ch2 4dft分析信號頻譜chen

數(shù)字信號與圖像處理研究室

北京交通大學電子信息工程學院數(shù)字信號處理(Digital

Signal

Processing)離散傅里葉變換(DFT)問題的提出有限長序列的傅里葉分析離散傅里葉變換的性質

利用DFT計算線性卷積

利用DFT分析信號的頻譜利用DFT分析信號頻譜問題的提出四種信號頻譜之間的關系利用DFT分析連續(xù)非周期信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取工程實際應用DFT分析信號頻譜問題的提出1.連續(xù)時間非周期信號x(t)+￥-￥x(t

)

fix(t

)e

dt-

jwtX

(

jw

)

=tx(t)0wX(jw)0圖1

連續(xù)非周期信號及其頻譜DFT分析信號頻譜2.連續(xù)時間周期信號xT

(t)問題的提出<T

>TTx

(t)

fidtT00x

(t)e-

jnw

tX

(nw

)

=

1t0Tx

(t)T-TwX(nw0)0圖2

連續(xù)周期信號及其頻譜DFT分析信號頻譜3.離散時間非周期信號x[k

]問題的提出+￥k

=-￥X

(e

jW

)

=

x[k

]e-

jkWx[k

]

fikx[k]0WX(ejW)0......2ππ-π-2π圖3

離散非周期信號及其頻譜DFT分析信號頻譜問題的提出4.離散時間周期信號~x[k

]~N

-1

~~x

[

k

]

fiNX

[

m

]

=

x

[

k

]ek

=

0-

j

2

p

mk0~x[k]kN-N圖4

離散周期信號及其頻譜m~X[m]0N-N......DFT分析信號頻譜問題的提出如何利用數(shù)字方法分析信號的頻譜？+￥-

￥x

(

t

)

fix

(

t

)

e

-

jw

t

d

tX

(

jw

)

=<T

>TTx

(t

)

fiT)

=

1

x

(t

)

e

-

jnw

0

t

dtX

(

nw0+￥)

=

x

[

k

]e

-

jkWk

=

-￥x

[

k

]

fiX

(

e

jW~DFT分析信號頻譜N

-1

~-

j

2

π

mkNX

[

m

]

=

x

[

k

]

ek

=

0~x

[

k

]

fi問題的提出有限長序列xN[k]的傅立葉變換DFTN

-1-

j

2

π

mkxN

[k

]

fiNX

N

[m]

=

xN

[k

]ek

=00kN-1xN

[k

]m0N-1XN

[m]DFT可以直接計算周期序列的DFSDFT分析信號頻譜問題的提出可否利用DFT分析以上四種信號的頻譜？基本原理利用信號傅立葉變換具有的信號時域與頻域之間的對應關系，建立信號的DFT與四種信號頻譜之間的關系。時域的離散化

頻域周期化時域的周期化

頻域離散化DFT分析信號頻譜tx(t)wX(jw)00~x

(t)t0x[k]k00~x[k

]k四種信號的時域與頻域對應關系WX(ejW

)0......2pp--2pm~X[m]0N-N......wX(nw0)0FTFSDTFTDFSDFT分析信號頻譜x

(

t

)抽樣離散化x[k]周期化X

(

jw

)Aw-w

m

w

mW-

2p2pX

(e

jW

)AT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜~x[k]DFT實現(xiàn)假設連續(xù)信號持續(xù)時間有限，頻帶有限X

[m

]ATmNmNDFT分析信號頻譜X~[m

]AT利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜1.x(t)無限長，其頻帶有限X[m]x[k]加窗-22pWXN

(ejW

)0-2p2pWX(ejW

)0ATm-wwX

(

jw

)0AmwmX

[m]0N-1x(t)抽樣xN

[k]DFTDFT分析信號頻譜利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜2.x(t)有限長，其頻帶無限wwX

(

jw

)0A-22pWX(ejW)0mX[m]0N-1x(t)抽樣x[k]X

[m]DFTDFT分析信號頻譜利用DFT分析連續(xù)非周期信號的頻譜3.x(t)無限長，其頻帶無限xN

[k]加窗出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊、泄漏、柵欄wX

(

jw

)0A-2p2pWX(ejW

)0-2p2pXN(ejW)0WX[m]m0N-1x[k]x(t)抽樣X

[m]DFTDFT分析信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象1.

