中，D為AB的中點，F(xiàn)在線段CD上，T^AB=a,AC=f12b，AF=xa+yb，貝驛+y的最小值為()xyA.8+2<2B.8C.6D.6+^'2(2)已知向量OA=(3，-4)，OB=(6，-3)，OC=(5—m,—3—m),若點A、B、C能構成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是.答案(1)B(2)m^|解析(1)因為點D為AB的中點，所以AB=2AD，因為AF=xa+yb，所以AF=2xAD+yAC.因為點F在線段CD上，所以2x+y=1，又x,y>0,所以1+2二(2x+y)R+二4+；+半三4+2、、l''^4x=8,xy112當且僅當y=2x=2時取等號，所以丄+2的最小值為8.2xy⑵因為O>A=(3,-4),O>B=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),所以AB二(3,1),BC=(-m3m-113m-1由于點a、b、c能構成三角形，所以AB與BC不共線，而當AB與BC共線時，有解得m=|，故當點A、B、C能構成三角形時，實數(shù)m滿足的條件是m^|.高考題型精練1?設a是非零向量，久是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()A.a與加的方向相反Ba與久2a的方向相同C.I—加1三aiD.I—加1三Ula

答案B解析對于A,當久＞0時，a與的方向相同，當久＜0時，a與加的方向相反，B正確；對于C,I-AaI二I-AIIaI，由于I-刀的大小不確定，故I-AaI與aI的大小關系不確定；對于D,IAIa是向量，而I-AaI表示長度，兩者不能比較大小.f3f3fIMDI2.設點M是△ABC所在平面上的一點，且MB+2MA+2MC=0,點D是AC的中點，則=22IBfMICC1一-2AB1-3案A.答解析VD是AC的中點，延長MD至E,使得DE=MD,???四邊形MAEC為平行四邊形，.??MD=*ME=2（MA+MC）.f3f3fvmb+2MA+2MC=0,.?.MB=-|（MA+MC）3MD,??M匚氣占故選a.IBfMII－3MfDI3已知點A（—3,0）,B（0,2）,點O為坐標原點，點C在ZAOB內(nèi)，IOCI=2詁。，且ZAOCn=4?n=4?設OC=久OA+OBqwr），則久的值為（）A.1112B.3c.qd.§答案解析過點解析過點C作CE丄x軸于點E（圖略）.由ZAOC=4，知|OEI=ICEI=2,所以OC=OE+OB=^OA+OB,即OEmOA,2所以（-2,0）=A（-3,0），故A=3.在四邊形ABCD中，AB=a+2b,BC=~4a^b,CD=-5a~3b，則四邊形ABCD的形狀是()A.矩形B.平行四邊形C.梯形D.以上都不對答案C解析由已知，得Ad=AB+Bc+Cd=-8a-2b二2(-4a-b)二2BC，故AD^BC.又因為AB與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形.設向量a,b滿足lal=A'5,b=(2,1),則“a=(4,2)”是“allb”成立的()充要條件必要不充分條件充分不必要條件既不充分也不必要條件答案C解析若a=(4,2)，則lal=2寸5，且alb都成立；???a〃b，設a=Ab=(2A，久)，由lai=^,'5，知4久2+久2二20,久2二4,久二±2,?°.a—(4,2)或a—(-4,-2).因此“a—(4,2)”是“a〃b”成立的充分不必要條件.在四邊形ABCD中，ABlCD,AB=3DC,點E為BC的中點，貝VAE等于()2C,1CA.zAB+^ADc^AB+^AD答案A1C,2CB.^AB+zADd.|ab+|ad解析BCC—BCA+ACD+DCC—2CC-3AB+AD,CCCC1CCAE—AB+BE—AB+2BC—AB+

給出下列命題：若ai=lbl，則a=b；若A,B,C,D是不共線的四點，貝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a=b,b=c，貝9a=c；a=b的充要條件是lal=lbl且a〃b；若a〃b,b〃c,則allc.其中正確命題的序號是()A.②③B.①②C.③④D.④⑤答案A解析①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b=0,則不對.在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若BC=5e1,DC=3e,則OC=.(用e”e2表示)答案2(5e1+3e2)解析在矩形ABCD中，因為點O是對角線的交點，所以OC二|Ac二2(Ab+AD)=|(Dc+BC)=1(5e1+3e2).在梯形ABCD中，ABlCD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點，若AB=AAM+〃AN,貝y久+〃=.答案4解析依題意得，Am=Ab+Bc+CM=AB+Bc-1Ab=|Ab+Bc又Ab=aam+^An,于是有Ab=a(|ab+Bc)+』AB+二￡久+^i^AB+(+2)BC.——<又——<又AB與BC不共線，因此有話+〃二1

<2+^=0,4由此解得A=-5,^=-2A,4所以A+^--A—5>已知點G是△ABC的外心，GA,GB,GC是三個單位向量，且2GA+Ab+AC=0,如圖所示，AABC的頂點B,C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，點O是坐標原點，則lOAl的最大值為.08X答案2解析因為點G是AABC的外心，且2GA+AB+AC—0，所以點G是BC的中點，△ABC是直角三角形，且ZBAC是直角.又GA,GB,GC是三個單位向量，所以BC—2，又△ABC的頂點B,C分別在x軸的非負半軸和y軸的非負半軸上移動，所以點G的軌跡是以原點為圓心、1為半徑的圓弧.又IGAl—1，所以當OA經(jīng)過BC的中點G時，lOAl取得最大值，且最大值為2lGAl—2.設e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=2e1—8e2，CB=e1+3e2，CD=2e1—e2.(1)求證：A，B，D三點共線；⑵若BF=3e1—ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值.(1)證明由已知得BD—CD-CB—(2e1-e2)-(e1+3e2)—e1-4e2,TAB—2e1-8e2,AAB—2BBD.又TAB與BD有公共點B,AA，B，D三點共線.⑵解由⑴可知BD—e1-4e2,tBF—3e1-ke2，且B,D,F三點共線，aBF-aBD(awr),即3e1-ke2—Ae1-4Ae2，解得k=12.、■k二.4A.已知點O為坐標原點，A(0,2),B(4,6),OM=t1<OA+t2AB.求點M在第二或第三象限的充要條件；求證：當“=1時，不論t2為何實數(shù)，A,B,M三點都共線;⑶若t1=a2，求當OM丄AB且AABM的面積為12時，a的值.(1)解oM=tOA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).當點M在第二或第三象限時，4t2<0，有<、2t]+4t2H0,故所求的充要條件為t2<0且t1+2t2H0.⑵證明當t1=1時，由⑴