混疊現(xiàn)象：減小抽樣間隔T，抗混濾波wX

(

jw

)0A0A2p-2pWX0(ejW

)wX

(

jw

)0A0wm-w

mx(t)抗混濾波抽樣間隔T

1wsam￥1

￥1

X

(

j (W

-

n

2p

))Tn=-￥n=-￥X

(e

jW

)

=T0x

(t)X

(

j(w

-

n

))

=T抽樣0x

[k

]X

[m]DFTDFT分析信號頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象X

N

(e

jW

)

=

X

(e

jW

)

?

WN

(e

jW

)2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)x[k

]

加窗fi

x

[k

]

=

x[k

]

w

[k

]N

NX

[m]DFTDFT分析信號頻譜其中：矩形窗漢寧窗哈明窗布拉克曼窗凱塞窗wN

[k

]

=

混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)一：矩形窗0

￡

k

<

N0

其它w[k

]

=

1時域波形幅度頻譜

200051015202530350.40.20.610.8-1DFT分析信號頻譜-0.500.5101040300

￡

k

<

N0

其它矩形窗：w[k

]=1WW

N

(

e

j

W

)N

2

pN4

pNp-

p

2

pN-旁瓣0e-

jW

N

-12W

(e

jW

)

=

DTFT{R

[k

]}

=N

Nsin(W

/

2)sin(NW

/

2)ΔW

=4π/

N主瓣ΔW

w

=

2π/

N旁瓣0

￡

k

<

N0

其它矩形窗：w[k

]=1主瓣在處有一個峰值，表示其主要是由直流分量組成。由于矩形窗函數(shù)在其兩個端點的突然截斷，使得頻譜中存在許多高頻分量。=

sin(3π

/

2)

=

1

=

2N

sin(3π

/

2N

)

N

(3π

/

2N

)

3πW

(e

j0

)W

(e

j3π

/

N

)=

-13.46

dBW

(e

j0)W

(e

j3π

/

N

)A

=

20

log10混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)二：漢寧窗（Hanning）DFT分析信號頻譜0w[k

]

=

0.5

-

0.5cos(2πk

/

N

) 0

￡

k

<

N其他混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)二：漢寧窗（Hanning）幅度頻譜51015202530350010.80.6時域波形

0.40.2-1DFT分析信號頻譜-0.500.5105102015混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)三：哈明窗（Hamming）DFT分析信號頻譜0w[k

]

=

0.54-

0.46

cos(

2πk

/

N

) 0

￡

k

<

N其他混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)三：哈明窗（Hamming）時域波形幅度頻譜00510152025303510.80.60.40.2-1DFT分析信號頻譜-0.500.5105102015混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)四：布拉克曼窗（Blankman）DFT分析信號頻譜0w[k]

=

0.42-0.5cos(2πk

/

N)

+0.08cos(4πk

/

N) 0

￡

k

<

N其他混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)四：布拉克曼窗（Blankman）時域波形幅度頻譜51015202530350010.80.60.40.2-1DFT分析信號頻譜-0.500.51051510混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)五：凱塞窗（Kaiser）, 0

￡

k

<

NDFT分析信號頻譜1

-

(1

-

2k

/

N

)2I0

(b

)I0

(bw[k

]

=混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)窗函數(shù)五：凱塞窗（Kaiser）時域波形幅度頻譜51015202530350010.80.60.40.2-1DFT分析信號頻譜-0.500.5105102015窗函數(shù)類型主瓣寬度旁瓣峰值衰耗(dB)矩形4p

/

N-13Hanning8p

/

N-31Hamming8p

/

N-41Blackman12p

/

N-57Kaiser（

）10p

/

N-57b

=

5.86混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象2.

泄漏現(xiàn)象：選擇合適的窗函數(shù)常用窗函數(shù)特性DFT分析信號頻譜例：為了說明時域加窗對連續(xù)信號頻譜分析的影響，現(xiàn)分析一無窮長的余弦信號的頻譜。-

￥

<

t

<

￥x

(t

)

=

cos(

w

0

t

),X

(

jw

)

=

π[d

(w

+

w

0

)

+

d

(w

-

w

0

)]x[k

]

=

cos(

w

0

kT

)

=

cos(

W

0

k

),-

￥

<

k

<

￥)

=

π

[d2

p

(

W

+

W

0

)

+

d2

p

(

W

-

W

0

)]X

(

e

jWx[k]x(t)xN

[k]加窗抽樣X

[m]DFTx

N

[k

]

=

x[k

]

wN

[k

]jWXN

(e )

=

0.5 [WN

(W

+

W

0

)

+WN

(W

-W

0

)]x[k]x(t)xN

[k]加窗抽樣X

[m]DFTw0w

0-

w

0(

p)X

(

j

w

)(

p)wX

32

(

jw

)0w

0-w

0頻率泄漏X

64

(

jw

)w0w

0-w

0頻率泄漏

例：已知一連續(xù)信號為若以抽樣頻率其頻譜時，能夠分辨此兩個譜峰所需的最少樣本點數(shù)。x(t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

cos(

2pf

2

t

)1f

=

100Hz2f

=

120Hz=600

Hz對該信號進行抽樣，試求由DFT分析f

sam=

cos(2pf1k

/

fsam

)

+

cos(2pf

2

k

/

fsam

)x[k

]

=

x(t)

t

=kTDf

=

f

2

-

f1f

samN2p

￡

2pDfT

=

2pDf

samN

?

f

/

Df

=

30N=

2pw矩形窗DW例：已知一連續(xù)信號為若以抽樣頻率x(t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

cos(

2pf

2

t

)1f

=

100Hz2f

=

120Hz=600

Hz對該信號進行抽樣，試求由DFT分析f

sam其頻譜時，能夠分辨此兩個譜峰所需的最少樣本點數(shù)。利用矩形窗計算有限長余弦信號頻譜N=30;L=512;%數(shù)據(jù)的長度%DFT的點數(shù)f1=100;

f2=120;fs=600;T=1/fs;%抽樣頻率%抽樣間隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);X=fftshift(fft(x,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(X));ylabel(‘幅度譜’);例：已知一連續(xù)信號為若以抽樣頻率其頻譜時，能夠分辨此兩個譜峰所需的最少樣本點數(shù)。x(t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

cos(

2pf

2

t

)1f

=

100Hz2f

=

120Hz=600

Hz對該信號進行抽樣，試求由DFT分析f

sam-300-200-1000頻率(Hz)10020030005101520幅度譜-300-200-1000頻率(Hz)1002003000246108幅度譜信號樣點數(shù)N=30信號樣點數(shù)N=20加矩形窗例：已知一連續(xù)信號為x

(

t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

0

.15

cos(

2pf

2

t

)f1

=

100Hzf2

=

150Hz若以抽樣頻率f

sam

=600Hz對該信號進行抽樣，試求由DFT分析其頻譜。利用Hamming窗計算有限長余弦信號頻譜N=50;L=512;%數(shù)據(jù)的長度%DFT的點數(shù)f1=100;f2=150;fs=600;T=1/fs;%抽樣頻率%抽樣間隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N))';f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F));ylabel('幅度譜')例：已知一連續(xù)信號為若以抽樣頻率f

sam

=600Hz對該信號進行抽樣，試求由DFT分析其頻譜。x

(

t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

0

.15

cos(

2pf

2

t

)f1

=

100Hzf2

=

150Hz-300-200-100

0

10020030001020頻率(Hz)幅度譜-300-200-1000100200

30001020幅度譜頻率(Hz)-300-200-100

010020030001020頻率(Hz)幅度譜-300-200-1000100

200

30001020頻率(Hz)幅度譜矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=50混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象3.

柵欄現(xiàn)象：序列后補零，ZFFT,

m

=0,1,,

N

-1NNW

=2

π

mX[m]

=

X

(ejW

)

|xN

[k]X

N

(e

jW

)(

Hz

)DFT分析信號頻譜cNΔ

ff=

sam混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象3.

柵欄現(xiàn)象：序列后補零，ZFFT00

￡

k

￡

N

-1N

￡

k

￡

L

-1x

[k]

=x

[k]NLLDFT分析信號頻譜(

Hz

),

L

>

NΔ

ff=

samcx[k

]

=

{2,

3,

3,

2}x1[k]

={2,

3,

3,

2,

0,

0,

0,0}k

=0-

jkW￥jWX

(e

)

=

DTFT{x[k]}

=k

=-￥x[k]

e3=

x[k]

e-

jkW21232-

j.3W=

e

(4cos

W

+6cos

W)k

=0=

{10

,

-

1

-

j,

0,

-

1

+

j}N-

j

2p

kmN

-1X[m]

=

x[k]

ek

=043-

j

2p

km=

x[k]

e解：例：={10,

-1

-

j,

0,

-1

+

j}W

=p

m24-

j.3W22pW

=

mX[m]

=

X

(e

jW

)

=

e23

12W

+6cos

W)(4cos，m=0,1,2,3x[k

]

=

{2,

3,

3,

2}x1[k]

={2,

3,

3,

2,

0,

0,

0,0}解：例：￥

7X1(ejW

)

=

DTFT{x1[k]}=

x1[k]

e-jkW

=x1[k]

e-jkW223

1k=-￥

k=0.3-

j

W2=

e

(4cos

W

+6cos

W)=3k=01x

[k]

e-jkWN-

j2p

kmN

-1X

1[m]

=

x1[k

]

ek

=083-

j2p

km=

x[k

]

ek

=0，m=0,1,2,…,787-

j2p

km=

x1[k

]

ek

=0={10,

2.7-

j6.5,-1-

j,

1.3-

j0.5,0,1.3+

j0.5,-1+

j,

2.7+

j6.5}x[k

]

=

{2,

3,

3,

2}x1[k]

={2,

3,

3,

2,

0,

0,

0,0}解：例：002468103p/2p/22ppx[k]|

X(ejW

)||

X[m]|002468103p/2p/22ppx1[k]|

X1(ejW

)||

X1[m]|-3000-200

-100

0

100

200

300頻率(Hz)N=30,

L=64,

Dfc=

600/6420度10幅100

200

3000-300

-200

-100

01020幅度譜頻率(Hz)N=30,XN

(e

jW

)N=30,

L=128,

Dfc

=

600/128N=30,

L=256,

Dfc

=

600/256-300-200-1000頻率(Hz)10020030005101520幅度譜0

100

200

3000-300

-200

-1001020幅度譜頻率(Hz)x(t

)

=

cos(

2pf1t

)

+

cos(

2pf

2

t

)TmaxDFT分析信號頻譜DFT參數(shù)選取(Dfc

,?

2

f

mf

samm2

f1samT

=1

f

￡cpDffNT

=

NT

==1samTN

?

p

min=

2

fmDfc1.

抽樣頻率:2.3.fm

)抽樣間隔:抽樣時間:抽樣點數(shù):例：試利用DFT分析一連續(xù)信號，已知其最高頻率=1000Hz，要求頻率分辨率Dfc￡2Hz，DFT的點數(shù)必須為2的整數(shù)冪次，確定以下參數(shù)：最大的抽樣間隔，最少的信號持續(xù)時間，最少的DFT點數(shù)。解：(1)最大的抽樣間隔Tmax為=

0.5

·10-3

(s)11Tmax

=m2

f

2

·1000=(2)最少的信號持續(xù)時間Tpmin為= =

0.5(s)1

1Dfc

2Tpmin

=(3)由最大的抽樣間隔Tmax與最少信號持續(xù)時間Tpmin，可得最少DFT點數(shù)N為0.5=

=10000.5

·10-3maxTN

?

p

minT選擇DFT的點數(shù)N=1024，以滿足其為2的整數(shù)冪次。samw

/

NNw

=

mw

sam的抽樣值在

N

/

2

￡

m

￡

N

-1

,

X[m]

對應于(m

-

N

)samDFT分析信號頻譜NN-ww

=

mw

sam

=

w

sam當0￡

m

￡

N/2-1,

X[m]對應于X(jw)在-w

sam/2w

sam/2wX(jw)X[m]與X(jw)的對應關系~samXw

(w

)ww

sam2w

sam例：已知語音信號x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對x(t)進行抽樣。如對抽樣信號做N=1600點的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點所分別對應原連續(xù)信號的連續(xù)頻譜點f1

和f2

(kHz)。解：對連續(xù)信號x(t)按fsam=8kHz進行取樣，得到對應的離散序列x[k]，在利用離散序列x[k]的DFTX[m]分析連續(xù)信號x(t)的頻譜時，X[m]與X(jw)存在以下對應關系：當m=600時，由于0￡m￡N/2-1，所以8m

= ·

600

=

3kHzN

1600=

fsam1f當m=1200時，由于N/2￡m￡N，所以·

(1200

-

1600

)

=

-2kHz160082Nf

=

f

sam

(m

-

N

)

=Awwm-wm0X(jw)A/TmX(ejW

)0N2p/NX[m]N

/2例:

利用DFT近似計算x(t)=e-tu(t)的幅度頻譜并和理論值比較。解：x(t)=e-tu(t)jw

+

1X

(

jw

)

=

1

|

X

(

jw

)

|=

1

w

2

+

1

1

2π2|

X

(

jw

)

|

dw2|

x

(t

)|

dt

=+￥-￥+￥-￥E

=11+￥-￥dw

=

12π

w

2

+

1

2-￥+￥=

e

-2

t

d